（山东省滨州市惠民县第四实验学校，251700）
摘要：“方差”是人教版教材八年级下册第二十章《数据的分析》的最后一节内容，主要学习分析数据的集中趋势和离散程度的常用方法。本节课在研究了平均数、中位数、众数这些统计量之后，进一步研究另外一种统计方法——方差。“方差”是属于数学中统计学的范畴，它的特点是与生活中的实际问题联系紧密，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用。
关键词：方差；数学；教学实录
教学目标：
1.体会方差公式的生成过程。
2.熟记方差公式，并能运用方差公式解决实际问题。
教学重点：
方差产生的必要性和运用方差公式解决实际问题。
教学难点：
方差公式的生成过程。
教学实录:
一、创设情景
教师：大家 看过射击比赛吗？
学生：看过
教师：现在有一教练面对这样的烦恼，在甲，乙两名射击手中要挑选一名参加比赛,若你是教练，你认为挑选哪一位比较适合？现在教师记录了他们两人平时的五次成绩如下：
甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下：
教师：该怎么选择哪？
学生：求他们的平均成绩，谁的平均成绩高，就选谁。
教师：很好，这位同学选择的标准合理、有效。因为在计算平均数时所有的数据都参与进来，代表性非常强，同时平均数反应了一组数据的集中趋势。
教师：现在请同学们计算一下这两位同学的平均数。
教师：能做出选择吗？
学生：不能，他们的平均数一样。
教师：那该怎么办？
学生：计算他们的中位数。
教师：请快速计算两组数据的中位数。看能做出选择吗？
学生：中位数相等不能做出选择。
教师：假如他们的中位数不相等，就能借助中位数做出选择吗？同学们想想我们在计算一组数据的中位数时用到几个数？
学生：一个或者两个
教师：代表性强不强？
学生：不强。
教师：既然代表性不强，我们就不能借助中位数做出选择。
教师：那该怎么办？
学生：可以用众数
教师：同样的我们在计算众数时用到几个数据？而且我们知道一组数据中的众数唯一吗？
学生：不唯一，代表性不强。所以不能用众数来做出选择。
教师：该怎么做出选择？
教师：既然我们无法从“数”的角度来衡量，那我们就从“形”的角度来看。请同学们在平面直角坐标系中描绘出甲、乙两人的5次成绩，绘制成散点图。
为了直观地看出甲、乙的成绩请在下面两图中画出散点图；
教师：借助于图像能做出选择吗？
学生：可以，应该选甲。
教师：为什么选甲？
学生：甲组数据波动性大，甲的成绩比较稳定。
教师：怎么看出甲的成绩比较稳定？现在小组讨论。
小组讨论，教师巡视并给予指导。巡视过程发现学生有两种解读方法。
教师：下面老师请以一小组代表来回答。
学生1：乙中最大值与最小值的差大于甲中最大值与最小值的差。
教师：我们知道最大值与最小值的差叫极差。大家明白这位同学的意思了吗？
学生：明白了。
教师：能不能说明甲稳定？
学生：可以。
教师：对，极差可以衡量一组数据的波动大小。但这种方法好不好？
教师：我们在计算极差时用到两个数据，但是每组数据有5个，代表性强不强？
学生：不强。
教师：所以我们需要寻找一种更具有代表性的方法来刻画一组数据的波动大小。
教师：哪位小组还有其他想法？
学生2：甲中每个数据与平均数的差小。
教师：很好，这位同学的想法非常棒。我们看一个数据与平均数的差吗？
学生：不行。
教师：两个？
学生：不行，需要看5个数据与平均数的差。
教师：计算出5个数据与平均数的差就能看出甲组数据的波动大吗？
学生：不行。
教师：我们还需要计算出5个数据与平均数差的和。
教师：当数据较多时，用散点图来观察数据的波动性可行性大吗？
学生：不大，数据较多时，不容易观察出来，而且我们的肉眼观测有误差。
教师：“形”的角度有一定的局限性，那我们就从“数”的角度来看。请同学们完成探究一。
二、探究新知
探究一：
教师：完成了吗？
学生：完成了。
教师：能做出选择吗？
学生：不能，因为他们每次成绩与平均成绩差的总和都为0。
教师：为什么会出现0哪？
学生3：因为每次成绩与平均成绩的差，有负的也有正的，这样就相互抵消。
教师：怎样避免正负相互抵消？
学生：加绝对值。
教师：请同学们独立完成探究二。
探究二：
教师：完成了吗？
学生：完成了。
教师：能做出选择了吗？
学生：可以。甲每次成绩与平均成绩差的绝对值之和小于乙每次成绩与平均成绩差的绝对值之和。
教师：很好，每个数据与平均数差的绝对值之和也衡量量一组数据波动大小的统计量。
教师：请同学们用以上方法判断下面两组数据的稳定性。
请尝试根据以上方法判断下列两组数据的稳定性？
9 1 0 -1 -9
6 4 0 -4 -6
教师：通过计算谁的稳定性强？
学生：都一样。
教师：稳定性一样吗？同学们再看一下这两组数据谁的波动大？
学生：第一组数据波动大。
教师：每个数据与平均数差的绝对值之和还能衡量数据的波动大小吗？
学生：不能。
教师：所以说我们需要寻找一种应用更广泛更细致的方法来衡量一组数据的波动情况。
教师：怎么寻找哪？
教师：我们回过头来看一下，刚才我们为了避免正负相互抵消用的什么方法？
学生：取绝对值。
教师：取绝对值的目的是什么？
学生：保证差的非负性。
教师：同学们想一想还有没有另外一种方法来保证数的非负性？
学生：平方。
教师：好！我们就按这种方法来试一下，请完成探究三。
探究三：
教师：能做出判断吗？
学生：能，因为甲差的平方和小于乙差的平方和。
教师：很好！这样我们找到方法了？
众生应答。
教师：请同学们完成探究四判断谁的成绩稳定？
探究四：由于某种原因甲参加了8次比赛，乙参加了5次比赛
教师：完成了吗？谁的成绩稳定？
学生4：乙的成绩稳定。
教师：这样判断公平吗？
学生5：不公平，因为他们比赛的次数不一样。
教师：这位同学说的很有道理，怎样做到公平哪？
学生：取平均数。
教师：请计算他们总和的平均数。再一次判断谁成绩稳定？
学生：通过计算甲的成绩稳定。
教师：非常正确。
教师：回想我们的探索过程，怎样找到更加合理的方法来刻画一组数据的波动情况。小组讨论。
小组代表学生6：先平均、后求差、平方后、再平均。
教师：很好，所以我们用它来衡量一组数据的波动大小。
三、课堂小结
教师：现在我们一起来回想这节课我们都学习了什么？
学生充分交流总结，教师给予肯定。
教师：看到同学们的收获老师很高兴，但让老师欣慰的是在方差生成过程中同学们所体现出来的探索精神和攻坚克难的良好品质。相信同学们会越来越棒。
教学评析：
《初中数学课程标准》中提出，学生的数学学习应当是一个生动、活泼，富有个性的过程。要让学生经历数学知识的形成过程。明确指出学生的数学学习内容应当是有意义的、富有挑战性的，要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动。倡导动手实践、自主探索、与合作交流等学习数学的重要方式。
1．教材背景分析：“方差”属于数学中的概率统计范畴，它的特点是与生产及日常生活中的实际问题紧密联系，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用。本节课是由国家射击队选拔运动员的问题引入的。创设了一个很好的问题情境和统计知识的背景，当学生通过讨论发现用已有的数学知识无法很好解决这个问题时，就会思考该如何从其他角度入手解决问题，这对培养学生的创新意识是十分有好处的。
2．学生背景分析：学生已经学习了描述一组数据的集中趋势的特征数（平均数、众数、中位数），已经会求平均数、众数、中位数，对它们可以表示数据的集中趋势有所体会。对统计含义有了一定了解。极差和方差是描述数据离散程度的特征数。研究一组数据，通常研究它的集中趋势和离散程度。在这个背景下，复习原有知识，学习新知识，使学生对分析数据的知识和方法形成整体认识。
本节课沿着实际问题的提出——产生方差的必要性——方差公式的探索和推导——方差公式的使用——解决实际问题——巩固练习——总结反思，这样的主线设计的。在探索方差概念之前，创设问题情境，回忆相关概念，明确新的学习方向，提出方差产生的必要性。在探索过程中，辅以学生小组活动、探索实践等活动，始终以学生的学习过程为主体，在学生独立思考和合作交流的基础上有针对性地引导。使学生在学习活动中发现、获得知识，体会数学知识在实际生活中的广泛应用，学习过程中还穿插了一组课堂练习，目的在于及时评价和落实学生的学习成果。
在解决引例问题时，通过对数据的分析，发现以前学过的统计知识不能解决新问题，引出矛盾。这里设计了小组讨论的环节，让学生在交流中得到启发，进而使学生的思维发生碰撞，产生创新的火花，真正体现“不同的人，在数学上得到不同的发展”。本节课的重点是方差公式的推导。当平均水平相同时，就要分析数据的稳定性。而画散点图是学生比较熟悉的能直观的反映数据波动大小的方法，因此在这个环节设计了让学生动手画图实践，锻炼了学生画图的能力，从中体会画散点图是描述数据波动大小的一种方法，进而引出如何用数值表示一组数据的波动。再推到过程中关键是怎么解决“正负抵消”的问题。求平均数的方法是学生比较熟悉的方法。我向学生完整地展示了利用平均差衡量数据波动大小的方法。进一步引导学生得出用平方的方法解决非负的问题。层层设疑，步步推进，教师和学生一起解决问题，确定知识点，使学生在一次次的解决问题中体会方差概念的发生发展形成过程。
作者简介：邱秀娟，（1987.09-），女，山东省滨州市惠民县人，第四实验学校，研究方向：数学课堂教学。
论文作者:邱秀娟
论文发表刊物:《知识-力量》6中
论文发表时间:2018/10/15