关于直线方程的研究性教学设计案例，本文主要内容关键词为：方程论文,教学设计论文,直线论文,研究性论文,案例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文试图通过一个具体案例来介绍在学生学完“直线方程”和“不等式”的有关知识后，笔者是如何通过一个数学命题的推广进行研究性教学设计的.
1.教师准备的原问题
已知：如图1，直角AOB内有一定点P，过点P的直线与角的两边围成一个三角形，求此三角形面积的最小值.
如图2，以O为坐标原点，直线OA为x轴，直线OB为y轴建立直角坐标系，设点P的坐标为（m，n），过点P且与∠AOB两边相交（交点为Q、R）的直线的斜率为k，其中k＜0，则所得三角形的面积S与k的函数关系式为
2.教师引导学生在原问题基础上提出新问题
问题1 当面积S取得最小值时，考察点P、Q、R的坐标间有何关系？
学生不难发现：点P为线段QR的中点.
引导学生考察原问题条件的属性，即∠AOB为直角，提问：是否可以改变∠AOB的属性呢？改变问题条件属性后的问题1结论还成立吗？学生在老师的启发下提出了问题2.
问题2（猜想） 已知∠AOB为锐角或钝角，点P为其内一定点，经过点P的直线与角的两边围成一个三角形，则当这个三角形的面积最小时，点P为线段QR的中点.
3.指导学生研究问题
3.1 检验猜想是否成立
（1）把学生分成几组，分别讨论如何对猜想进行验证，写出检验计划，并对各组的检验设想进行交流.教师根据各组交流的检验方法和程序（只是设想，还未付诸行动）进行评价，并指出进行检验（验证）时，对猜想中所包含的特例个数必须有一定的数量：检验时所采用的方法可以是数学实验法，也可以是推理计算法，对选择数学实验法的组，教师可引导学生应用计算机进行检验，并参与到其中一个组中，指导他们使用几何画板对猜想进行验证（如果学生没有学习过几何画板的使用，须利用2-3个课时学习）.
（2）各组根据交流的结果对本组的检验计划进行修改，然后付诸行动.检验时，要求学生写出检验过程和步骤，记录下检验对象及实验中得到的有关数据和检验结论.
3.2 交流对猜想的检验过程
选择一节课让各组交流他们的检验方法和步骤设计，并组织学生进行相互质疑，相互借鉴，培养学生的数学交流能力.
教师对交流情况进行评价，与学生一齐讨论各种检验方法的特点，引导学生树立实事求是的科学态度，鼓励采用不同方法进行检验，并帮助违背数学检验一般程序的小组分析原因.
下面是其中一个小组在教师的指导下利用几何画板进行数学实验后提交的实验报告.
（1）实验目的：已知∠AOB为锐角或钝角，点P为其内一定点，经过点P的直线与角的两边围成一个三角形，检验当这个三角形的面积最小时，点P是否为线段QR的中点.
（2）实验工具：计算机几何画板软件.
（3）实验步骤：
a.打开几何画板，画∠AOB，在∠AOB内取一个定点P，在射线OB上取一个动点R，画直线PR，与射线OA交于点Q；
b.测量∠AOB的度数、△OQR的面积、线段PQ和PR的长度；
c.用鼠标选中点R，拖动点R，观察线段PQ、PR的长度与△OQR的面积，并填下表：
d.用鼠标选中点B，拖动点B，改变∠AOB的大小，然后重复步骤c，得到另一个表（略）.
当拖动点R在射线OB上运动时，△OQR的面积、线段PQ、PR的长度相应地发生了改变，当拖动点B时，射线OB绕着点O旋转，∠AOB的度数发生改变，相应地，△OQR的面积、线段PQ、PR的长度也发生了改变.
（4）实验结果：当△OQR的面积取得最小时，点P为线段QR的中点，即猜想的结论是成立的.
3.3 寻求严格的数学证明
各小组研究证明方法，然后选择一节课进行集中交流.经过各小组的讨论.得出以下两种证明方法.
证法一：如图3建立直角坐标系（∠AOB的一边OA在x轴上），并设射线OB所在直线的方程为y=tx，直线PQ的方程为（y-n）cosα=（x-m）sinα（注：大多数小组在他们的研究过程中选择了直线PQ的点斜式方程y-n=k（x-m），忽视了当直线PQ垂直x轴时，斜率不存在的情况），其中t为一非零常数，α为直线PQ的倾斜角，且0＜α＜π.求得点Q、R的坐标为
3.4 引导学生拓宽思路，提出更进一步的问题
要求学生根据问题2的解决过程，进一步提出问题，把问题向其他方向拓展，并仿照问题2的研究过程，以小组为单位，按以下程序进行研究：提出问题（或猜想）→通过若干特例检验猜想，并写出实验报告→对经检验似真的猜想寻求严格的数学证明.研究完毕后，须写出研究报告，研究报告必须包含以下几项内容：（1）问题的提出.（2）对猜想的检验过程（或数学实验的方法与步骤）.（3）证明过程.（4）以适当的形式呈现所引用的参考文献.
选择一节课进行成果交流.经过交流，学生提出了以下几个拓展性问题：
（1）经过正方形内（不包含边界）一定点作一直线与正方形的两边相交，求该直线与正方形围成的图形面积的最小值.
（2）将问题（1）中的“正方形”改成“矩形”.
（3）经过圆内的一定点（非圆心）的所有弦中，以该定点为中点的弦与圆的劣弧围成的弓形面积最小.
（4）经过抛物线内一定点所有弦中，以该点为中点的弦与抛物线围成的封闭区域面积最小.
上面的问题中，学生经过研究，部分问题得到了解决，对没有得到解决的问题，如问题（4）（要用到积分的有关知识），虽然仅停留在猜想上，也许这个问题将被带到学生今后的数学学习中.