（简阳市贾家中学 简阳 641400）
本人从事过初中数学教学二十多年，二次函数在初中教材中作了较详细的研究，但是由于初中学生对函数的理解不够深，加上基础薄弱，还受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是肤浅的、机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，要对函数的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、值域）灵活应用，尤其是高三复习阶段，应用尤为突出，因此，对二次函数还需再深入学习。在我从事高中数学教学十几年里，不断摸索、探究，总结出以下点滴小结，与大家共享。
一、加强引导学生对理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上，重新学习函数概念，主要是用集合间的对应关系来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的对应?:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素x对应，记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
例1.已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)
这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
例2.设?(x+1)=x2－4x+1,求?(x)
这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
?(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2－6x+6
(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1 ∴?(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而?(x)= x2－6x+6
二、二次函数的单调性，最值与图象。
在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－]及[－，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
例3.画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
例4．（1）已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋
1，对称轴方程为x＝a.
①当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a， ∴1－a＝2，∴a＝－1.
②当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0， ∴a＝(舍)．
③当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
（2）设?(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
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求：g(t)并画出 y=g(t)的图象
解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
当t＞1时，g(t)=?(t)=t2－2t－1
当t＜0时，g(t)=?(t+1)=t2－2
t2－2, (t<0)
g(t)= -2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。
三、与二次函数有关的恒成立问题
与二次函数有关的不等式恒成立两个条件
ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是
例5.(1)若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：函数f(x)的定义域为R，所以2 x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. 答案：[－1,0]
(2)若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________．
解析：①当m＝0时，1>0显然成立．
②当m≠0时，由条件知
得0<m<1，由①②知0≤m<1. 答案：[0,1)
（3）不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()
A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5]
解析： x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. 选A
（4）若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是()
A．[1,19] B．(1,19) C．[1,19) D．(1,19]
解析： 函数图像恒在x轴上方，即不等式
(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．
①当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．
②当a2＋4a－5≠0时，应有
解得1<a<19.
综上可知，a的取值范围是1≤a<19. 选C
与二次函数有关的恒成立问题,通常与二次函数的最值、图像与x轴的交点等知识紧密结合，数形有机结合，有助于培养学生的数学素养。
四、二次函数的知识的综合运用，训练学生的数学思维
例6．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
二次函数的内容涉及很广，本文暂讨论至此，愿我们在高中数学教学中多关注这方面知识，使我们对它的研究更广泛、更深入，让学生掌握得更牢固，运用得更灵活。
论文作者:李继学
论文发表刊物:《读写算（新课程论坛）》2016年第10期（上）
论文发表时间:2016/11/6
标签：函数论文; 定义域论文; 学生论文; 调性论文; 图象论文; 不等式论文; 值域论文; 《读写算（新课程论坛）》2016年第10期（上）论文;