八年级学生一次函数图象的错例分析，本文主要内容关键词为：图象论文,八年级论文,函数论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》），本研究编制了八年级一次函数的数学试题，并对3个地区的83792名学生进行了学业水平的测试，对作答情况进行统计，并对错误作答进行分类统计及分析，最后针对错例得到4点启示. 函数是研究世界运动变化的数学模型，是常量数学过渡到变量数学的标志.一次函数是函数中最基本的函数，在初中阶段占有着举足轻重的地位，是学生学习函数的重要基础之一.《标准（2011年版）》对于一次函数图象要求“能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况.”那么学生的实际学习情况是怎样的，学习中存在的问题有哪些，教学中应如何改进，本文基于北师大“中国基础教育质量监测协同创新中心”的项目，通过对3个地区的8万多名学生的测试，对学生在一次函数图象中所产生的错误及其成因进行分析，试图回答以上提出的几个问题. 行为主义心理学家认为，人是在不断地尝试错误中进行学习的.这说明对已有的错误进行分析是有利于学生的学习的.戴再平在其《数学习题理论》中更是看重对错误的分析，将数学解题的错误分为4类：知识性错误，逻辑性错误，策略性错误，心理性错误.根据本次测试中学生错误作答的统计分析与访谈调查，一次函数图象的错误类型大体可分为以上4类.其中知识性错误是指学生对一次函数中的概念理解不清、掌握不够完善，图形图象的性质模棱两可.这样的知识性错误往往导致学生不能正确地理解题意，对相关的知识理解不当，造成解题错误.逻辑性错误是指学生在解题过程中由于违反逻辑思维的形式和规律而产生的错误.逻辑性错误本质上也是知识性错误，但是究其错误的知识盲点主要不在于数学而在于逻辑，例如由于忽略实际情境导致对自变量的取值范围及因变量的取值范围的判断不当.策略性错误主要是指解题方向上的偏差，造成思路受阻或解题程度过大，以致在做题中出错或即便做对也因费时而有方法性错误.非智力性因素错误（心理性错误）是指与数学学习无直接关系的情感、意志、兴趣、性格、目标等方面的因素所导致的错误.例如，题目在试卷中的位置会使部分学生对题目难度产生主观判断，从而影响学生对不同题目的不同作答心理，比如很简单的压轴题也会给学生带来很大的心理压力. 一、一次函数图象的得分情况 在该测试中，共有6道考查函数图象的题目，这些题目考查的内容，一是根据具体情境求出函数图象；二是根据图象求出函数表达式；三是根据表达式判断函数图象等.本文选择了其中具有代表性的一道题目，对其进行充分的挖掘与分析.题目及其得分率情况如下： 小灰灰和灰太狼一起进行晨练.小灰灰从狼堡先跑8min后，灰太狼才从同一起点沿同一路线开始跑.它们的速度一直保持不变，经过2min后两人相遇.小灰灰跑过的路程s和所用时间t之间的关系如下页图1所示，根据图象回答下列问题： （1）写出这个情境中的变量________. （2）小灰灰的速度是每分钟________m； （3）在图1坐标系中画出灰太狼跑过的路程s和小灰灰跑步所用时间t的关系图象，并写出函数表达式.（不要求写出自变量t的取值范围）
该问题比较全面地考查了学生对一次函数的整体掌握情况.问题分为4个考查点（其中第3问将表达式和画图象分成2个考查点）.第1问主要考查学生从实际问题中找出变量的能力，属于了解水平，此题得分率为59.3%；第2问考查学生从一次函数图象中获取数学信息的能力，属于理解水平，此题得分率为83.4%.由此看出，前两问得分率较高，大部分学生能够正确解答.但从第3问两个考查点的作答情况看，学生暴露出平时学习中的不足和做题中的某些特点.抓住这些要点，对促进教学和学生解题能力有指导性意义.基于本研究的侧重点，下面我们借助SPSS软件对数据的统计结果重点讨论学生第3问中图象的具体作答情况. 图2呈现了全体学生在该题中图象的作答情况，包括未作答、回答完全正确以及各典型错误的百分比.其中，共有36.56%的学生回答完全正确，可看出大部分学生对一次函数图象的掌握还有所欠缺.未作答该题的学生占30.91%，出现典型错误的学生占32.53%，其中，有18.98%的学生所做图象经过原点，该部分学生未正确理解变量t，混淆了小灰灰和灰太狼的时间，1.27%的学生所做图象过第四象限，该部分学生忽略了路程不能为负值的实际情况，另有12.28%的学生作出了其他错误答案，本测试未对其进行一一编码，下文中笔者选取部分有代表性的错例对其进行访谈调查并深入分析.
二、错例呈现与分析 基于戴再平的4种数学错误类型，对测试中学生错误作答统计分析如下： 1.知识性错误 从该生所答（图3）可看出这是一个典型的知识性错误，学生并不理解函数变量的概念和意义，所以他对题目中的函数关系并不清楚，将抽象的函数图象与实际情境相混淆.从访谈中得知，学生作出该图象大致有两种思路，一种是把图中时间-路程图象理解为时间-路段图象（路段：实际道路）；另一种是把灰太狼的路程s理解为小灰灰的路程，按照这种理解所求的时间-路程关系与原图象中的直线重合.两种思路均反映了学生对函数概念的掌握不到位，导致对题意理解不清，从而造成解题错误.
该图4是一学生按照灰太狼跑步所用时间来刻画图象，从学生找到点（2，1000）来看，该生明白题目中所暗含的两人在1000米处相遇一事.如果变量t表示灰太狼所用时间，那么该生所作图象是正确的，说明该生对题目的思路比较清晰.但是他忽略了条件“小灰灰跑步所用时间t”，造成解题错误.
由以上两例可看出一部分学生在一次函数的基本概念方面有些生疏，导致学生在实际情境中往往无法正确分析变量间的关系，从而无法抽象出函数模型.对数学概念及其概念间关系认识的不深入会给学生解题带来极大的阻碍，使其在理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思的过程中均会遇到困难. 2.逻辑性错误 图5按照灰太狼跑步所用时间来刻画图象，并且忽略了在灰太狼起跑后小灰灰继续前进的事实，因此将两者相遇位置定在800米处，表明该生逻辑思维混乱，主观地进行与题目条件不相符的假设，导致相悖结论产生.
显然，图6所示，该生良好地掌握了一次函数，正确地理解了题目中变量间的关系，能准确求出表达式，但该生忽略了路程不能为负值的实际情况，因此在作图时自变量的取值范围界定错误，图象出现在第四象限.
图7所示错例属于逻辑性错误，经访谈，该生首先是在独立的坐标系中构画了灰太狼的时间-路程图象，并求出其所对应的表达式为s=500t，然后该生在将灰太狼的时间-路程关系迁移到小灰灰的时间-路程图象所在坐标系时，在起点选择正确的情况下按斜率为500作图，得出上图.在此过程中，该生忽略了两人在2min后相遇的事实，导致作图不够准确.
从以上3例可看出，逻辑性错误主要是学生在题目的思维过程中产生的错误，如忽略题目中隐含的事实而臆造出另外的条件，或忽略不同坐标系下函数图象的不同意义而主观地合并两个坐标系.此类错误带有一定的主观性，学生不同的理解方式会产生不同的错误. 3.策略性错误 如图8所示，该生在作题方向上出现了偏差，首先将2min追上理解为2min后开始追，其次将8min后开始追理解为8min时两者相遇，对题目的理解偏差导致了学生的错误作图，此外错误图象所对应的表达式也较为繁琐，间接增加了题目难度.
策略性错误会导致学生在解题中出现偏差或增加解题难度，这与学生的学习习惯有一定的关系.学生的学习习惯会影响学生选择不同的解题方法，不合理的策略会产生错误导向，选择正确的策略会使问题解决事半功倍. 4.非智力性因素错误 经过访谈，学生无法说明其作图（下页图9）依据，起点及交点的选取忽略题设，完全凭其主观猜想.这种错误表明部分学生对数学学习怀有消极情绪，在考试中常常表现为态度不认真、随意作答.
在此题中，有31.6%的考生未进行作答.通过对考生在测试中表现的统计，部分考生在其他一次函数题目中表现良好，说明其较好地掌握了一次函数，但这些考生在该题第3问中完全没有作答痕迹，经过部分的访谈，一些学生表示由于时间紧张，且主观地认为该题作为最后一道压轴题应该有一定难度，因此均放弃作答. 可以看出，不论数学习题的复杂性如何，学生在解答过程中除了依赖原有的知识技能外，还与本身的非智力品质分不开.非智力水平较高的学生往往在数学学习中具有一定的优势，而学生心理能力的高低往往与家长和教师在日常学习生活中的心理教导和培养密切相关，充分挖掘学生的非智力因素，不仅可以帮助他们走出数学学习的误区，对于学生身心的发展也有深远意义. 1.注重函数概念，稳固知识基础 概念是学生学习的基础，只有准确理解和充分把握概念，才能使学生在学习图象时游刃有余.这就要求教师在教学中，要注重概念的教学，给学生打下一个扎实的基础.在学习函数概念时，教师可给学生介绍函数概念的发展历史，让学生了解到函数概念的形成过程，从而建构起函数概念的知识框架，更有利于学生理解变量及其之间的关系. 2.运用合理逻辑思维，正确把握题意 数学是人的一种逻辑思维方式，是人们理性的研究各种问题的方法总结.因此，培养学生的逻辑思维能力是十分必要的.在函数学习中，总是存在学生无法正确理解题意，忽略题目中的隐含信息这样的现象.这与学生是否具有合理的逻辑思维有很大关系，这就要求教师在教学中要引导学生运用合理的逻辑思维去思考问题，在解题时正确把握题意，分清楚题目中条件和结论的关系，挖掘题目中的有用信息. 3.培养良好学习习惯，拓宽解题视角 策略性错误即方法性错误.在传统教学中，教师往往注重数学基础知识而忽略了隐含在其中的数学方法，这就导致学生在解题过程中出现思维混乱、无法选择正确或最简便的方法.本题中学生的方法性错误主要表现为图象中小灰灰和灰太狼横坐标轴选择的一致性上，显然方法选择的不恰当导致学生解题思路不清晰，因此在日常学习中，教师应当从多角度分析知识及习题，让学生形成良好的做题习惯，拓宽学生的学习视角. 4.挖掘非智力因素，走出数学学习误区 学习数学的过程就是征服一道道数学难题的过程，这需要学生有一定的意志、信心等非智力品质，所以教师在教授知识和方法之余，也应该培养学生良好的心理素质.充分挖掘学生的非智力因素不仅可以帮助他们走出数学学习的误区，对学生身心的发展也有深远意义. 注：本文数据来自北京师范大学教育质量监测协同创新中心“区域质量健康体检项目”的子项目“中学数学学业质量诊断与反馈”，子项目负责人：綦春霞.
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