台湾数学“连结”评介，本文主要内容关键词为：台湾论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
随着《义务教育数学课程标准（2011年版）》[1]（以下简称《标准（2011年版）》）的发布，中国大陆的数学课程改革进入了新的阶段.在这一阶段，数学课程内容改革成为数学课程改革的重点，除了对数与代数、图形与几何、统计与概率等常规课程内容领域的调整外，新颁发的数学课程标准还基于实践中存在的诸多问题对2001年首次进入数学课程标准的非常规课程内容领域“实践与综合应用”进行了较大的修改，甚至将其更名为“综合与实践”，进一步强调了数学知识之间、数学与其他领域之间、数学与学生生活之间的联系.而台湾课程中很早就重视数学知识之间的关联，早在由1998年暂行课程纲要修订而成的《九年一贯课程纲要·数学学习领域》[2]（以下简称《纲要》）中就将“连结”这一非常规领域和数与量、几何、代数、统计与机率等常规领域并列，并在涵义阐释、目标要求、教学建议等方面有一系列独到的创新论点. 一、台湾数学“连结”相关内容介绍 能力培养在台湾数学课程中扮演着重要的角色，这在《纲要》中的各部分都有重要的体现.比如在课程理念部分，将数学能力上升到了国民素质的层面，要求数学教育的各个有机组成部分竭尽所能地协助学童落实数学能力；在课程目标方面，确定了“现有学生能够有效学习数学的一般能力”的指导原则，希望课程目标的达成，能够培养学生演算、抽象、推论、沟通、欣赏数学等能力；在课程内容方面，《纲要》用能力指标予以呈现，将课程内容的要求与学生能力的培养进行了结合.此外，《纲要》还十分注重学生基本能力的培养，将基本能力的培养与学生的数学学习进行了有机的结合.那么，该如何培养学生的能力？对于一般的数学能力而言，通过数与量、几何、代数、统计与机率等主题的系统学习就能够实现.而对于基本能力的培养，比如欣赏、表现与创新，生涯规划与终身学习，表达、沟通与分享，文化学习与国际了解等，通过数与量等常规主题的学习，较难达到理想的效果，这就使得数学“连结”主题的出现具有重要意义.当然，数学“连结”主题的出现并不仅仅是出于对学生数学能力和一般能力的培养，协助学生超越数学形式规则的束缚等也是其出现的重要原因. 台湾数学“连结”的涵义与美国全国数学教师理事会（NCTM）2000年发布的《学校数学的原则和标准》中的“关联”这一过程标准的意义相近，即认识到并应用数学观念间的相互联系；理解数学观念是如何相互联系和相互依赖而形成一个连贯的整体；认识到并能应用数学于数学以外的情境.[3]从这里不难看出，数学“连结”由数学内部连结和数学外部的连结两部分组成.其中数学内部的连结，是指数与量、几何、代数、统计与机率四个主题的主题内连结以及主题间的连结，其目的是培养学生的解题能力；数学外部的连结主要是指数学与生活情境、历史、其他学科（如自然学科）的连结，其目的是使学生通过对此的学习，认识到数学与其他学科的关系，促进学生智能、数学能力的发展.数学外部连结主要包括觉察、转化、解题、沟通和评析等五个能力指标.比如评析指标，具体要求如下：能用解题的结果阐释原来的问题情境；能由解题的结果重新审视情境，提出新的观点或问题，能经阐释及审视情境，重新评估原来的转化是否得宜，并做必要的调整；能评析解法的优缺点.从这些要求中可以看出，评析指标包含了对觉察、转化、解题和沟通的要求，而进一步分析其余指标，可以发现，后一指标包含了对前面的指标要求，这表明《纲要》对觉察、转化、解题、沟通、评析五种能力指标的描述在一定程度上反映了数学外部连结的五个步骤.[4] 如何实施数学“连结”主题？《纲要》在实施要点的教学、教科书两部分进行了较为详尽的说明.在教学部分，从数学内部连结和数学外部连结给予了教学建议.对于前者，《纲要》希望学生通过各主题的学习，最后都能收敛连结为对数学的整体感或直观，为后面课题的学习打下基础；对于后者，《纲要》要求教师协助学生体验生活情境与数学的连结过程，培养学生能以数学的观点考察周围事物的习惯，并培养学生观察问题的数学意涵、特征与关系，养成以数学的方式，将问题表征为数学问题并加以解决的习惯，以提高应用数学知识的能力，同时在发展解题策略的过程中，加深对数学概念的理解.在教科书部分，《纲要》反思了传统教材在数学“连结”方面已有的成果和不足，指出传统教材已有意识地注重了数学知识的编排顺序，即注重了数学内部的连结，比如先学习代数主题，再学习几何主题，也基于让学生认识到数学有用的意图，安排了数学与生活情境的连结，但是忽略了纵的、时间轴的历史连结和横向外部领域（尤其是自然科学）的连结，所以《纲要》要求教科书的编写，一方面应注意整体结构的有机结合，在题材的呈现上，反映出各数学概念的内在连接，并且也应注意在选材上，能与其他数学主题、日常生活或其他学习领域的应用的连结；另一方面，要求重视数学与科学以及它们的历史之间的连结.此外，还提出要注意数学与社会科学的连结. 二、台湾数学“连结”特点评析 （一）数学“连结”概念的逻辑清晰，可操作性强 台湾数学“连结”的逻辑层次非常清晰明确，这在其概念图中有着很好地体现（见图1[5]），涵义也比较具体明确，这从《纲要》的能力指标部分对觉察、转化、解题、沟通和评析五个子指标的阐释中可以看出，比如前述的“评析”子指标.这样的逻辑结构，为教材编写者把握此主题内容的编写意图和数学教师对此主题的教学实践提供了很好的便利条件，特别是数学教师，他们能够全面理解数学“连结”的内涵，熟练地掌握数学“连结”主题的开展流程，这极大地方便了他们数学“连结”主题的设计、实施以及评价，这也使得教师有能力将数学“连结”主题的开设变为一种常态的课堂教学形式，并最终达到培养学生良好的数学态度以及数学能力、一般能力的目的.
（二）重视数学的外部连结，特别是数学与科技及其历史之间的连结 数学知识之间并不是孤立的、彼此之间没有联系的，只要教师有意识地引导学生去认识、应用、反思数学知识之间的联系，就能促进学生解题能力的提高.比如，学生在学习数据的表示形式之一的饼图时，教师如果能够使学生意识到饼图的制作与数与量、代数、图形与几何的关系，并进一步通过算术运算或代数运算、图形表示使学生明白某一部分圆心角与圆周角的比值就等于这一部分表示的数量与样本容量的比值，学生在遇到用饼图描述数据或根据数据作饼图时就不会束手无策.而数学外部的连结，包括数学与生活情境、历史、自然（或社会）科学的连结，如果教师不注意这些主题的设计与开发，学生就很有可能意识不到它们的存在，这样极有可能导致学生将数学看成一门枯燥无味的、与其他学科没有联系的学科，并最终丧失了学习数学的兴趣和热情，阻碍了学生的数学能力和一般能力的发展，这也是台湾重视数学外部连结的主要原因. 相对而言，在数学外部连结的诸多组成部分中，台湾已比较注重数学与生活情境的连结，目前这方面的研究也比较多，比如台北市立教育大学的李源顺教授设计“生活与数学连结：买智慧型手机”时，从就业与升学、居家生活、休闲生活、个人责任与人际关系、健康、社会参与等方面罗列了超过70个生活数学，并综述了7人的研究成果.[6]但是，在传统教材中，台湾对数学与历史的连结，数学与其他学习领域的连结涉及的比较少，特别是数学与科技及其历史，而数学史与科学史的连结，能让学生更好地理解数学概念发展的合理性，数学与科学的连结，能够使教师对数学知识的价值和重要性作出恰当的判断，并敢于面对数学与其他科学的联系.这就决定了数学与科技及其历史之间的连结在数学教学书和数学教学中的不可或缺性，也决定了目前台湾数学课程特别注重数学与科技及其历史之间的连结. （三）注重数学“连结”情境的创设 台湾数学课程注重问题情境的创设，其中创设的情境分为两类，一类是具体情境，是指在学生解题、理解数学概念或规律时，用于提示与引导的范例或应用；另一类情境是指协助学生学习的过去的或其他的经验.而数学“连结”，特别是数学外部的连结，本身就与各种情境有着密切的关系，比如转化这一能力子指标，就要求学生能觉察生活中与数学相关的情境，能觉察数学与其他领域之间有所连接，能知道数学可以应用到自然科学或社会科学中，能知道数学在促进人类文化发展上的具体例子.这也在一定程度上反映出数学“连结”的情境主要蕴含在生活、其他领域、自然科学或社会科学以及人类文化发展中. 三、对中国大陆课程“综合与实践”开设的启示 （一）进一步厘清“综合与实践”的涵义，增加其操作性 中国大陆的《标准（2011年版）》对“综合与实践”的要求在内容上“了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力”等，这些要求都较为宽泛，而且并没有指出包含哪些知识点，似乎是第三学段所涉及的内容都可以.这样就使得在操作中难以规范和科学.目前对“综合与实践”的解读存在不少版本，比较权威的主要有以下几种：“综合与实践”是一类以数学问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动.在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题.综合与实践也可以理解为“数学探究”和“数学建模或数学实际应用”.对综合与实践的教学环节也有一定的分析，指出教师在教学设计和实施时应特别关注的四个环节是：选一选、问一问（选题），想一想、议一议、说一说（开题），试一试、做一做（做题），讲一讲、评一评（结题），[7]将综合与实践的过程看作了“微科研”的过程.这些解读或阐释，或操作性不强，或借助于其他概念进行表示使得其本身的涵义模糊不清，较易与其他概念混淆，这些无疑增加了综合与实践的开设难度.中国大陆的教材中在“综合与实践”中没有给出评价的要求，而《标准（2011年版）》对“综合与实践”过程的要求是“结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题”.这些界定都非常模糊，因而难以实施.而台湾的数学“连结”涵义相对明确，教师可以较明确地参照图1呈现的连结概念图开设数学“连结”主题.这就要求我们进一步明确“综合与实践”的涵义，也只有明确了其涵义，教师才能较易地开展此类活动，才能将其突出“综合”与“做”、体现“过程”的特征显现出来，也只有这样，才能真正实现其培养学生综合运用有关的知识与方法解决问题，问题意识、应用意识和创新意识，积累活动经验，提高解决问题的能力的教育价值. （二）在教材编写、教学实践中提升数学与其他学科的联系和综合应用 经过十几年“实践与综合应用”的实践，中国大陆在“综合与实践”的教材编写和教学实践中积累了一定的经验，还出版了几套综合与实践活动的教辅丛书.但是，还存在着诸多问题.中国大陆的教材中有关“综合与实践”的内容尽管要求强调以学生的学习为主，强调问题的解决，但在问题的设计中，考虑更多的还是数学知识本身.例如人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书·数学（八年级下）》课题学习中的“重心”部分，就设计了一系列的具体活动：“线段的重心”、“平行四边形的重心”、“三角形的重心”、“任意多边形的重心”，该系列活动都是围绕着数学内容的“重心”展开，强调的是数学知识本身，并没有考虑数学与其他学科的联系和综合应用.[8]再以认可度比较高的苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学（七年级上册）》为例，此册共有5个专题，共计18个案例，这些案例的设计大多以数学与实际操作（7个）、游戏（6个）、日常生活（4个）的连结为基础，并渗透数学史的教育，涉及数学与其他学科连结的案例比较少，在这一册书中仅有2个，其中一个是“草船借箭”，将数学与文学、历史结合在了一起，另一个是“数字黑洞”，虽然是一个数学与物理连结的事例，但只是做了表面的连结，仅仅用物理中的黑洞来帮助学生理解数学中的黑洞.[9]这在一定程度上反映出目前大陆“综合与实践”的开设在数学与其他学科的联系和综合应用方面做得不够到位，特别是数学与人文学科、社会学科.而台湾地区在这方面做得相对较好，不仅注重数学与科技及其历史之间的连结，从台湾的案例来看，也注重了数学与人文学科和社会学科的联系.其实，不仅是台湾，其他一些国家和地区也十分重视数学与其他学习领域的联系.比如，澳大利亚将可持续发展作为了跨学科重点，并在其最新的数学课程改革文件《澳大利亚课程——数学》[10]中探讨了数学与英语、科学、历史的联系，在课程内容的每一年级列出了“货币与金融数学”这一主题.这就要求中国大陆在“综合与实践”的教材编写和教学实践中，提升数学与其他学科的联系，特别是数学与人文学科、社会学科的联系. （三）重视“综合与实践”情境创设的多样性、复杂性和优化 相同的数学主题，采用不同的情境进行教学就会有不同的教学效果.这就要求我们注重“综合与实践”情境创设的多样性和复杂性.以“数据的收集、整理和描述”为例，进行教学设计时可采用的情境很多，比如教科书中出现的喜爱的电视节目、上学的交通方式、学生身高、出生月份等，也可以采用在电视、报纸、杂志等载体中出现的数据，还可以选取其他的情境，比如笔者之一曾开发过一个案例，将初中数学教科书中出现的数学史作为情境.[11]显然，这些情境的复杂程度差别也很大.如果“综合与实践”的情境较为简单，就可能激发不起学生解决问题的热情，发挥不出综合与实践期望的效果.而如果情境过于复杂，学生往往会花费过多的时间来处理情境与数学表征的问题，很有可能挫伤学生的积极性.这就决定了在开设综合与实践活动时，要注意问题情境的组合与优化.台湾在这一方面做得相对较好，除了将情境划分为生活情境和情境外，还明确地指出了处理数学“连结”问题程序的前两个环节是觉察和转化，其中觉察是识别数学问题和情境，转化是将情境中的问题转化为数学问题，为进一步的解题、沟通和评析奠定基础，这些都值得中国大陆数学课程改革中借鉴. 【编辑手记】“综合与实践”领域的教学一直是教师比较困惑的问题.我们的综合实践课常常是将原来的综合题、应用题、趣味题放到构造出来的“实际”情境中，这种问题指向性十分明确，模型也比较明显；而真实的问题情境，往往并不能直接看出与数学存在什么关联，只有在明确了问题产生的机制以后才能有建模的方向，这个过程，往往需要运用其他学科的知识，而我们的综合实践课在这方面还很薄弱.对于多学科的综合应用是值得我们深入研究的问题.
标签：数学论文; 数学文化论文; 台湾论文; 教学过程论文; 纲要论文;
