在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数不等式恒成立的问题，这类问题与函数、方程、向量、导数、解析几何等知识综合在一起，演绎出一道道设计新颖、五光十色的题目。这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措。这些题目从解题目标上看，基本上有三种：求参数的取值范围，使含参数不等式恒成立，能成立或恰成立。本文旨在研究恒成立中的一类问题。
一、问题的提出
对于“任意x属于U,（U=[m，n]下同），a>f(x)或a<g(x)恒成立”，求a 的取值范围”这类问题，不少学生认为“a>f(x)或a<g(x)对任意x属于U恒成立”可转化为：对任意x属于U，a>f(x)恒成立（1）或对任意x属于U，a<g(x)恒成立（2），其实这种转化是不等价的。
二、问题的剖析
“任意x属于U, a>f(x)或a<g(x)恒成立”除了上述两种情况外，还可能有第三种情况：对于U中的部分元素X，a>f(x)（a<g(x)成立，其余所有的X使a<g(x)（a>f(x)）恒成立，即存在X属于A（A是U的非空真子集），a>f(x)（a<g(x)恒成立且对任意X属于A的补集时，a<g(x)（a>f(x)）恒成立（3），故所提的问题是（1）、（2）、（3）的并集。
不妨设对于x属于U，y=f(x)的值域为[t1,t2],y=g(x)的值域为[t3,t4]，（1）等价于 a>f(x)的最大值，推出a>t2，（2）等价于a<g(x)的最小值，推出a<t3, t3≤t2,对于是否有适合（3）的解，可在同一坐标系下做出y=f(x),y=g(x)，y=a的图像，利用数形结合判断之。若t3>t2,则（1）、（2）的并集是R,故a的取值范围为R。
三、应用举例
例：已知函数f(x)=3x和g(x)=2x，当x属于[-1，0]时，a>f(x)或a<g(x)恒成立，求a的取值范围。解：由题意知，对任意x属于[-1，0]时，a>f(x)（1）或对任意x属于[-1，0]a<g(x)（2）或对存在x属于A（A是U的非空真子集），a>f(x)（a<g(x)）恒成立且对任意的x属于集合A的补集有a<g(x)（a>f(x)）恒成立（3）。易知函数f(x)=3x和g(x)=2x在闭区间[-1,0]上都是增函数。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆又f(x)，g(x)都属于[ ，1]，由（1）等价a大于f(x)的最大值推出a< ；当 <=a<=1时，判断是否有符合条件（3）的集合A。若有，则此时a的值就符合题意；否则不符合。
在同一坐标系下分别做出函数f(x)=3x和g(x)=2x（x属于[-1,0]）和y=a的图像，不难发现，在区间[-1,0]上f(x)=3x的图像总在g(x)=2x的下方，当且仅当x=0时，f(0)=g(0)=1。
（1）若a= ，不妨设y=a与y=f(x)的图像交点的横坐标是x1，a>f(x)对于x属于[-1，b](-1<b<x1)成立且a<g(x)对于x属于[b，0]恒成立；a>f(x)对于x=-1时成立，且a<g(x)对于x属于[-1，0]恒成立。所以符合（3）的A的个数有无数个，故a= 符合。（2）若 <a<1时，不妨设y=a与f(x)=3x和g(x)=2x的图像交点的横坐标是x2,x3,设x2<c<x3，则有“a>f(x)对于x属于[-1,x2]成立且a<g(x)对于x属于[x2，0]恒成立”，“a>f(x)对于x属于[-1,c]成立且a<g(x)对于x属于[c，0]恒成立”，故符合（3）的A有无数个，因此 <a<1符合。（3）若a=1，符合（3）的A不存在，故a=1 不符合。
四、几点思考
1.若题目中y=f(x)和y=g(x)的图像不易获得，则可以结合两个图像的单调性、值域及对定义域里同一个变量x来比较f(x)和g(x)的大小关系，以曲线或直线近似代替其图像，数形结合来求解。
2.上例中若将条件x属于[-1，0]改为“x属于[-1，0)”，其他条件不变，则a属于R。实际上若在区间[m，n]上y=f(x) 的图像总在y=g(x) 的下方，且y=f(x) 和 y=g(x)均为增函数，a>f(x)或a<g(x)对任意x属于[m,n]恒成立时，a属于R。
3.若将上例中f(x)=3x和g(x)=2x改为f(x)=2x和g(x)=3x，其他条件不变，符合（3）的a不存在，故此时a的范围为a>1或a< 。
实际上在闭区间[m，n]上，若 y=f(x)的图像总在y=g(x)的上方,且y=f(x)和y=g(x)均为增函数，a>f(x)或a<g(x)对任意x属于[m，n]恒成立时，则不存在符合条件（3）的a，此时a的范围是a>f(m)或a<g(n)。
4.y=f(x)和y=g(x)均为减函数，或一增一减时，可结合它们的值域的交集是否为空集，以及两个图像的交点等情况用此法来解决。
以上解题方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。但是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本质的思想，我们要在教学中不断启发诱导学生，使其乐于探索，勇于探索，这样学生才能通过对问题的具体分析，把握实质，使得解题过程更加简单。
数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，方法灵活多变，技巧性较强。这就要求我们以变应变，要根据具体的题设条件，认真观察题目中不等式的结构特征从不同角度加以分析探讨，从而选择适当的方法快速而准确地解出。
论文作者:郑英华
论文发表刊物:《教育学》2017年5月总第118期
论文发表时间:2017/7/6
标签：图像论文; 函数论文; 值域论文; 区间论文; 不等式论文; 均为论文; 交点论文; 《教育学》2017年5月总第118期论文;