对2014年江苏省苏州市中考数学压轴题的探讨，本文主要内容关键词为：苏州市论文,江苏省论文,中考论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
随着2014年全国各地中考的逐一落幕，相继产生了很多优秀的试卷、试题.一份优秀试卷的形成凝聚了很多命题组教师的心血，而中考压轴题又是一份试卷命制的核心，它将“几何”与“代数”集于一身，具有很强的综合性.压轴题往往具有知识容量丰富、解题方法多样、能力要求较高、注重数学思想方法的运用，以及要求学生具备一定的创新意识和创造能力等特点.现仅以2014年江苏省苏州市中考数学压轴题为例，谈谈自己的一些认知. 题目 如图1，二次函数y=a（
）（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0，-3），点D在二次函数的图象上，CD//AB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE. （1）用含m的代数式表示a； （2）求证：
为定值； （3）设该二次函数图象的顶点为点F，探索： 在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？
如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，说明理由. 一、试题赏析与解题思路探索 此题是考查二次函数的综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称性等基本性质，待定系数法求直线解析式，直线与抛物线的交点，相似三角形的判定及性质的应用，锐角三角函数的应用，勾股定理及其逆定理的应用.此题逻辑思维性强，需要用运动变化的眼光去观察与思考，综合运用转化、函数与方程、数形结合、分类讨论等重要数学思想方法解决问题. 第（1）小题只需要将C（0，-3）代入函数解析式，即可得到a=
，属于送分题，二次函数解析式变为y=
(
)，但此题体现了一种重要的数学思想，即消元思想.当我们遇到一个问题含有两个或两个以上的参数或未知数时，这种数学思想将起到至关重要的作用.譬如，初中数学教材中的解二元一次方程组问题转化为解一元一次方程问题. 第（2）小题是一个定值问题，主要思路有两条：①求出直线AE的解析式，再与抛物线的解析式联立，解方程求出交点E的坐标，利用求交点问题得出结论；②由点E在抛物线上，设出点E的坐标，再利用一些等量关系求出点E的坐标，利用设坐标法得出结论. 思路1：（求交点问题）先求直线AE的函数解析式，只需要找出这条直线上两个点的坐标即可利用待定系数法求出直线AE.
知A（-m，0），B（3m，0）. 由C（0，-3）及抛物线的对称性， 知D（2m，-3）. 由AB平分∠DAE， 易知点D关于x轴的对称点D′（2m，3）在直线AE上. 设直线AE的解析式为y=kx+b， 将A（-m，0）和D′（2m，3）代入，
得E（4m，5）. 如图2，过点E作ET⊥Ox于点T， 设DD′与x轴交于点M，AD交y轴于点N， 知Rt△EAT～Rt△DAM.
可得出NO=1. 故N（0，-1）. 由对称性，易知点N关于x轴的对称点N′（0，1）在直线AE上. 也可以利用A和N′两点坐标求出AE的解析式. 思路2：（设坐标法）由点E在抛物线上，
第（3）小题涉及直角三角形的存在性问题，这里提供两种方法. 方法1：（观察法）中考压轴题的问题设计，往往都是层层递进的命题方式. 注意到第（2）小题中
，而且AD、AE的长度也恰好是所求直角三角形的两条边的长度，联想到“勾三股四弦五”，我们假设
，寻找满足这一条件的GF即可. 如图3，过顶点F作FH⊥Ox于点H，交CD于点K，由抛物线解析式，可求出F（m，-4），
故AD：GF：AE=3：4：5. 因而以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且GH=
AM=4m， 此时点G的横坐标为-3m. 方法2：（代数法）上面的方法1显示并不能找到所有符合条件的点G，这里再提供一种解决直角三角形或者等腰三角形的一种通法，主要分以下4个步骤. ①首先写出涉及所求三角形已知顶点的坐标，并设出未知顶点的坐标. A（-m，0），D（2m，-3），E（4m，5），F（m，-4），设G（t，0）. ②利用两点间距离公式求出所求三角形的三边长（或三边长的平方）.
③以直角三角形的斜边（长）为标准分类讨论. 此题AD的长度显然不能作为斜边长，故只需分2种情况.
故符合题意的点G的横坐标为-3m.
故符合题意的另一个点G的横坐标为
④需要检验所求是否符合题意及实际意义，尤其是等腰三角形的存在性问题中要特别注意三点共线的可能性，应舍去. 经检验这里求出的两个点G的坐标均符合题意.故存在这样的点G，且横坐标为-3m或者
二、品悟探究过程，挖掘其他结论 （1）如图4，连接AC、BD、BC， 由抛物线的对称性，知四边形ACDB为等腰梯形.知BC=AD，且∠1=∠2=∠3. 从而BC//AE，且
再连接EB，并分别延长AC和EB交于点P，过点P作PQ⊥Ox于点Q， 则△PCB～△PAE，且相似比为3：5.
又由B（3m，0），知点P始终在线段OB的垂直平分线上，并且纵坐标始终为定值
.
从而∠1=30°，且易得
·OC=3 易证∠CAN′=90°（也可由BC//AE得出）. 设PQ与BC交于点J， 在△APB中，由PQ⊥AB，且BC⊥AP，可知点J是△APB的垂心. 连接AJ并延长交PE于点W， 则由垂心的性质，可知AW⊥PE，此时AW是Rt△APE斜边上的高线. “学而不思则罔，思而不学则殆.”在平时的学习中，一味读书而不思考，就会因为不能深刻理解书本的意义而不能合理、有效地利用教材的知识，甚至会陷入迷茫；而如果一味空想而不去进行实实在在的学习和钻研，则终究是沙上建塔，一无所得.我们只有把学习和思考结合起来，学会举一反三，才能学到切实有用的知识，否则就会收效甚微. 三、注重解题模式，打破“模式化” 最后值得一提的是，此题中第（3）小题提供的代数方法适合于大多数等腰三角形或直角三角形的存在性问题，而且过程比较机械化.可以肯定地说，只要所求三角形涉及的顶点坐标能罗列出来，而且横、纵坐标都是常数或者关于某个参数的一次式时，这种解法都是通用的.但是有时候，特别是当顶点坐标是关于某个参数的二次式时，此法可能不再适用.而且若是所求三角形有一个特殊角固定时，“以不变应万变”，可能会有更简单的几何解法.下面以两个例子简要加以说明. 引例1 如图6，一条抛物线经过原点和点C（8，0），A、B是该抛物线上的两点，AB//Ox，OA=5，AB=2.点E在线段OC上，作∠MEN=∠AOC，使∠MEN的一边始终经过点A，另一边交线段BC于点F，连接AF.
（1）求抛物线的解析式； （2）当点F是BC的中点时，求点E的坐标； （3）当△AEF是等腰三角形时，求点E的坐标. 分析：此题易得△AOE∽△ECF，即为所谓的“一线三等角”基本模式.对于第（3）小题，若设E（t，0），然后用t表示点F的坐标，此时点F横、纵坐标都是关于t的二次式，前面的通法，即代数方法不再适用.此题可以以等腰三角形的底边为标准分3种情况，然后用几何法去讨论. （提示：所谓几何法，本质上就是等腰三角形的“三线合一”，这也是等腰三角形中最重要的辅助线，利用三线合一，结合∠MEN=∠AOC的度数始终固定，可以求出前面两个相似三角形的相似比，进而求出点E的坐标）. 引例2 （2014年浙江·金华卷）如图7，直角梯形ABCO的两边OA、OC在坐标轴的正半轴上，BC//Ox，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A、B、C三点. （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCD的一边上取点P. ①当m=0时，如图7（1），点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连接OP，试求△OPH的面积； ②当m=-3时，过点P分别作x轴，直线l的垂线，垂足为点E、F是否存在这样的点P，使以P、E、F三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
分析：若是用代数解法，一方面，点P在梯形ABCD的一边上，需分类讨论，且等腰三角形又要以底为标准分类讨论，分类过多，另一方面，点F的坐标也不太容易表示出来，计算冗长，这种方法不太适用.若是从几何的角度去观察，可以发现点P不可能在边OA上，除OA外，当点P位于直线l的左上方时，通过观察，始终有∠EPF=45°；当点P位于直线l的右下方时，可观察到始终有∠EPF=135°，抓住这些特殊的不变角，可以达到事半功倍的效果. 数学的学习就是在建立模式、完善模式、打破模式、再建新模式的不断循环中逐步构建学科体系，形成解决问题的能力.罗增儒教授在《数学解题学引论》中指出：“好些学习用功的同学停留在知识型的水平上，不能形成较强的解题能力，根本原因在于他们既没有分析典型的例题（解题模式），又没有分析自己的解题（解题过程分析与反思）.题目一旦获解，就匆匆合上作业本，错过了‘学会解题’的最好时机，无异于‘入宝山而空返’.而解题后的分析与反思，有如登上山顶后居高临下的俯瞰，有一种会当凌绝顶，一览众山小的高远境界.”基于上述认识，我们可以认为，掌握基本模式，解题后反思并及时打破“模式化”禁锢是学会解题的“捷径”.
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江苏省苏州市2014年中学入学考试数学紧迫问题探讨_抛物线论文
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