阿尔福斯与当茹瓦猜想，本文主要内容关键词为：阿尔论文,福斯论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N09 文献标识码：A 文章编号：1674－7062(2012)05－0097－06
当物理学家、化学家、生理学家或医学家、文学家、经济学家以及争取和平的人们为人类作出杰出贡献的时候，他们就会被授予诺贝尔奖。同样当数学家们为人类作出杰出贡献的时候，他们所享受的是菲尔兹奖和沃尔夫奖，前者只授予那些能对未来数学发展起重大作用的40岁以下的年轻人，后者作为前者的补充，是一份终身成就奖。
1936年，29岁的阿尔福斯[1]因其覆盖面理论获得了奥斯陆国际数学家大会上首次颁出的两枚菲尔兹奖中的一枚，[2]xi－xiv评委会成员在评论中指出阿尔福斯的思想和理论受到了他的老师——芬兰现代数学奠基者林德勒夫和奈旺林纳——的深刻影响，并称他是芬兰函数论学派最杰出的代表。1981年，74岁的阿尔福斯获得了沃尔夫奖，评委会在报告的结尾指出，世界复分析领域的每一位研究者在某种程度上都是阿尔福斯的学生。[3]
阿尔福斯无疑是20世纪杰出的复变函数理论家，在60多年职业生涯中，他在复变函数、亚纯函数曲线、值分布论、黎曼面、共形几何、极值长度、拟共形映射和克莱因群等方面对数学作出了决定性贡献。[4]他的数学工作已经被同事、朋友和曾经的学生现在的数学家作了很好的阐释，相关文献更多地关注阿尔福斯1935年之后的工作；事实上，早在1929年，年仅21岁的阿尔福斯就因为证明当茹瓦猜想在世界数学界一举成名了，他的职业生涯也是从这一年开始的。[3]
一 首次出国游学，接触到当茹瓦猜想
芬兰裔美籍数学家阿尔福斯①(Lars Ahlfors,1907～1996)1907年4月18日出生于芬兰的赫尔辛基，这个地方虽然当时隶属俄罗斯帝国，但芬兰有一定程度的自治，有时备受关注有时又被忽略，很不错的是当时公务员(包括教授)享有相当高的生活标准，不过在第一次世界大战开始之后人们的生活就变得艰难了。[2]xi－xiv
阿尔福斯的父亲阿克瑟尔·阿尔福斯(Axel Ahlfors)是赫尔辛基技术学院的机械工程教授，母亲赫兰德(S.Helander)在生他的时候难产而死。阿尔福斯认为母亲的去世对他一生有很大影响，父亲虽然关心他，但是也比较严厉。[3]刚出生的阿尔福斯曾被送到奥兰群岛由两个姑姑抚养，3岁的时候回到父亲身边。很快阿尔福斯就被发现是个天才，因为他居然能进行简单的计算，到4岁的时候，他就能开始阅读了。阿尔福斯有一个比他高两级的姐姐，他常常用从姐姐那里学到的高级数学方法进行计算，他还会去父亲单位的图书馆看数学图书，总之，在课堂上，老师常常让阿尔福斯向同学们讲解数学题。[5]对于自己的这些过往，阿尔福斯说他只是数学得高分，绝非什么神童，每当他看到许多神童被雄心勃勃的父母宠坏，就会感谢父亲对他的严格家教。[2]xi－xiv
1924年，17岁的阿尔福斯以优异成绩从赫尔辛基一所讲瑞典语的高中——瑞典新合作教育(Nya Svenska Samskolan)毕业，进入赫尔辛基大学，很快他就意识到自己是多么幸运。一方面，赫尔辛基大学的函数论学派正是在这个时候开始得到国际认可；[3]另一方面他的老师就是赫尔辛基大学函数论学派的开创者林德勒夫(E.Lindelof,1870～1946)和奈旺林纳(R.Nevanlinna,1895～1980)。[2]xi－xiv
林德勒夫基本上是自学成才，他曾在柯西的著作中获得很多灵感，最终确立了他在世界上复分析家的声誉[2]xi－xiv。林德勒夫早年主要从事微分方程和分析函数的研究，并且相当杰出；在后期放弃研究开始致力于教学，撰写过很多教学用的教材，[6]同时他还积极鼓励在芬兰开展数学史研究。[3]20世纪20年代，芬兰几乎所有的数学家都是林德勒夫的学生，可以说林德勒夫是芬兰的数学之父。[2]xi－xiv
奈旺林纳是林德勒夫一手培养起来的得意弟子，是芬兰著名的复分析学家，在吴文俊主编的《世界著名数学家传记》中，我国著名数学家庄圻泰[7]曾为其写传。奈旺林纳早在进大学前就读了林德勒夫的《高等分析引论》，到1913年正式进入赫尔辛基大学后，林德勒夫不仅在学业上给予他很多直接帮助，使他在1919年能够撰写出优秀的博士毕业论文；而且还积极安排他出国交流，去接触当时知名的数学家，奈旺林纳因此迅速成长，1925年就确立了自己在国际数学界的崇高声誉，之后不断被其他大学邀请为讲座教授。[7]
阿尔福斯常常强调林德勒夫和奈旺林纳对他后来数学发展产生的重要影响。[3]阿尔福斯在大学低年级的学习正是在这两位教授和其他一些兼职教师之间展开的；当时基本上没有研究生水平的课程，低年级课程学完之后，进一步的阅读由林德勒夫指导进行。大学期间阿尔福斯度过了无数有趣的星期六，一般星期六早上8点，阿尔福斯会到林德勒夫家中见他的老师，林德勒夫每次会视情况表扬或批评阿尔福斯。1928年，阿尔福斯拿到了硕士学位(当时拿到的是文学学士学位，这个称谓后来做了改变，相当于哲学硕士)。[2]xi－xiv
同年秋季的学期，33岁的奈旺林纳受邀去接替43岁的外尔(H.Weyl,1885～1955，20世纪世界最具影响力的数学家之一)在苏黎世联邦理工学院(1854年由瑞士联邦创建，如今已是世界知名的精英理工大学，送出了包括爱因斯坦在内的20多位诺贝尔奖获得者)的位置，林德勒夫想要刚刚拿到学位的21岁的阿尔福斯跟随奈旺林纳一同去，可是当时并没有什么资助学生的基金，于是林德勒夫积极劝说阿尔福斯的父亲资助阿尔福斯，最后阿尔福斯的父亲同意了这件事情。阿尔福斯后来回忆说，自己的父亲之所以会这么做，可能是因为他本人年轻时曾在苏黎世联邦理工学院待过一段时间的事实打动了他。[2]xi－xiv
这是阿尔福斯第一次出国，他一下子发现自己从欧洲的边上到了数学的中心，阿尔福斯后来曾在多种场合表达过这次出国的激动心情，他说这是第一次接触到生动的数学，[2]xi－xiv自己的数学眼界大开，甚至开始积极主动地思考问题而不是过去那样仅仅是被动阅读。[8]促使阿尔福斯对数学认识转变的重要原因是奈旺林纳开展的当代函数论讲座，在讲座中奈旺林纳讨论了他本人有关亚纯函数理论的主要部分，[2]xi－xiv另外还讨论了当时人们关心的各种函数论问题。[3]这是阿尔福斯第一次接触到前沿的函数问题，他开始对复分析着迷了。[5]特别是奈旺林纳讨论了一个21年前由法国数学家当茹瓦[9](A.Denjoy,1884～1974)提出的猜想，包括卡莱曼(T.Carleman,1892一1949)的部分证明。这是阿尔福斯第一次接触到当茹瓦猜想，这个21岁的年轻人，一方面被当茹瓦猜想的开放性所吸引；另一方面他的老师奈旺林纳也建议他研究这个猜想，所以他很快就投入到了当茹瓦猜想的研究当中。[2]xi－xiv
二 熟悉核心知识，解决当茹瓦猜想
当茹瓦猜想是值分布论中的一个问题，值分布论是复变函数论的一个重要分支，它研究的基本问题是整函数和亚纯函数的求根问题以及根的分布情况。整函数的出现是近代科学技术发展的结果，许多理论和复杂的实际问题转换到数学上不再是一元n次方程的求根问题，而是一个级数②的求根问题，复平面上这样的级数被称为整函数，两个整函数的商就是亚纯函数。[10]值分布论主要有两个研究方向：模分布论和辐角分布论，前者研究函数在开平面上的取值情况；后者研究函数在一条始自原点的半直线附近的取值情况。[11]56
在当茹瓦提出猜想之前，已经有一些数学家的研究与这个领域密切相关，比如索霍茨基(L.V.Sokhotskii,1842～1927)[12]、卡索拉蒂(F.Casorati,1835～1890)[13]、魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass,1815～1897)[14]、皮卡(
.Picard,1856～1941)[15]和博雷尔(.Borel,1871～1956)[16]等。[17]1902年，在当茹瓦考入法国高等师范学校学习时，学校的数学大师就有皮卡和博雷尔，他们为当茹瓦提供了极其优良的数学教育，并引导他走上了自己的伟大数学发现之路。大学阶段当茹瓦相当优秀，获得过各种奖学金，[18]在此资助下，1907年，也恰好是阿尔福斯出生的那一年，23岁的当茹瓦[9]提出一个著名的有关整函数渐近值的猜想：如果整函数有k个渐近值，那么整函数的阶至少为k/2；换句话说就是，如果整函数的阶为n，那么它至多有2n个渐近值。其中，渐近值的概念是这样给出的：平面上的点沿着某条连续曲线(或说渐近路径)趋向无穷时，相应的函数值趋近于某个值，这个值就被称为由这个连续曲线定义的渐进值。[11]303
1907年在当茹瓦提出猜想的同时，他还证明了连续曲线为直线路径情况下猜想的正确性。之后直到1921年，卡莱曼[19]访问巴黎见到当茹瓦，重新思考了这个猜想，并证明任意路径的情况，只是其中k/2被代之以2k/π[2]，[20]这个猜想正是因为卡莱曼的工作才在十几年后又重新回到人们的视线。
20世纪初，在阿尔福斯证明当茹瓦猜想之前，除了卡莱曼，林德勒夫[21]、瓦利隆(G.Valiron,1884～1955)[22]、布鲁门塔尔(O.Blumenthal,1876～1944)[23]、茹利亚(G.Julia,1893～1978)[24]和奈旺林纳等数学家也曾从事值分布论的研究。[10]其中奈旺林纳作为阿尔福斯的老师，他的工作对阿尔福斯的影响最大。当然与其他人的工作相比，奈旺林纳的工作是具有划时代意义的，在奈旺林纳之前，大部分值分布论的研究是关于整函数的，是奈旺林纳将研究的范围推广到了亚纯函数[25]，这个工作就是1925年奈旺林纳[26]首次发现的著名的第一基本定理和第二基本定理，后来以奈旺林纳理论而著称。对这个理论重要性的最好理解就是：它是代数基本定理在全纯和亚纯函数中的推广，[27]它开创了亚纯函数值分布论的近代研究。奈旺林纳的理论在当时极具影响力，当时函数论中也因此出了很多研究。特别是1929年春天，当阿尔福斯第二次跟随奈旺林纳待在巴黎的时候，奈旺林纳出版了他的第一本著作《皮卡－博雷尔定理和亚纯函数定理》[28]，对1925年的理论基础作了深入阐述。[29]作为奈旺林纳的学生，那时阿尔福斯很自然地会花大量注意力在亚纯函数上，[2]56难怪阿尔福斯是从这个主题开始他的职业生涯的。[30]
阿尔福斯证明当茹瓦猜想的起点是亚纯函数理论，不过在具体解决当茹瓦猜想时，阿尔福斯所采用的方法并不是奈旺林纳的，而是一种后来所说的长度－面积方法[31]，这是一个基于共形映射的方法[2]xi－xiv，阿尔福斯称自己是以一种难以置信的运气发现了这个方法，因为它是一个新方法，在当时并不为数学家们所熟知，阿尔福斯也是从胡尔维茨(A.Hurwitz,1859～1919)和柯朗(R.Courant,1888～1972)[32]关于函数论的教材中获得这个方法的，书中将这个方法应用于共形映射中边界对应的思想对阿尔福斯触动很大。[2]1－2在卡莱曼早期部分证明当茹瓦猜想工作的基础上，阿尔福斯试着使用这种方法来解决当茹瓦猜想，具体的证明还依赖于一个不等式，这个不等式后来被发现对于分析函数理论是非常有用的，现在以“阿尔福斯畸变理论”而著称。[20]在证明过程中，奈旺林纳和波利亚(G.Pólya,1888～1985)给予他极大帮助，最终阿尔福斯完成了猜想的完整证明。[2]xi－xiv阿尔福斯[33]很快将自己的证明写成法文，波利亚因为担心阿尔福斯的法文水平还帮他写了一个注释，[2]1－21929年该文在法国科学院院刊刊载出来。
三 解决当茹瓦猜想之后
阿尔福斯的论文发表出来之后，立即在数学界引起了很大轰动，突然地，这个21岁不知名的小伙子成为了数学界名人，因为他以一种非常不同的方法或说创新的方式“共形映射”漂亮地证明了当茹瓦猜想的正确性。[3]对此，阿尔福斯说：“我唯一的创新，如果可以这样说的话，就是首次将这个方法用于原本没有用共形映射表述的问题中”。[8]阿尔福斯为什么这样说呢？原因是阿尔福斯事后发现，1928年格勒奇(H.Gr
tzsch,1902～1993)[34]在两篇关于共形映射极值问题的论文中将这个方法以一种更加成熟的方式应用于其他问题，只是当时没有人注意到这件事，阿尔福斯甚至还认为当时格勒奇可能很容易就能证明了当茹瓦猜想[8]。后来的发展表明，格勒奇和阿尔福斯的想法确实具有开创性[20]，他们所使用的这个方法现在已经发展成共形映射理论中一种极其重要的工具，即极值长度方法，[2]1－2可见两位数学家的洞察力之深刻。不管怎样，解决当茹瓦猜想之后，阿尔福斯知道自己的美好未来开始了[5]。
在证明当茹瓦猜想的论文于法国发表的那一年，为了庆祝林德勒夫60岁生日，阿尔福斯[35]将自己对当茹瓦猜想的证明作了更加详细的阐释，在芬兰科学院院刊上再次刊载出来。同年，阿尔福斯从一个学生组织获得资助跟随奈旺林纳去巴黎待了3个多月，在那里他发现了奈旺林纳特征的一个几何解释[2]60－64。尽管这已经被日本的清水(T.Shimizu)[36]发现，但还是给了阿尔福斯极大的自信来研究亚纯函数。回到芬兰后，阿尔福斯在图尔库(Abo Akademi)大学获得讲师职位，同时开始博士论文的研究。[2]xi－xiv1930年，在阿尔福斯[37]博士论文中，他对当茹瓦猜想的证明作为对论文中一个重要不等式的应用再次出现，由于对共形映射有了更加成熟的认识，阿尔福斯还发现如果对自己的证明加以改进，还可能应用到螺旋路径上。[2]1－2
1930年至1932年间，受各种邀请和资助，阿尔福斯多次访问欧洲，其中受勒克菲勒研究所的资助在巴黎待了较长一段时间，结识了不少大数学家，这使得阿尔福斯越来越知名。1933年阿尔福斯作为一个兼职教授返回赫尔辛基大学，同年与莱娜特(E.Lehner)结婚，在晚年阿尔福斯称后者是他一生中最幸福最重要的事情。[2]xi－xiv
20世纪30年代初，正当阿尔福斯知名度不断提升的时候，哈佛大学数学系正好在寻找年轻数学家，阿尔福斯曾在慕尼黑认识的卡拉泰奥多里(C.Caratheodory,1873～1950)热情地向哈佛大学推荐了他，很快哈佛大学就寄来了邀请函。[2]xi－xiv这里稍微说一下卡拉泰奥多里，他是一位杰出的希腊数学家，20世纪初就读于柏林大学和哥廷根大学，当时世界数学中心正是在德国的哥廷根，良好的学术氛围深深影响了卡拉泰奥多里，他在变分法、点集测度论和实变函数论等领域都做出了重大贡献。1928年卡拉泰奥多里曾在哈佛大学做过一段时间的访问教授，1936年哈佛大学庆祝建校300年，他再次受邀做报告。[38]对于哈佛大学，卡拉泰奥多里的推荐是可信任的。
于是从1935年秋天开始阿尔福斯在哈佛大学数学系度过了3年，对于阿尔福斯，这是一次难得的工作机会，他的数学视野因此得到了进一步拓宽。很快，通过发展一种几何方法，即所谓的覆盖面理论，阿尔福斯[39]建立了平行于奈旺林纳理论的结果。这个工作为阿尔福斯赢得了1936年首次颁出的两个菲尔兹奖中的一个。1938年春天，阿尔福斯在哈佛大学的聘任到期，他面临一个选择：是继续留下还是回到芬兰？当时赫尔辛基大学向他发出邀请，已经退休的林德勒夫以爱国的名义也催他快点回去，阿尔福斯也觉得自己很想家，于是就回到了芬兰。没过多久第二次世界大战爆发，阿尔福斯不得不四处颠沛流离，其间博灵(A.Beurling,1905～1986)曾给予他巨大的帮助，阿尔福斯说博灵对他的恩情今生也还不完，博灵阐释了什么是真正的友谊。[2]xi－xiv在苏黎世大学待了一段时间后，阿尔福斯再次受到哈佛大学的邀请，从1946年到1977年退休，阿尔福斯一直在哈佛大学，退休后作为哈佛大学的荣誉教授仍然保持数学教学直到1996年10月11日去世的最后一刻。[4]其间在1981年，阿尔福斯获沃尔夫奖。
阿尔福斯是一位严谨的、勤奋的数学家，从21岁在世界数学界出名开始，他始终是一位世界复分析领域的领军人物，他多产而卓有成效的数学活动一直持续了半个世纪，在这半个世纪的职业生涯中，阿尔福斯一次次展现出了一位复分析领域先驱的风范。英国著名复分析学家海曼(W.Hayman,1926～)给学生的建议是：去看阿尔福斯的论文，在其中发现复分析中那些值得进一步追求的新进展。[3]同时，阿尔福斯的个人风范也受到了他的学生和数学界的高度评价，[40]他一生中从来不与学生作为合作者一起出现在论文中，他说这是为了报答奈旺林纳和波利亚，他们在他证明当茹瓦猜想论文成形时给予了巨大帮助，却出于难以置信的慷慨，不让他提及他们的帮助。[2]xi－xiv
最后再附注一点，在阿尔福斯证明当茹瓦猜想之后，还出现几种其他证明方法。最重要的证明是博灵[41]和卡莱曼[42]给出的，在具体证明上，博灵的证明与阿尔福斯的证明类似，不过某种程度上它可能与卡莱曼的证明在精神上更接近。[43]麦金太尔(J.Macintyre,1908～1967)[44]根据格勒奇[34]的结果也给出了一个更简单、更一般的证明，这些工作都以各自的方式丰富了分析学家的工具库。在这些证明者中，博灵需要特别谈一下，他的证明实际上与阿尔福斯的证明差不多同时且相互独立提出，当时他还就自己的证明拜见了卡莱曼，由于瑞典人习惯将所有论文私下传阅，所以博灵6年以后才在他的博士毕业论文中正式发表了自己的证明。[2]1－2当然，在正式发表前，一般人是很难找到博灵的证明的。即使这样，博灵还是很快就出名了，他的论文成了那时最有影响的数学出版物。[8]
当茹瓦提出的这个猜想不愧是一个试金石，在怀念证明猜想的这些数学家的同时，我们也怀念当茹瓦。
致谢：感谢赵丹和王姝彦两位老师帮助寻找文献。武田田认真校阅了本文。
［补充说明］有关阿尔福斯的重要中文译文文献还有：L.V.Ahlfors的数学工作．数学译林，1998(4):313－321.相应的英文原文是：Krantz S.G.The Mathematics of Lars Valerian Ahlfors.Notices of the AMS,1998,45(2):233－242.
［收稿日期］2011－08－05
注释：
①本文英文人名翻译主要参考张鸿林、葛显良《英汉数学词汇》，2006年清华大学出版社出版。
②f(z)＝c[,0]＋c[,1]z＋c[,2]z[2]＋…＋c[,k]z[k]…