小学数学中基本数学思想的类别与内涵，本文主要内容关键词为：小学数学论文,内涵论文,类别论文,思想论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学思想是数学文化的实质和主要表现形式，在文化传承中数学思想是最重要的内容.数学思想的内容可以说“博大精深”，其应用处处可见、可感.因此，了解小学阶段能够渗透哪些基本数学思想至关重要，只有了解了这些基本数学思想的内涵与实质，才能在教学中有效落实而不只是“贴标签”. 通常说的“数学思想方法”有层次之分，有的是数学思想，有的是数学方法.一般来说，一种数学方法未必是一种数学思想，但数学思想一定是一种有效的数学方法.只有触及数学实质、人类思维的本质和本源、应用范围广、意义深远的数学方法才能称为数学思想. 小学阶段所学习的数学内容是数学大厦中最基础、最本质的内容，小学数学的所有内容中都渗透着数学思想. 本文将从数学学科实质、人的思维本源以及问题解决方法三个角度阐述小学阶段最基本的8种数学思想. 一、从数学学科实质角度看有抽象思想、推理思想、模型思想 数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理和模型，其中抽象是最核心的.[1]这三个基本数学思想是从促进数学产生发展、数学与其他学科本质区别、体现出数学本质特征的角度来确定的. （一）抽象思想 史宁中教授认为，抽象分两个层次，一个是直观描述，另一个是符号表达.“直观描述的毛病是必然引起悖论，因为凡是具体的东西，都能举出反例，为了避免引起这些，就必须进一步抽象，抽象到举不出反例来，这只有通过符号表达，但符号表达也有问题，就是缺少物理背景，缺少直观.”[2]抽象的内容在本质上只有两种：一是数量与数量关系的抽象；二是图形与图形关系的抽象.所以，数学在本质上研究这两种关系. 小学阶段的抽象主要体现在抽象的第一个层次，其研究对象和关系基本上都是对“现实”的抽象，基本不脱离物理背景.例如，对现实数量（5个人、5个苹果、5根手指等）的抽象得到“数”.数量关系的本质是“多和少”，再抽象就是数学内部的“大和小”.“大小关系”是本质，再进一步就是“序的关系”.“大小关系”的基础是“大一个”，这就产生了加法，因此自然数和加法是数学的基础，其他的都是派生出来的. 对现实物体形状（如长方形的窗户、地板砖、手帕等）的抽象得到“图形”.点、线、面等也是最基本最重要的图形，由于其太抽象，点、面并不是小学数学要研究的内容. （二）推理思想 推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式.推理分为两种形式：演绎推理和合情推理.合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.“如果说演绎推理的魅力在于逻辑的严谨，那么归纳推理的魅力在于想象的丰富.”[3]（114） 演绎推理的常用形式有三段论、选言推理、假言推理、关系推理等.合情推理的常用形式有归纳推理和类比推理，类比推理其实质也是归纳推理.归纳推理有两种结果：结果可能是必然的、结果已知是或然的.因此，归纳推理中就必然存在“否定假说原则”，而演绎推理则遵循“排中律”.“我们所说的否定假说原则充分体现了人文关怀：如果这个世界都是偶然的，那么这个世界就太混乱了；如果这个世界都是必然的，那么这个世界就太寂寞了.”[3]（197） 合情推理在小学数学中比比皆是，尤其是归纳推理.在认识数、运算、图形等的实质与性质、规律时，其认识过程基本都运用了归纳推理，其价值就在于给学生一个探索与发现的空间，充分运用已有的知识、经验以及想象力让学生去发现、去再创造. （三）模型思想 数学模型还没有一个统一的、准确的定义，一般认为：数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式.数学模型有广义和狭义之分，广义的模型包括任意的数、式、性质、定律等，狭义的模型特指将现实的数学问题抽象为一个数学的结构（式子、方程、函数等），通过对这个结构进行数学运算而求得实际问题的答案，即我们常说的数学建模. 小学阶段模型思想更多地体现在广义角度，任何数、算式、性质定律等都是一个模型.如5-2=3，此建模过程涉及小学阶段两类常见类型（见图1）：一是直观模型，用直观形象的符号表述数量关系或结构，二是用抽象的数学语言表示数量关系和结构.即史宁中教授所说的：“数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事.”[4]
上述建模有三个层次，第一层次：从现实问题到直观模型；第二层次：从直观模型到抽象的算式模型；第三层次：从抽象的算式模型到现实问题，或者从任意一方面到其他两方面.第三层次是最高水平，只有达到“有来有回”的过程，才可称为学会了“建模”. 二、从人的思维发展本源看有分类思想、结构化思想、对应思想 从人的思维本源角度看，我们认为分类、结构化及对应也是三种重要的、基本的数学思想，对于人类认识世界以及数学发展也具有不可估量的作用. （一）分类思想 分类是人类的一种基本活动，可以说，人的一生不是在分类就是在被分类.例如，人一出生即被分类，在随后的成长过程中不断地进行分类和被分类.分类的根本目的是便于研究事物的属性，揭示事物之间的规律性和内在联系.正是由于分类活动无所不在，意义深远，影响广泛，它既是一种基本的认知活动，也是研究问题广泛使用的方法，故称之为分类思想. 史宁中教授认为，分类有两种：一种是按照事物的形式进行分类，另一种是按照事物的实质进行分类.“基于形式的分类往往只是一种‘似是而非’的分类，我们称这种分类为原始分类”“原始分类仅仅是研究问题的开始，只有把握了类中事物的共同性质才可能把握类中事物的本质……就可以基于这个性质重新进行分类，我们称基于性质的分类为实质分类”.[3]（64） “形式和性质也是相互依存的，最初的分类之所以侧重形式，是因为表象的东西比内在的东西更为直观，更便于把握”.[3]（65）形式分类和实质分类在小学阶段都涉及，往往先从形式分类开始，初步把握事物的外显性质，然后再进行更深入的实质分类，把握事物的本质属性.例如，在小学阶段所学习的“三角形分类”就是这样，按照三角形的边进行分类得到等边三角形、等腰三角形和一般三角形，这可以看作是形式分类，三个类之间具有包含关系.按照三角形的角进行分类得到锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，这是对三角形进行的实质分类，三个类之间是并列关系.
三角形的边与角满足余弦定理，即：
由此可以看出，按照三角形的角进行分类是更本质的，是实质分类，这样的分类结果构成了多么完美的数学结构！ 性质就是分类的标准，由于事物的性质有很多，因此对事物进行分类的标准也有很多.选择哪条标准进行分类取决于研究的目的，目的不同分类的标准可以不同.但一旦分类标准确定下来，分类活动就要基于这个标准.一般来说，在同一分类标准下，每一类构成的集合其交集是空集，其并集等于全集.分类思想在小学数学中无处不在，分类活动可以表现在以下几方面（数学问题解决过程中的分类讨论蕴含其中）学习中. （1）给定分类标准（唯一），学生进行分类. （2）学生自己确定分类标准（标准可以不同，但每一次分类标准唯一）进行分类. （3）给定分类结果，学生确定分类标准；或者给定分类结果由学生基于经验对每一类进行命名. （二）结构化思想 形成结构并从结构的角度把握事物本质的过程即为结构化.从无序、杂乱到有序、有结构既是人的心理需要、学生学习数学的需要也是数学发展的需要.因此，结构化也是一种基本的数学思想，其在人类认识世界以及数学发展过程中都具有重要意义.库恩在《科学革命的结构》一书中谈到，“科学发展的历史并不是一个由个别科学贡献复合而成的累积过程……科学史表明：每经历一次科学革命，科学的结构就发生一次质的变化”.[5] 任何一个数学内容都从属于某一结构，从“结构”的角度来把握所学习的数学内容非常重要，这样能把握内容的实质，建立内容之间的联系.例如，课程标准中数学内容分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”，这就是义务教育阶段数学内容的一个大结构.再如，现实世界中的数量关系非常复杂，但从结构的角度看，其不外乎两个基本结构：加法结构、乘法结构，其分别对应“差比关系”和“倍比关系”，其他数量关系是这两个结构的复合，例如“和倍问题”“差倍问题”“植树问题”等. 分类是使事物结构化的重要方式，结构化与分类密切相关，尤其在小学阶段，可以说通过分类形成了有序的集合结构.其次，公理化也是结构化的重要方式，但在小学阶段的数学中不涉及公理化方法. 在小学阶段，结构化除了经历分类外，还有以下方法：首先解析不可缺少的、可以相区别的单位要素，然后再组合这些要素.例如，在学习“千以内数的认识”时，教师先呈现无序、无结构的散乱的小木块（只有一个计数单位“1”），让学生猜有多少块，其实是提出了有挑战性有难度的问题，制造认知上的冲突.然后根据不同的计数单位（十、百、千）相互组合（满足十进制），即师生共同经历结构化的过程.[6] （三）对应思想 对应也是人类认识世界的一种本源、朴素的思想，其在数学发展史上以及学生学习数学的过程中都具有重要意义.对应思想本源地体现在任何一个对象都从属于或对应于某一个类（集合），例如，你是你家庭中的一员，是一个班级的一员，是某个组织的一员等. 对应思想更主要体现在两个集合中的元素之间有对应关系，尤其是一一对应关系，即集合A中的任一元素a，在集合B中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合B中的任一元素b，在集合A中也有唯一的元素a与之对应.例如，正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应.注意，一一对应只是对应中的一种，在数学上一般说来两个集合之间还可以“多”对“一”，但不允许“一”对“多”. 一一对应思想在小学数学中无处不在，如在“自然数”的抽象过程中，5根手指对应着数字符号“5”.对应更体现在“数的大小比较”中，在有限集合中，如果两个集合的元素能够建立起一一对应关系，我们就说这两个集合的元素个数相等，否则就有“大于”或“小于”关系.一一对应思想更为重要的是应用于无限集合元素个数的大小比较上，例如，自然数集与偶数集合的元素个数能够建立一一对应关系，则说明这两个集合元素个数相等，康托利用一一对应思想解决了一直困惑伽利略的难题：自然数的个数多还是平方数的个数多？ 三、从问题解决方法角度看有数形结合思想和化归思想 在小学阶段解决数学问题时也涉及很多的数学思想和方法，真正能称为思想的主要有数形结合思想和化归思想（我认为“化归”是问题解决的一种策略，还达不到“思想”层面，但姑且也称之为思想）. （一）数形结合思想 “数形结合”是问题解决过程中经常使用的一种数学方法，因为数形结合思想涉及数学的两大研究对象：数与形，其运用范围甚广，且影响较为深远，因此也称之为“数形结合思想”.“数无形时少直觉，形少数时难入微”（华罗庚）形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值，也揭示了数形结合思想的本质. 理解抽象的数、数量关系与函数关系式不能脱离直观的图形与图象，同时对几何图形的深入认识与理解也不能离开从数量上刻画图形的大小、形状等几何特性，对函数图象也需要作“细致入微”的分析，例如，每一点处的坐标是多少、斜率是多少，两点之间的长度是多少等都能通过抽象的公式计算出来.通过“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又把握得细微、深刻.“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来. （二）化归（转化）思想 “化归（转化）”是人类解决问题经常采用的一种方法，指在解决问题的过程中，多次地将问题进行“变形”，使原来比较难解决的问题，转化为熟知的或已经解决的问题.特殊化方法，即从“特例”入手也是化归思想中常见的一种方法. 化归的主要特点是它具有更强的目的性、方向性与概括性.实现转化的核心是保证“恒等变换”，或者说“等量代换”，违背这一根本原则，将导致错误的问题解决. 哪些数学方法可以称为数学思想，可谓“仁者见仁、智者见智”，并没有统一的标准，本文所论及的几种数学思想是：是否揭示学科实质？在数学发展长河中是否具有重要作用？是否是人类认识世界的基本思维方式？是否具有广泛的用途（即不仅仅应用于数学，还应用于人类的日常生活以及人文科学、自然科学的研究中）？按照这些标准我们把抽象、推理、模型、分类、结构、对应以及数形结合、化归称为小学阶段的最为重要的数学思想. 希望一线教师能够领悟这些重要数学思想的内涵及在小学阶段数学内容中的具体表现，教师只有先理解这些才能在教学中有意识地渗透，让学生在活动中体验、领悟.因为数学思想不能像知识、技能或者怎样解题那样“教”，需要学生有切身的体验感悟，并进行反思总结，与同伴分享等活动，否则在教学中“渗透数学思想”难以实现，就容易出现“贴标签”现象.
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