由数学哲学到数学教育哲学，本文主要内容关键词为：哲学论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
内容提要 数学教育哲学是八十年代后期在国际上新出现的一个研究课题。数学教育的深入发展直接促成了这一研究课题的形成，另外，数学哲学的现代发展则可以说是为此提供了必要的理论基础。综合地对这一发展作出介绍是这一论文的前两节的主要内容；另外，在第三节中，作者则对如何深入地开展数学教育哲学的研究作出了独立的分析－－在笔者看来，这不仅是充分发挥数学哲学对于实际活动指导意义的重要一环，而且也必将对于数学哲学研究的深入产生积极的影响。
一、数学哲学的现代发展
所谓数学哲学的现代发展，是相对于以数学基础研究为中心的时代而言的，从1890年到1940年的五十年，可以说是数学哲学研究的一个黄金时代：弗雷格(G.Frege)、罗素(B.Russell)、布劳维尔(L.E.J.Brouwer)和希尔伯特(D.Hllbert)等人围绕数学基础问题进行了系统和深入的研究，并发展起了逻辑主义、直觉主义和形式主义等具有广泛和深远影响的数学哲学观，从而为数学哲学的研究开拓出了一个崭新的时代。①
然而，由于逻辑主义等学派的基础研究规划都没有能获得成功，因此，在所说的“黄金时代”以后，数学哲学的研究就一度陷入了低谷，即“进入了一个悲观的、停滞的阶段。”②当然，这种停滞的现象是不可能一直延续下去的。事实是：如果说在四、五十年代人们普遍地在悲叹“数学哲学往何处去？”那么，现今占主导地位的观点则是，数学哲学已经告别基础研究的时代而进入了一个新的发展时期。
与基础研究相比，数学哲学的现代研究表现出了一些明显的不同点：
(1)研究立场的转移，即是由严重分离转移到了与实际数学活动的密切结合。
具体地说，在基础研究中，尽管逻辑主义等学派提出了不同的主张，但他们所实际从事的都是一种规范性的工作。这就是说，他们的共同出发点是对于已有数学可靠性的忧虑或不满，他们又都提出了关于数学可靠性的某种标准，并力图按照这样的标准去对已有的数学进行改造或重建。这就正如伯纳塞洛夫(P.Benacerraf)和普特南(H.Putnam)所指出：他们所考虑的主要是“‘合法’的数学应当是什么样的？”他们并企图为实际的数学活动提出明确的规范，即“什么样的概念和方法是合法的，从而可以正当地加以使用”。③
正因如此，数学基础研究在整体上就暴露出了严重脱离实际数学活动的弊病。与此相比，人们在现代的数学哲学研究中则已采取了新的立场。这就如同赫斯(R.Hersh）在“复兴数学哲学的一些建议”中所指出的：在数学哲学的研究中我们应当采取一种不同的态度，即“不承认任何一种先验的哲学信条有权告诉数学家应该做什么，或者宣称他们正在不由自主地或不知所谓地正在做什么”，而应“真实地反映当我们使用、讲授、发现或发明数学时所作的事。”这也就是说，数学哲学应当是正在工作的数学家们的“活的哲学”，即研究人员、教师和使用数学者对他们所从事的工作的哲学见解。④
(2)研究方法的改变，即是由封闭式的研究转而表现出了明显的开放性。
具体地说，数学基础研究不仅与实际的数学活动、而且也是与一般的科学哲学研究完全隔离的；与此相反，现代的数学哲学研究则表现出了明显的开放性，特别是，现代数学哲学不仅由现代科学哲学通过直接的“移植”获得了新的研究问题，而且也从中吸取了不少重要的基本思想。
例如，特别重要的是，正是由于科学哲学研究的影响，现代的数学哲学已不再象基础研究那样唯一地着眼于数学知识的逻辑结构分析，而是由这种静态的研究转向了动态的研究，即是注意了从历史、社会和心理学等角度去揭示数学活动的性质。
特殊地，我们在此应特别提及拉卡托斯(I.Lakatos)、克莱因(M.Kline)和基切尔(P.Kitcher)的工作：前两者正是通过把数学哲学与数学史的研究相结合而提出了关于数学的经验观和拟经验观；后者则通过关于数学活动的社会－心理分析提出了所谓的“数学活动论”，也即认为应把数学看成是由“语言”、“方法”、“问题”、“命题”和“数学观”等多种成分所组成的一个复合体。⑤
(3)基本观念的变化。也正在这样的意义上，人们认为，在数学哲学中已经发生了“革命性的变化”。
具体地说，所谓基本观念的变化在此是指由“绝对主义”的数学观转移到了“易谬主义”或“拟经验主义”的数学观：前者把数学看成是无可怀疑的、纯客观的知识体系，后者则认为数学主要地应被看成是人类的一种创造性活动。
显然，从后一种立场出发，我们即就应当明确地承认数学的猜测性。这就是说，数学活动是一种包含有猜测、错误和尝试的复杂过程－－也正是在这样的意义上，现代的数学哲学家们明确地提出了数学的“经验性”和“拟经验性”。这就是说，在承认社会实践对于数学发展的决定性作用的同时，我们又应看到数学研究还具有自己相对独立的标准，也即关于数学意义的分析，如新的研究是否有利于认识的深化及方法论上的进步等。⑥显然，这正是数学特殊性的具体表现。
另外，从后一立场出发去进行分析，数学对象显然也就不应被看成不依赖于人类思维的独立存在；恰恰相反，正是数学对象的“形式建构”－－这即是指，数学对象是明确定义的产物，而且，数学结论则又是按照相应的定义和明确的规则去进行演绎的结果－－保证了由内在的思维创造向外部的（相对）独立存在的转化，⑦从而，我们也就应当明确肯定数学活动的建构性质。
综上可见，无论就研究的立场和方法、或是就基本的观念而言，现代的数学哲学研究与先前的基础研究相比都已发生了重要的变化。
二、由数学哲学到数学教育哲学
数学哲学的发展必然会对实际的数学活动产生重要的影响。就数学教育而言，这并非只是指数学教师总是（自觉或不自觉地）在一定数学哲学的思想指导下从事自己的教学活动的，而主要是指任何一个数学教育改革运动都反映了一定的数学观念，任何一个深入的数学教育理论研究也必然依赖于哲学上的深入思考与分析。
事实上，由六十年代遍及欧美的“新数运动”我们即可清楚地看到数学哲学对于数学教育的重大影响：正是数学基础研究，特别是形式主义的数学观为这一运动提供了必要的思想基础，因为“新数运动”的主要特征就在于唯一注重于数学知识的逻辑结构，而完全忽视了实际的认识过程。也正因为此，在对“新数运动”进行评论时，法国数学家托姆(R.Thom)就明确地提出了：“‘现代’数学：教育和哲学的错误？”
另外，就美国目前所从事的新的数学教育改革运动而言，我们又可清楚地看到前述的数学哲学中的革命性变化的影响。这就正如美国著名数学教育家伦伯格(T.Romberg)所指出的：“两千多年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的无可怀疑的真理的集合。这一观念现在遭到了越来越多的数学哲学家的挑战，他们认为数学是可错的、变化的，并和其它知识一样都是人类创造性的产物。……这种动态的数学观具有重要的教育涵义。”这就是指，我们“应当以问题解决作为学校数学教育的中心”－－这也就是新的数学教育改革运动的主要口号：“问题解决”。⑧
一般地说，由“新数运动”到“问题解决”的发展显然清楚地表明了数学哲学（更一般地说，就是哲学思考）对于数学教育的重要指导意义。也就是出于这样的认识，作为一种自觉的努力，从八十年代起，一些数学教育工作者和数学哲学家即就积极地从事了“数学教育哲学”的研究。下面我们就联系第七次国际数学教育会议(ICME－7)和“数学教育哲学团体”(POME network)的工作对国际上关于数学教育哲学的研究作一简要的介绍。
具体地说，数学教育哲学作为一个独立的论题，被纳入了于1992年8月在加拿大召开的第七次国际数学教育会议的议程（论题16）。这一论题组举行了两次正式会议。第一次会议的主题是“数学哲学及其教育涵义”。有三位美国学者(R.Hersh,T.Tymoczko和S.Restivo)在会上作了报告，它们的题目分别是“关于数学哲学的新思考”、“数学哲学和教育中的若干问题”和“知识的社会学与数学教育”。这些报告主要强调了数学观的转变：除去前面所已提及的由绝对主义的数学观向拟经验主义的数学观的转变，报告者并认为应从社会学的角度去从事数学的哲学分析；报告中还对上述转变所具有的深刻的教育涵义进行了分析。一般地说，人们普遍地认为，数学哲学正通过教师的数学观对教学实践产生着深刻的影响。
第二次会议的主题为“数学教育中的哲学问题”。E.Glasersfeld（美国）、S.Brown（美国）、C.Keital（德国）和P.Ernest（英国）等四人分别在会上作了报告。其中，E.Glasersfeld所倡导的是一种极端的建构主义观点，这就是说，符号化的数学如不能被纳入主体的认知结构就是毫无意义的，因为它们所具有的意义完全是由认识主体所赋予它们的，而教育者所能作的只是使这种意义不断改进以获得必要的协调。S.Brown的报告“提出问题的艺术”则是强调了“问题提出”（相对于“问题解决”）的重要性。C.Keital的报告事实上反映了一群数学教育工作者(criticalmathematics educator)的共同观点，即认为应当使数学教育与社会改革更紧密地联系起来，特别是应使受教育者清楚地认识数学的社会功能。最后，P.Ernest的报告“数学教育哲学”则是力图对“什么是数学教育哲学？”的问题作出概括：他认为这涉及到了四个不同的领域：对象（数学），教师和教学，学生和学习，以及社会环境；他并提出了如下的两条对立的“观念体系”：其一包括易谬主义的、社会建构主义(social constructivism)的数学哲学、建构主义的学习理论，和促进型的、以问题为中心的数学教学理论；另一则包括绝对主义的、客观主义的数学哲学，被动接受的学习理论，和权威型的、以基本技能训练为主的的数学教学理论。
综上可见，这些报告即是从各个不同角度论述了数学教育中的一些哲学问题。
除ICME-7会议上的专题讨论以外，就数学教育哲学的专门研究而言，我们还应特别提及“POME团体”的工作。即如它的名字“数学教育哲学团体”(The Philosophy of Mathematics Educeation Network)所表明的，这是数学教育工作者的一个自发性的组织，而又正是对于数学教育哲学的共同关注把这些人联系了起来。这一群体的主席就是上面所已提到的P.Ernest，它的核心组织(The Organizing Group)则包括来自十多个国家的近三十位学者。
为了促进对于数学和数学教育的哲学方面的自觉认识，交流在这一方面的新动态和新思想，并促进国际性的交流和合作，POME团体出版了一个非正式的“通讯”，每年两期，现已出版到了第六期。另外，POME的成员还积极组织了有关的活动。例如，除去所已提到的ICME-7的数学教育哲学专题组以外，在1991年7月召开的英国数学教育大会上也包括了“数学教育哲学”这样的一个专题组，共召开三次会议，其主题分别为“关于数学性质的观念”、“数学观对于数学教学和学习的影响”及“数学、价值和均等机会”；另外，国际数学教育心理学团体(PME)于1992年8月召开的第十六次会上也包括了“数学教育哲学”的专题组，与会者对有关问题展开了热烈的讨论。
POME团体目前所从事的一项重要工作，是筹划出版《数学、哲学和教育》这样一本专题论文集（其主编为P.Ernest），其目的是为了反映在数学教育哲学方面的最新工作。初步拟定的大纲为：
(1)序言。什么是数学教育哲学？关于数学教育哲学研究的议程。
(2)数学教育的目的和价值。目的、合理性和价值。对于现行课程设置的反思和评论。
(3)极端的建构主义。关于极端的建构主义的哲学基础的分析。
(4)认识论、心理学和数学学习论。
(5)关于数学教育研究的认识论分析。
(6)数学哲学的发展。数学哲学的现代发展，及其教育涵义。
(7)数学哲学与数学教育。数学哲学是如何对教育产生影响的？
(8)数学观。教师的数学观念，文化的观念，社会的观念。
(9)批判的数学教育。批判的数学教育的哲学基础。
(10)数学教育中的性别问题和种族问题。
(11)民族数学(ethnomathematics)。
(12)数学的历史、哲学和教学法。
(13)数学的社会观。
(14)后现代主义、后结构主义、数学和教育。
(15)数学教育哲学：前景。关于下一个“一千年”中的数学教育及数学教育的哲学和理论研究的展望。
综上可见，数学教育哲学作为一个具有重要意义的课题，在国际数学教育界和数学哲学界正在得到普遍的关注和重视；然而，就整体而言，这方面的研究又应当说刚刚起步，特别是尚未能建立系统的理论，从而，这就是一个处于积极发展之中的、新的研究领域。
三、积极开展数学教育哲学的研究
由于数学教育哲学是一个新的、但又具有重要意义的课题，因此，这也就应被看成我国的数学教育和数学哲学研究赶超国际先进水平的重要一环。下面即就围绕“什么是数学教育哲学？”和“应当如何去开展数学教育哲学的研究？”这样两个基本问题提出笔者的一些独立见解。
为了讨论的方便，可以先来看以下的问题：
什么是数学哲学？特殊的、一些专业的数学工作者、甚至是著名的数学家，他们平时的一些哲学言论、或是对于自己数学工作较为自觉的哲学反思，能否就说是数学哲学？
应当肯定，这些言论、特别是著名数学家对于自己工作自觉的哲学反思，无论对于数学哲学或是新的数学研究都具有十分重要的意义；然而，作为上述问题的明确回答，我们则又应当说，这种言论或分析不应被等同于数学哲学，或者说，它们不应被看成数学哲学的主要内容，因为，即如任何一门科学的理论，数学哲学也具有自己特殊的研究问题，而又正是围绕这些基本问题，逐步形成各种基本的观点和理论。
从这样的角度去分析，笔者认为，数学教育哲学也就不应被等同于个人在从事数学教育活动（包括理论研究和教学实践）中所“随意”产生的哲学暇想或反思（例如，在笔者看来，上面所列举的ICME-7的数学教育哲学专题和论文集《数学、哲学和教育》中的各个选题就多少带有这种“随意性”），而应具有自己特殊的、而又相对稳定的研究问题。
其次，犹如数学哲学的现代发展所表明的，我们可以、而且应当从各种不同的角度，即如从社会－文化的角度，去从事数学教育的哲学分析；但是，数学教育哲学又应当是一种哲学，而不是什么别的理论。从而就不应当把一些不具有哲学意义的论题包括进来。例如，在笔者看来，“数学中的性别问题和种族问题”就应被看成属于“数学教育的社会学”、而并非数学教育哲学。
具体地说，笔者以为，数学教育哲学主要包括这样三个问题：
第一，什么是数学？这即是所谓的数学观。
第二，为什么要进行数学教育？这涉及到了数学的价值和数学教育的目标。
第三，应当怎样去进行数学教学？这就是关于数学学习和教学活动的认识论分析。
容易看出，这一理解与P.Ernest在ICME-7上所作的关于“什么是数学教育哲学？”的概述是较为接近的，但这是由笔者相对独立地提出的。⑨另外，就这些内容的具体展开而言，笔者认为又应特别提及以下几点：
(1)无可否认，相对于所谓的绝对主义数学观而言，拟经验主义的数学观是一种进步，即更为真实地反映了数学的本性；但是，作为问题的另一方面，我们又应防止由一个极端走向另一个极端，或者说，我们更应注意揭示数学的辩证性质。例如，就前面所提到的“社会的建构主义”而言，我们必须首先肯定其中所包含的合理因素，特别是，数学知识是人类创造性活动的产物，而这种创造性活动则又是一种社会的建构，或者说，数学知识（包括命题、符号、方法、问题等）的可接受性主要取决相应的社会共同体（数学共同体）；但是，在肯定数学首先是一种活动的同时，我们又应注意从数学知识、即数学活动的产物这一方面去揭示数学的特殊性。例如，作为数学特殊性的一个重要表现，我们无疑应当明确肯定数学的形式特征，而如果忽视了这样一点，显然就严重背离了实际的数学活动；另外，这事实上也就是数学的客观性的一个主要依据，这也就是说，为了对数学的客观性作出正确的解释，我们不仅应看到这主要是一种“社会的约定”，而且应当看到，数学的形式建构事实上即已包含了由主观的思维创造向客观的独立存在的转化。再例如，作为现代数学观的一个重要内容，有不少数学家明确提出了“数学是模式的科学”的观点；⑩然而，又只有从上述的辩证角度去进行分析，我们才能更好地理解这一观点。这就是说，数学家是通过相对独立的量化模式的建构、并以此为直接对象来从事客观世界量性规律性的研究的（这正是由徐利治先生和笔者提出的“数学模式论”的核心观点(11)。
(2)就数学教育哲学的研究而言，并不是要为数学教育制定出具体的目标，我们在这方面的主要工作也不是如何对现存的各种数学教育目标（大纲、课程设置计划等）作出具体的评价，而应是从更高的层次为这种具体的研究提供某些基本的准则，或者说，提供一个基本的认识框架。
具体地说，笔者认为，我们应当明确肯定如下的关于“数学教育的时代性原则”。这就是说，数学教育应当作到以下的“三个适应”：
第一，数学教育必须与社会的进步相适应。这不仅是指数学教育应当充分反映社会的要求，从而培养出社会所需要的人才，而且是指数学教育应当充分利用现代社会所提供的新的物质（技术）和文化条件。就现代而言，这又可以笼统地表述为：我们应当努力创立信息时代的数学教育。
第二，数学教育必须与数学的发展相适应，这不仅是指数学教育内容的不断更新，即如引入新的教学内容，而且是指数学教育应当正确反映现代的数学观念，即如以现代数学观点去指导初等数学的教学。
第三，数学教育必须与教育科学的发展相适应。这直接关系到了数学教育的科学性。例如，就现代的数学教育科学研究而言，我们就应当特别注意关于教育的认知科学研究对于数学教育的深刻涵义。
(3)为了很好地解决“应当怎样去进行数学教学？”的问题，一个基本的出发点显然在于建立起关于数学学习活动（和教学活动）本质的正确认识，而这正是数学教育哲学的一个重要课题。
一般地说，关于数学学习过程中思维活动的分析属于数学学习心理学的研究范围；然而，在此要强调的是，为了使数学学习心理学的研究上升到必要的理论高度，在从事数学学习过程中思维活动的具体分析的同时，我们又应特别注意从认识论的高度去揭示数学学习这种特殊的认识活动的本质。这也就是说，我们应当以关于数学学习活动本质的深入分析去指导数学学习心理学的具体研究。
正是在所说的意义上，笔者认为，我们即应特别注意所谓的关于数学学习的建构主义观点，因为，这事实上涉及到了基本观念的转变。这就是说，数学学习不应被看成学生对于教师所授予的知识的被动的接受，而是一个以其已有的知识和经验为基础的、主动的建构过程。
此外，就数学学习活动的具体研究而言，我们还应注意：第一，关于数学学习活动的认识论分析不应是一般的认识论与数学的简单组合，即如在一般认识论的理论框架内加上具体的数学内容或实例，而应以辩证唯物论的基本原理为指导对数学教育领域内的特殊现象、特殊问题作出直接的、深入的研究。第二，我们也不应以数学家的思维（思维方法、思维形式等）作为数学学习活动分析的主要内容－－尽管这种研究具有一定的意义，特别是具体地表明了数学学习在思维训练方面的基本目标；但是，数学学习活动分析的主要对象显然应当是学生（在数学学习过程中）的思维活动。容易看出，以上两点对于数学学习心理学的研究也是适用的。
(4)我们还应清楚地认识数学教育哲学与数学哲学的区别和联系。显然，关于“什么是数学？”的分析也可被认为属于数学哲学的范围，另外，关于数学的认识论研究则又为关于“如何进行数学教学？”的分析提供了直接的基础，从而，数学教育哲学与数学哲学在内容上就有一定的交叉；但是，由于数学教育哲学研究的目标是为数学教育学提供一个必要的理论基础，因此，与一般的数学哲学相比，它就不仅具有自己的特殊内容，而且也有着更强的针对性。事实上，即如前面所已提及的，这正是传统的数学哲学研究、特别是所谓的数学基础研究的一个重要弊病，即是严重地脱离了实际的数学活动（包括数学研究和数学教学）。与此相反，数学教育哲学则应是与实际的数学教育活动密切相关的，即应是关于数学教育的“活的哲学”。从而，在这样的意义上，由数学哲学向数学教育哲学的过渡也就可以被看成充分发挥（数学）哲学对于实际数学活动指导意义的一个重要环节，并事实上体现了数学哲学研究的一个基本的方法论原则。
最后，笔者愿意再次强调数学教育哲学的重要性：对照以下的论述：“构成数学教育学所依据的理论基础有：唯物辩证法、数学、教育学、心理学、逻辑学、计算机科学等等。”(12)笔者认为，我们更应努力建立数学教育学自己相对独立的理论基础，而这就是数学教育哲学。
注释：
* 这是笔者所承担的“国家教委‘八五’人文、社会科学研究规划项目”“数学哲学与数学教育哲学”的成果之一。国际数学教育哲学团体(POME)主席P.Ernest曾对其中的一些基本思想作出评论，特此表示诚挚的谢意。
① 可参见[1]，或夏基松、郑毓信，1986年，《西方数学哲学》，人民出版社。
② L.Kalmar,1967,Foundations of Mathematics-whither now?载Problems in the Philosophy of Mathematics,ed.by 1.Lakatos,Noth-Holland,第192页.
③ 参见[1]，第2页。
④ [2]，第二期，75-76页，第一期，第52页。
⑤ [3]、[4]、[5]、[6]，并可参见[9]。
⑥ ⑦ 可参见徐利治、郑毓信，1990年，“数学模式论的哲学基础”，《哲学研究》，1990年，第二期：或[9]。
⑧ 可参见郑毓信，1992年，“时代的挑战－－美国数学教育研究之一”，《数学教育学报》，1992年，第一期；郑毓信，“问题解决与数学教育”，《数学传播》（台湾），1993年，第四期。
⑨ 可参见[10]。
⑩ 例如可参见L.Steen,1988,"The Science of Patterns",Science 240;或M.Resnik,1981-2,"Mathematics as a Science of Patterns",Nous 15-16.
(11) 可参见[11]。