王万斌[1]2003年在《偏微分方程参数识别反问题正则化方法研究》文中研究表明本文从多个不同领域的具体实例入手，描述性地给出数学反问题的一般概念以及偏微分方程反问题的准确提法，并简要介绍了偏微分方程的四种类型。因偏微分方程反问题是非线性的不适定问题，故分析了产生不适定的原因，重点研究了不具有稳定性的不适定问题，得出线性紧算子是不适定的。为了正确处理偏微分方程反问题的不适定性这一难点，以获得连续依赖于数据的稳定近似解，借助了正则化的有关概念和正则化的一般理论，得出正则化算子的收敛性和有界性是不一致的。以自伴紧算子的谱理论和紧算子的奇异值分解为基础，详细论证了紧算子方程解的存在性条件和解的表达式，说明了紧算子的不适定性根源于奇异值收敛于零这一性质；得到了将紧算子方程解的表达式同滤子函数相结合，构造出各种不同正则化方法的重要结果。文中给出了滤子函数的充分条件和叁个最重要的滤子函数，其中，用第叁个滤子函数构造的正则化是谱截断正则化，而用第一个滤子函数构造的正则化正是Tikhonov正则化。Tikhonov正则化的基本思想是：把求解第一类线性紧算子方程问题转化为二次Tikhonov泛函极小化问题。本文论证了Tikhonov泛函极小化问题是适定的，即满足 西安理工大学硕士学位论文解的存在性、解的唯一性和解连续依赖于数据的稳定性：并且此极小化问题等价丁求解第一类方程的正规方程。最后，以Tikhonov正则化和函数逼近为理论基础，利川算子识别摄动法、线性化技术，提出求解一维抛物型偏微分方程参数识别反问题的迭代算法，拓宽了求解此类反问题泛定方程和初边值条件的适用范围。从六个数值模拟实验的结果表明，用此迭代法求解参数识别反问题具有数值精度高、稳定性好、收敛速度快的特点。
邢利英, 张国珍[2]2017年在《基于变步长梯度正则化算法识别分数阶地下水污染模型参数》文中研究说明针对一维的地下水污染迁移过程中的非"菲克"扩散现象,建立分数阶对流-扩散偏微分方程.对于其参数识别的问题,采用隐式差分格式离散控制方程,设计变步长的梯度正则化算法重构地下水污染迁移模型参数.数值结果表明:变步长的梯度正则化算法能快速有效地识别地下水污染迁移模型参数;当正则化参数取0.000 1和分数微分阶数趋于2.0时,该算法计算精度高、收敛速度快、稳定性好,具有重要的应用价值.
卢孝强[3]2003年在《基于演化计算的偏微分方程反问题的研究》文中研究表明众所周知，在物理学，力学和工程技术问题的研究中，发现许多问题可以用偏微分方程描述。由于它具有紧密地，直接地联系着许多自然现象的特点，所以随着科学技术的发展，它一方面从其他科学技术中吸取新方法，不断地丰富更新它的研究内容，另一方面，也促进了许多相关数学分支的发展。 最近20年来有关偏微分方程反问题的研究，从理论到方法上虽然取得了重大进展，提出了不少有效的数值方法。但是这些方法要求知道原问题的数学表达式并进行解析运算，而且有些原问题是很复杂，以至于实际上不可能对它进行任何解析运算。 演化计算是基于生物演化思想而发展起来的一种通用的问题求解方法。它采用简单的编码技术来表示各种复杂的结构，并通过对一组编码表示进行简单的遗传操作和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确定搜索的方向。它采用种群的方式组织搜索，这使得它可以同时来搜索解空间内的区域，而且用种群组织搜索的方式使得演化算法特别适合大规模并行。在赋予演化计算自组织，自适应，自学习等特征的同时，优胜劣汰的自然选择和简单的遗产操作使演化计算具有不受其搜索限制性条件的约束及不需要其他辅助的特点。这些崭新的特点使得演化算法不仅能获得较高的效率而且具有简单，易得操作和通用的特性，具有普遍性和对问题复杂性不敏感。 本文主要介绍了偏微分方程反问题基本理论和和它的一些常规解法，由于它的不适定性，我们需要对它进行正则化，并阐述了解决不适定性的基本理论和方法。由于常规数值方法解决偏微分方程问题容易陷入局部最优解并带来复杂数值计算(例如用PST需求Green函数)问题。所以我们把演化计算用到反问题中，因为演化计算可以解决避免陷入局部最优解而且它天生具有内在并行性，特别适合异步并行计算，在本文中分别用GA和GP来运用到偏微分方程反问题中，在第叁章用遗传算法反演一维偏微分方程间断系数并用分片H~1-拟范数正则化来解决间断系数的识别问题，在第四章用遗传程序设计反演一维偏微分方程系数的模型和用有限元来离散求解偏微分方程，在第五章分别用遗传程序设计反演二维偏微分方程右端函数模型和超松弛法来求解差分方程，遗传程序设计反演二维偏微分方程右端函数模型和交替方向隐式格式法来求解差分方程并通过实验来验证它们的效果。在求解这些偏微分方程连续系数反演或右端连一一一~武卫1里鱼立二大一至」夔里匕崖匕位止透二立一一一一续函数的适应值评价中，我们都采用H’一范数正则化来解决连续参数的识别问题。
李云平[4]2005年在《偏微分方程参数识别问题的遗传程序设计方法》文中认为众所周知,在物理学,力学和工程技术的研究中,许多问题都可以用偏微分方程描述。随着社会的发展,来自生产、生活的各个领域的实际需求(比如:要探求位于不能触及到之处的物质变化规律;根据特定的功能对产品进行设计;按照某种目的对流程进行探制;在工业生产中希望得到某种新材料等等)推动了偏微分方程反问题的迅速发展。 近年来,不同学科领域发展了一些求解反问题的方法,但这些方法往往都有一定的局限性,有些是要求方程有特殊的形式,有些是对几何有过强的限制。PST(脉冲谱技术)与扰动方法是比较有效的数值方法,它们都属于线性或拟线性反演方法,但此类方法强烈依赖于初始模型的选取。 演化计算是一种模拟自然界自适应演化过程而发展起来的通用问题求解方法。它采用简单的编码技术来表示各种复杂的结构,并通过对编码进行简单的遗传操作和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确定搜索的方向。简单的遗传操作和优胜劣汰的自然选择机制使演化计算具有不受搜索条件的限制、不需要其它辅助信息的特点。它采用的种群搜索模式,有利于搜索到全局最优解,能较好的解决解的局部性问题。因此,演化计算被广泛的用来求解具有挑战性的问题。 本文主要介绍了偏微分方程反问题的基本理论,由于它的不适定性,我们需要对它进行正则化,并提出解决不适定性的基本理论和方法。由于常规数值方法解决偏微分方程反问题容易陷入局部最优解并带来复杂数值计算(例如用PST需求Green函数)问题。所以我们把演化计算引入到反问题中,它可以避免陷入局部最优解而且它天生具有内在并行性,在本文中分别用基于参数估计的遗传程序设计算法和点树遗传程序设计算法(PTGP)来解决二阶椭圆型偏微分方程的连续和间断参函数识别问题,测试结果表明,这两种算法都能够有效的识别参函数。
唐胜祥[5]2013年在《曲面重建算法》文中进行了进一步梳理在第一章中,首先简要介绍了曲面重建的的历史以及发展状况。随后,给出了关于第二,叁章节的一些预备知识。在第二章中,主要研究了关于偏微分方程的曲面重建方法,给出了两种曲面重建的算法。在基于高斯方程组的基础上,首先给出了其离散化形式,得到了一个非线性的方程组Ax+b(x)=g。为了求解这个非线性的方程组,首先引进了regularized fixed-point iterative算法,在该算法中我们在基于Morzov惩罚原则的基础上选取了正则化参数。为了求解Morzov方程,引进了two-parameter algorithm。在无噪声和有噪声数据的情况下,讨论了regularized fixed-point iterative方法的收敛性。然后,给出了求解非线性方程组的Levenberg-Marquardt scheme算法。在该算法中,正则化参数取值为一个小的常数。最后给出了大量的数值实验来说明两种算法的有效性和稳定性。在第叁章中,主要讨论了基于B样条的曲面重建方法,给出了基于B样条的插值算法和拟合算法。拟合算法采用了基于不等式约束的最小二乘拟合方法。对于B样条的插值算法,我们讨论了其收敛性。对于拟合算法,主要采用了阻尼的高斯牛顿方法。但是用传统的阻尼高斯牛顿方法,求解这个最小二乘问题时,下降方向常常是不可行的。因此,本章中对经典的阻尼高斯牛顿算法做了一个修正,使得下降方向常常是可行的。为了使得我们的算法更稳定,可以用LM方法代替阻尼的高斯牛顿方法,当然对LM算法我们也需要做类似的修正。最后给出了大量数值实验,与其他方法做比较来说明新方法的可行性和稳定性。
参考文献：
[1]. 偏微分方程参数识别反问题正则化方法研究[D]. 王万斌. 西安理工大学. 2003
[2]. 基于变步长梯度正则化算法识别分数阶地下水污染模型参数[J]. 邢利英, 张国珍. 兰州交通大学学报. 2017
[3]. 基于演化计算的偏微分方程反问题的研究[D]. 卢孝强. 武汉理工大学. 2003
[4]. 偏微分方程参数识别问题的遗传程序设计方法[D]. 李云平. 武汉理工大学. 2005
[5]. 曲面重建算法[D]. 唐胜祥. 武汉大学. 2013