关于数学文化视域中数学学习的构想，本文主要内容关键词为：视域论文,中数论文,数学论文,文化论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
文章将在“数学文化视域中数学学习”之游戏性、流变性和融贯性等特性[1～3]的牵引下，先就学校生活中学生个体或群体数学学习的思维结构与过程展开预想，然后再结合两个具体的案例，就“数学地思考”和“定法多用”进行剖析，期望能够为“数学文化视域中数学学习”所倡导的融游戏性、流变性和融贯性于一体的数学学习提供样例. 一、数学学习的思维结构与过程 皮亚杰在其《数学结构和思维运算结构》一文中论及数学结构和思维结构之间的联系及其对应关系时曾指出：“假如我们去追溯一个儿童意识中的算术、几何运算的发展和逻辑运算的特性时，我们就会发现与数学结构完全一致的所有类型.”[4]因此，他认为在学习数学时，在数学家揭示出的数学结构和心理学家揭示出的思维运算结构之间，应该会有一种特殊的综合.众所周知，数学思维是理性认识，但是，理性认识毕竟是感性认识的发展结果.因此，感性认识和理性认识（思维）之间具有内在的必然的联系：感性认识是理性认识的基础，并有待于发展成为理性认识.正是基于以上的认识，并结合人们对数学思维已有的探讨和学校数学学习的特性，研究者认为，学生个体或群体的数学学习之思维结构与过程可用图1来表示.
一般而言，中小学生所学习的数学都是人类社会的数学历史经验及其理论总结.经验是知识的基础，而知识则是对经验的总结.现代认知心理学理论和长期的教育教学实践也都证实：如果没有相应的经验，要想掌握知识是不可能的，而且已掌握的知识对获得新经验是有所帮助的.譬如，教师在讲解合并同类项时，就可以从学生个体的经验（如，商场中各类商品的陈列、书市中各类图书的摆放等，而且还可以把这类客观世界中的“数学存在”视为“事实数学”）出发，来分析日常生活中这种类与代数中同类项的联系与区别，从而实现从“事实数学”到“数学事实”的转化.当然，学生已有的关于“归类”的知识对丰富学习同类项的经验也是有所贡献的. 当学生对相对独立的数学知识单元的数学事实积累到一定的程度时，就应鼓励、引导、帮助学生自主地通过组织化的手段获得逐步系统化的知识，形成或优化相应的认知结构（知识结构的内化）.譬如，在学完整式这一单元之后，就应创设情境促使学生主动地对下列知识结构（详见图2）进行内化.这里既要强调整数与整式，以及有理数与有理式的共同点，也要注意其区别.
数学观念、思想和方法是内在于数学知识和经验之中，却又高于数学知识和经验之上，是对数学知识和经验的抽象和概括.譬如，通过上述同类项这种“归类”的数学学习活动，就可以在适当的时候，鼓励、引导、帮助学生从其已有的知识和经验中抽象和概括出数学分类的思想和方法以及某些数学观念.而且，一旦学生们形成了正确的数学观念并掌握了适宜的数学思想和方法，那么对他们今后的数学学习、其他学科的学习以及生活、工作、娱乐等都会产生积极的影响或正迁移. 数学语言是数学对象的形式化和数学观念、思想和方法的客观化的结果.它是事实数学与数学事实联结的纽带.反过来，它对数学事实、数学知识体系以及它们之间的组织化有简约的作用；对数学观念、思想和方法则有精炼的作用.形式化是现代数学学习的一大特色.在数学教学中，如何处理形式化与非形式化之间的适度问题会直接影响数学学习的效率和数学教学质量的全面提高. 数学意识、能力和习惯是学生在数学教与学的活动中获取经验、掌握知识和使用语言的过程中形成和发展的，是数学教学目的的重要而持久的体现——当学生们离开学校的时候，对其所学的知识和经验、数学语言、甚至数学观念、思想和方法等都有可能忘掉或模糊，但却能把数学意识、能力和习惯带走——带到他们的过去、现在和未来当中去，即成为他们反思和成长与发展的营养. 此外，这个关于学生个体或群体数学学习的思维结构与过程可能还具有以下若干特点：（1）紧密结合数学教育实践，可用以指导数学教学的设计与安排——具有可应用性；（2）充分体现了现代系统论的基本原理，如整体性原理、有序性原理和反馈性原理——具有现代气息；（3）为把有关的现代理论综合运用于数学教育研究和实践创造了一个可能的案例——具有典型性. 二、“数学地思考”就是“在大脑中”解决问题 中国现行的数学课程标准非常强调“数学思考”（或“数学地思考”）.那么，何谓“数学地思考”呢？其实，“数学地思考”就是“在大脑中”解决问题，而无须实际地操作（即使有“实实在在的”实际操作，那也只是“辅助的思维工具”！）.下面的小故事就能够很好地说明这一点. 相传某年某月的某一天，4位人物，一位哲学家
、一位物理学家
、一位数学家M和一位教育学家E，一起来到物理学家
家做客. 刚一进门，哲学家
就在客厅里转了一圈，紧接着便走进了厨房……出来后，便问物理学家
：“我们到你家做客，您总得给我们泡壶茶喝吧！请问，您如何烧水泡茶呢？”物理学家
便在另三位人物的直视下，用壶灌水、置烧水壶于煤气灶台、打火烧水、置茶叶于水杯、等候、水开泡茶. “很好！”哲学家
说：“请大家各自取杯品茗吧！”…… 时隔七天之后，还是这4位人物，又一起到数学家M家做客.刚一进门，哲学家
又在客厅里转了一圈，紧接着也走进了厨房……出来后，便问数学家M：“我们到你家做客，您也得给我们泡壶茶喝吧！不过，我刚才在你家厨房里发现，您的烧水壶已经灌满了水.请问，您又如何烧水泡茶呢？” 数学家M独自往自家的沙发上一坐，便说：“这还不简单！我把烧水壶里的水倒了不就解决了吗？”“何以见得？”这时教育学家E发问了.“我烧水泡茶和物理学家
七天前完全一样，只不过现在我家的烧水壶灌满了水而已.所以，把水倒出来便和物理学家
烧水泡茶没有什么区别了，问题解决！”数学家M说.“那你还没有动手呢？我们喝什么茶！”教育学家E又发问了.“我的问题已经转换成物理学家
七天前的问题了，还要我做什么呢？要品茗你们还是找哲学家
去吧！”…… 由此可见，数学家解决问题时总是要首先“在大脑中”解决问题，而实验物理学家解决问题时总是要在实际中解决问题（理论物理学家本质上都是数学家！），哲学家解决问题时总是要自问：“真的解决了吗？什么叫解决问题？什么是问题？有问题吗？是谁的问题？自然有问题吗？人类有问题吗？人类社会有问题吗？有什么问题？有问题就必须解决问题吗？……”教育学家解决问题时总是要设问：“解决问题的能力是我们的教育所能够培养的吗？我们的教育能够在多大层面上培养解决问题的能力？我们的教育需要创造什么样的条件才能够培养解决问题的能力？不同学科的学习其解决问题的思维方式是否有所不同？若有不同，那这不同的思维方式的培养又有什么不同的要求呢？……” 下面将再通过一个具体的数学学习案例来分析“‘数学地思考’就是‘在大脑中’解决问题”这一命题. 众所周知，乒乓球是中国国球.现有12枚乒乓球，从外观和颜色等特征我们无法区分它们，但根据重量的比较我们发现：有一枚乒乓球的质量不合格.现在，请你仅仅依靠一台没有砝码的天平把这枚不合格乒乓球称出来可以吗？ 一般而言，你认为最少需要称重几次就可以找出这枚不合格的乒乓球？尝试着证明你的结论好吗？ 知道这个问题的解答吗？可以先想一想、试一试，再往下看.这样，你可能会收获更多，甚至能够收获到意想不到的收获. 首先，一起来分析一下问题.问题的情景即条件是，只有一台天平，而且无砝码，但12枚乒乓球只有一枚重量不合格，因此，其余合格的乒乓球都可以被视为“单位”砝码.第一个问题怎么都能够解决，只不过不好把握称重的次数.问题是第二个问题要称重的次数越少越好.最少可能是一次吗？不可能.即便是碰巧也要知道“不合格”的轻重才行.但如果是那样的话，就不应该是我们所需要的最少.最少可能是两次吗？好像也不可能.因为我们同样不知道“轻重”.那3次吗？4次呢？…… 由此看来，解决问题的关键似乎是，要首先知道不合格的乒乓球是重或是轻.问题是“不知轻重”！怎么办？…… 其次，我们可以假设“不合格”的乒乓球轻或重，然后再寻求解决问题的办法.既然这样，那还不赶快试一试…… 最后，通过上面的分析与尝试，似乎只能通过称重来判断不合格的乒乓球的轻重了？称重？什么叫做称重一次或一次称重？…… 还得尝试： 不妨先把这12枚乒乓球“编号”：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，然后再将其平均分成3组，每组4枚：A组（1、2、3、4）、B组（5、6、7、8）、C组（9、10、11、12）. 也许下面的编号和分组可能更好：A组（a、b、c、d）、B组（e、f、g、h）、C组（i、j、k、1）.好在哪呢？其实并没有什么本质区别，类似的编号和分组还有很多，习惯就好. 第一次称重：从A、B、C三组中任意选择两组（譬如，B、C）进行称重比较.结果只可能出现以下两种情况之一： （1）平衡（这就说明，不合格的那枚在A组中；而且B、C两组中的乒乓球都是合格的“砝码”.） （2）不平衡（但我们可以“看出”轻重：不妨假设B重，即B＞C；而且不合格的只能在B组或C组中，而A组中的4枚乒乓球都是合格的“砝码”.） 第二次称重：在（1）平衡的情况下，就A组中任意选择二枚（不是一枚！为什么？）（譬如，a、b）与B或C组中的任意二枚（同样是二枚！）（譬如e、f）称重比较.结果只可能出现以下两种情况之一： （
）平衡（这说明，a、b是合格的，与此同时，不合格的是c、d中的某一枚.） （
）不平衡（这就说明，a、b中有一枚是不合格的，与此同时，c、d都是合格的.）
（
）平衡（这说明，j、k、l中有一枚是不合格的，而且不合格的那一枚比合格的轻.为什么？） （
）不平衡（这说明，j、k、l都是合格的，与此同时，不合格的只能在e、i或f、g、h当中.） 第三次称重：在（
）平衡的情况下，就c、d中任意选择的一枚（譬如，c）与任意一枚合格的（譬如，a）称重比较.结果只可能出现以下两种情况之一： （
）平衡：d不合格，结果出来了！ （
）不平衡：c不合格，结果出来了！ 在（
）不平衡的情况下，就a、b中任意选择的一枚（譬如，a）与任意一枚合格的（譬如，c）称重比较.结果只可能出现以下两种情况之一： （
）平衡：b不合格，结果出来了！ （
）不平衡：a不合格，结果出来了！ 在（
）平衡的情况下，就j、k、l中任意选择二枚（譬如，j、k）称重比较，结果只可能出现以下两种情况之一： （
）平衡：l不合格，结果出来了！ （
）不平衡：轻的不合格（譬如，j或者k），结果出来了！ 在（
）不平衡的情况下，有以下两种可能：
总之，12枚乒乓球中，每一枚都有可能是那一枚不合格的乒乓球，但我们只称重3次就把它给找出来了！ 只要简要回顾一下上述解决问题的过程就会发现，在解决问题时不仅用到了分类思想（二分法）、逻辑推导（逆向思维之反证法）、分析和综合，而且还运用了“尝试”“操作”“变换”“调节”等具体的“数学运算”. 其实，至此，只是“做到了”（做了什么？有任何实际的称重吗？没有！所做的只是“在大脑中”思考！可能还有辅之以“图示”或“文字”的说明），也就是证明了“能够在3次以内（其实是刚好3次！）就把那枚不合格的乒乓球称出来”，但还没有说明或证明“不能在两次之内就解决问题”.怎么办呢？还是留待读者诸君尝试吧！ 分类是人类认识之始，也是人类从蒙昧走向文明的第一步；逻辑推导或思想操作则是人类文明发展的重大进展；对此的贡献，数学可谓集大成和精华者也. 三、“定法多用”也能够促进学生发散思维的发展 在数学教育界，一般都认为，“一题多解”是培养学生数学发散思维的重要方法.但是，“定法多用”也能够促进学生发散思维的发展.下面便是一例. 高中《代数》（下册）（人民教育出版社，1987年1月第2版）第33页的第11道复习参考题为：
该题连续运用基本不等式“
”是极易证明的（略）.问题是，如果指定学生必须运用数学归纳法来证明，那么他们必定会另有一番体验. 证明：①当n=1时，
，结论显然成立.
由①、②知，命题成立.
至于如何具体地求证，相信：读者诸君定会给出一个明确的答案！ 与通常的证法（略）相比，上面运用数学归纳法的证明过程显得复杂而富技巧性，虽然表面看来不可取，但却自有其数学学习的价值： （1）世界科技和经济的发展促使人们面临着向信息时代和知识经济时代的转向，这个时代的基本特征是创造性.而从思维的角度来看，发散思维又是创造性的核心，因此在数学学习中强调发散思维（譬如，一题多解等）的培养是具有战略眼光的.然而，在具体的数学学习实践中，却时常走过了头：面对一个问题，同学们可能会从不同的角度提出各种不同的解题思路，但是如果要求他们按照某一确定的思路来具体地解决问题时，却往往又束手无策，不知如何构想或寻找和组织事实或证据.造成这一现象的根本原因是忽视了发散思维的基础或出发点（解决问题）及其目的（问题的解决），即定向思维.这正如没有信息而想获取经验，没有经验而要吸取知识，没有知识而要掌握科技，没有科技而想发展高科技和没有高科技而要追求知识经济一样是不可能的.“定法证题”正是数学教学中强化定向思维，进而为学生发散思维的发展提供广阔选择空间的一种强有力的数学学习策略. （2）“定法证题”的另一个学习价值是，它能促使学生对确定的方法进行深入的分析与领悟，避免形式化的理解与运用，从而整体、全面、合理地掌握方法.譬如，该例中的数学归纳法，其实质是一条公理（皮亚诺自然数公理集中的第五条公理）.归纳验证（起始或基础）之上的归纳假设及其运用是无数个三段论的浓缩——这是学生理解数学归纳法的困难之一，可运用（无穷）递推的思想和联想来帮助学生领会.另一方面，在有了归纳基础之后的由归纳假设（n=k时）到n=k+1时的推导与其他“证题方法”的唯一区别仅在于，前者是由假设到结论，而后者则是由已知到结论——这是学生理解数学归纳法的另一个困难，可利用已知和假设的关系来帮助学生领悟.已知是心理上已接受的假设，接受的理由可能是自明如公理，也可能是已得到的证明；而假设则是心理上存有疑虑的已知，疑虑的原因可能是不明显或没有得到证实.但是，数学归纳法中的（归纳）假设却是建立在归纳基础之上的假设，否则将确实值得怀疑——这正是教学中所强调的归纳基础的重要性.总之，对数学归纳法应作整体的理解. （3）“定法证题”中的定法并非只能运用一种方法，而是以一种方法为主线或架构，多种方法的综合运用.譬如，该例中就是以数学归纳法为架构，综合运用了综合法、分析法和构造法等，这可以看作是“定法证题”的第三个数学学习的价值. （4）通过“定法证题”的运用，还能够培养学生的坚强意志和丰富学生的情感体验，做到知、情、意、行的整体和谐发展. 因此，在数学学习中，不仅要强调“一题多解”的教学功能，也要重视“一法多用”的学习价值，因为只有多用才能知道某一方法的功用和局限，也才有可能找到寻求或发明新方法的契机. 当然，“虽然数学归纳法是在数学的各领域中用途甚广的一种论证方法，但也不是万能的.也就是说，不是所有与自然数n有关的命题数学归纳法都能奏效.所以，遇到与自然数有关的问题时，当然不妨用数学归纳法试一试，如果不行，还应当寻求更适合的解决方法才是.尤其是整数理论中的许多难题，只用数学归纳法难以解决，否则也不会成为难题.此外，即使有的问题可以用数学归纳法解决，但未必总是最简洁的.解决一个问题的方法、途径常常不止一种，其中越是简明的方法越值得称道.”[5]关键是，要了解各种方法的利弊、适用范围与条件等. 下面是另一个有关数学归纳法学习的案例[6]： 我们可以证明“所有金发女孩都是蓝眼睛的”.因为“如果任何n个金发女孩之中，至少有一个是蓝眼睛时，那么这n个女孩便都是蓝眼睛的.”下面我们就用数学归纳法来证明这个命题. 证明：①当n=1时，命题显然成立（可以验证）. ②假设n=k时，命题成立，即“如果k个金发女孩之中，至少有一个是蓝眼睛时，那么这k个女孩便都是蓝眼睛的”成立.则n=k+1时，要证明的是： “如果（k+1）个金发女孩之中，至少有一个是蓝眼睛时，那么这（k+1）个女孩便都是蓝眼睛的.”
故此，由①、②可知：命题得证. 问题是：这个结论显而易见地与人们的生活经验相矛盾.那么，这个证明过程有什么问题呢？如果有问题，那问题又出在哪里呢？ 关于这个“悖论”的解答这里不打算给出，但是，如果你能够自己分析出这个“悖论”产生的原因，那么，你对“数学归纳法”的理解将会“更上一层楼”！而且，在教授数学归纳法时，可以从以下几个方面来引导学生学习与思考： （1）是否与自然数有关的概括性定理都可以用数学归纳法来证明？ （2）如果不是，请举出一例好吗？ （3）您认为，数学归纳法的核心是什么？ （4）数学归纳法中的两步“归纳基础”和“归纳假设”是什么关系？ （5）数学归纳法中的“归纳假设”与一般数学证明中的“假设”有什么本质的不同吗？ （6）数学归纳法是演绎法还是归纳法，或者两者都是？为什么？ 数学归纳法充分体现了数学“关于无限的玩意”的本质特征，它是用“有限”认识“无限”的确定性的重要方法之一，而且还是演绎法. 作为数学教师，应该牢记：数学（无论是其数学思想、数学方法、数学精神气质，还是其历史发展及其与其他人类活动领域的关系）中到处都充满着辩证思维，应该在引导学生学习数学的教学中，充分地挖掘并运用这种辩证思维，并在借鉴“数学学习的思维结构与过程”的基础上，努力运用如下的“悖论原理”在培养学生辩证思维的同时也提升自己的教学技巧、能力、水平乃至教学境界[7]： （1）教学所设计的数学学习空间应该既是有界限的又是开放的； （2）教学所设计的数学学习空间应该既令人愉快又有紧张的气氛； （3）教学所设计的数学学习空间应该既鼓励学生个体发表意见，也欢迎学生团体发表意见； （4）教学所设计的数学学习空间应该既尊重学生们琐碎的“小故事”，也重视关乎数学与数学教育传统与原则的“大故事”； （5）教学所设计的数学学习空间应该既支持学生独处又用集体的智慧作充分的支撑； （6）教学所设计的数学学习空间应该是沉默与论争（而非竞争）并存的.
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