利用二次函数解决最值问题的一点思考论文_何良武

摘要：运用二次函数分析和解决简单的实际最值问题，是中考考点，也是难点。要求学生具有分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识。本文通过探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．

关键词：二次函数最值实际问题

类型一、利润最值

例1、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y，(元)与销售月份x (月)满足关系式，而其每千克成本(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．

(1)试确定b，c的值；

(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x的取值范围)

(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?

例1解析

分析：在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中的值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而造成错解。

类型二、面积最值

例2、如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

例2解析

解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：，

解得：b=3，c=4．

抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．

（2）如图1所示：

∵令x=0得y=4，

∴OC=4．

∴OC=OB．

∵∠CFP=∠COB=90°，

∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．

设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）．

则CF=a，PF=|﹣a2+3a+4﹣4|=|a2﹣3a|．

∴|a2﹣3a|=a．

解得：a=2，a=4．

∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．

（3）如图2所示：连接EC．

分析：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，用含a的式子表示相关线段的长度，然后列出△PBC的面积与a的函数关系式是解题的关键。

解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式，②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值。

论文作者:何良武

论文发表刊物:《教育学文摘》2019年第15期3批

论文发表时间:2020/1/9

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