于沈亮（山东省招远市第九中学 山东 招远 265400）
中图分类号：G628.2文献标识码：A文章编号：ISSN1672-6715 （2019）04-032-04
课标要求：能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。在三角恒等变换的教学中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。鼓励学生独立探索和讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练。
一、教学分析
“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的本质是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.
在实际教学过程中,可以引入一些高考题的某一问，让学生们感受一下高考的难度，可以让学习优秀的学生适当的接触一些高考常规练习题，让学生们都学有所成。
二、教学目标
1．知识与技能：
通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.
2．过程与方法：
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.
3．情感态度与价值观：
通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养;通过学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.
学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动去求学。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。
三、重点难点
教学重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。
教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式并熟练解三角综合题。
四、课时安排
2课时
五、教学方法：
讨论法、演示法、启发法、练习法等
六、教学设想
（一）导入新课
活动：(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来)
②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？
③在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？
④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？
⑤能看出公式中角的含义吗？思考公式成立的条件吗？
⑥思考过公式的逆用吗？想一想C2α还有哪些变形？
活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题。
问题②，然后找一名学生进行口算简化，其他学生在自己的座位上简化、并听取学生的化简过程，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα（S2α）;
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ (C2α);
这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”。
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问题③，点拨学生结合 思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.
这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.
问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.
问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S2α),(C2α)中的角α没有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠ kπ+ 和α≠kπ+ (k∈Z)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+ ,k∈Z时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.
问题⑥,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α= sin6α，4sin cos =2(2sin cos )=2sin ,
， 等等.
（三）应用示例
例题讲解：
例1：
活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定灵活性，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.
点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.
例2 已知sin2α= , <α< ,求sin4α,cos4α,tan4α的值.
活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.
解:由 <α< ,得 <2α<π.
又∵sin2α= ,
∴cos2α= = .
于是sin4α=sin=2sin2αcos2α=2× ×( )= ;
cos4α=cos=1-2sin22α=1-2×( )2= ;
tan4α= =(- )× = .
点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.
变式1：若将 的范围改为 ，结果相同吗？
活动：教师引导学生范围的改变会带来什么变化，让学生的关注点更为突出。
解析：
点评：与例题相呼应，让学生们观察出了异同点，突出两个题的关键点在于范围的影响。让学生们感受到数学变化的力量，激发学生主动去探究，发现问题的兴趣。
变式2：
提示：
活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想例1，再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在解题过程中就会起到至关重要的作用，在今后的解题中，万万不要忽视它.
解析：
点评：与例题,变式1相呼应，让学生们观察出了异同点，突出几个题的关键点，引导学生自己开发，改编题型，创新题型，。让学生们感受到数学变化的力量，激发学生主动去探究，发现问题的兴趣。
例3 在△ABC中,cosA= ,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.
活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=π,0<A<π,0<B<π,0<C<π,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A+2B与A,B之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C的值.
解：方法一:在△ABC中,由cosA= ,0<A<π,得
所以 =
× = ,
又tanB=2,所以
于是
方法二:在△ABC中,由cosA= ,0<A<π,得
所以
× = .
又tanB=2,所以
于是
点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.
（四）当堂练习：
1、已知 ，求 的值。
点评：效果良好，学生们还能很好的运用诱导公式或两角差的正弦公式，结合本节课的倍角公式做一些简单的应用。
2、已知 ，求 的值。
点评：学生再求正切值的过程中，根据角的范围，注意到了正弦值与余弦值的正负号的取值关系， 学生们的基本功还是相当扎实的。
（五）课题小结
1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与运用.
2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.
（六）：随堂检测：
效果反馈：总得来说，基本圆满的完成了本节课的教学任务，学生掌握的还是良好，并且学生有所收获，学生在倍角公式的掌握与灵活运用上能熟练应用，但个别同学在计算上出现失误。
七、作业
课本习题3.1 A组15、16、18、19（选做）
八、板书设计：
课题：
两角和公式：
倍角公式：
?
?
?
注：
?角范围
?变形公式：
?降幂公式
?升幂公式例题：
例1：
跟踪练习：
例2：
变式1：
变式2：
例3：
跟踪练习：课堂练习：
1.
2.
九、教后反思：
在整个教学过程中，我突出了对问题的设计，以问题引导学生的思维活动。在教学中，结合学生的思维发展变化不断提问，使学生对问题的思考逐步深入，思维水平不断提高．同时给学生提供活动探究的机会，加强引导学生通过自己的观察、探究等活动获得数学结论的过程，激发学生学习数学的兴趣，让学生感觉到了每解决一个数学问题，就能得到一种成就感。符合当代教学倡导的积极主动、勇于探究的学习方式，结合本节课的教学，我做如下反思：
二倍角的正弦、余弦、正切公式这一节内容在本章中是一重点，在高考的地位更为重重之重。（1）二倍角公式是两角和公式的特殊形式，同时，二倍角公式又可以和后面的三角恒等变换联系起来，所以二倍角公式的地位是显然的。（2）二倍角公式的应用也比较广，在三角函数式的计算、化简、求证及简单应用中都会涉及到。（3）二倍角公式的证明本身就是一种化归的数学思想。因此《二倍角的正弦、余弦、正切公式》的第一个课时，我着重从它的正弦、余弦和正切公式正用、逆用两方面来设计这节课。
本节课的难点在于公式的灵活应用，这对于学生的思维能力是相当大的挑战。公式本身就是符号的集合，抽象性极强。当然也正因为其抽象性，才具有广泛的迁移性及应用。为此在例题及变式练习的设计上我遵循了从简到繁，由易到难，层层推进，遵循了学生认知规律，再加上老师的适时总结收到了较好的效果。
在教学过程中，我始终将教师的指导教学和学生的自主学习有效地结合起来，基本上完成了本节内容的教学任务。课堂教学中我十分注重讲练结合，提示和点评都能够结合学生的实际情况进行。为了调动学生的积极性，发挥学生的主体作用，从一上课开始，到推导公式，几道例题及习题始终把解决问题的机会留给学生．引发学生积极思考，积极参与。在每一部分又分别强调学法指导，一题多解，引导学生思考、联想，举一反三，适时总结，使得教师的主导作用和学生的主体作用十分融洽．学生没有因为公式教学而感到枯燥、厌学，反而会全身心地投入到课堂上，基本上达到了我们的教学目的。同时老师要时常反省教学，及时反馈学生的掌握情况，力求不断完善，不断提高教学水平，找出好的教学方式，让学生能更好地理解所学内容，更好地启发和培养学生独立发现和解决问题的能力。
本节课，在教师的引导下，学生的思维活动展开的比较充分，在课堂上学生积极参与，积极探索，学习的热情较高，在对公式的理解，思想方法分析能力,逻辑的体会，以及运算推理能力的提高等方面都有较大的进步．
存在的不足之处，恳请各位专家批评指正，谢谢！
论文作者:于沈亮
论文发表刊物:《基础教育课程》2019年4月08期
论文发表时间:2019/10/30
标签：公式论文; 学生论文; 余弦论文; 正切论文; 正弦论文; 教师论文; 函数论文; 《基础教育课程》2019年4月08期论文;