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中图分类号：B561.54文献标识码：A文章编号：1007-905X(2005)03-0096-05
二、争论与分析
（一）争论
类型论解决了悖论，但并没有让逻辑学家们和数学家们感到满意，有人评价说“它是为阻止悖论的发生，任意地临时凑合而成的设计”[1]。从逻辑学家们对类型论的评价来看，他们的不满主要表现在两个方面：首先是可化归性公理，其次是恶性循环原则。
可化归性公理是罗素为了解决类型论本身所带来的困难而引进来的，逻辑学家们（连同罗素本人）都把它看做一条“人为的假定”[2]，因为它并不像一般的逻辑公理那样自明或“必然真”。罗素在写作《数学原理》的时候就意识到可化归性公理是他的系统的一个弱点，但是，如果没有这个公理，很多数学定理就不能从系统中演绎出来，逻辑主义的论题也将无法完成。罗索在《数学原理》第1版的导论中陈述了接受可化归性公理的理由，他认为，由可化归性公理所容许的推理和由该公理所推演出来的有效的结果为接受该公理提供子很强的“归纳证据”[3]，这些证据使得可化归性公理几乎是无可怀疑的。罗素后来在《数理哲学导论》中又提到可化归性公理是“莱布尼茨的‘不可辨别的同一’的普遍形式”[4]。我们可以认为，这是接受可化归性公理最强的证据。不可辨别的同一性原理通常是说，x=y仅当任何使x成立的谓词（或函项）使y也成立（该原理用符号表示是“
”）。罗素在《数学原理》中给出了“同一性”的定义：“
”（其中的φ是直谓函项）[3]，这个定义是说，当所有被x满足的直谓函项也被y满足时，x和y就是同一的。罗素的定义所隐含的一个意思是，如果φ不是直谓函项，即使φx真而φy假，x和y还是同一的。这样，罗素的“同一性”比莱布尼茨的“同一性”就要宽松。可化归性公理的实际作用是要对这种宽松的“同一性”提出限制，即把它限制到更为严格的莱布尼茨的“同一性”。（因为根据可化归性公理，上述罗素的“同一性”的定义所隐含的那个意思就不会成立。）这就是说，如果我们可以认可罗素关于同一性的定义，那么我们就可以认可罗素的可化归性公理。
尽管可化归性公理有很强的支持证据，逻辑学家们还是不满意它“人为的假定”色彩。同时，逻辑学家们普遍认为，可化归性公理实际上是取消了类型内部的函项分阶。因为，根据可化归性公理，所有的非直谓函项都可以用某个与它等价的直谓函项来替代，这样，直谓函项实际上就可以看做是类型的标志，类型的划分将是：个体、个体的直谓函项、直谓函项的直谓函项，等等。这样的类型的划分和简单类型论没有本质上的差别，这就是说，可化归性公理实际上是把分支类型论变相地简化成了简单类型论。由于有些悖论是靠函项的分阶来解决的，那么引入可化归性公理后，人们会问：悖论会不会重现？
1921年，波兰逻辑学家崔斯泰克(L.Chwistek)首先提出废除可化归性公理，取消类型论的分支形态而保留它的简单形态。1925年，罗素在为《数学原理》第2版所写的一篇新的导论中说：“显然需要改进的一点是可化归性公理。这个公理只有一个纯粹是实用的理由：它导致所期望的结果，而无其他结果。它显然不是我们能满意的那类公理。但是，关于这个问题，还不能说可以得到一个满意的解决。雷昂·崔斯泰克博士毅然把这个公理废除而不采取任何替代的东西，从他的研究来看，很明显，他的这种办法使我们不得不牺牲大量普通数学。”[3]罗素对崔斯泰克断然废除可化归性公理并取消分支类型论的做法表示不满，他本人在新导论中采用了维特根斯坦的“外延性原理”（这个原理是说，命题的函项是真值函项，包含一个命题函项的任何陈述的真假有赖于该函项的外延，即使该函项为真的取值范围），目的是为了尽可能减少可化归性公理的使用。但是，罗素并不完全相信外延性原理是正确的（其主要之点在于他不相信“A相信P”这种形式的命题能按维特根斯坦的原理处理），他对这种状况感到失望，没有找到摆脱困境的出路。
《数学原理》第2版刚出不久，罗素的学生莱姆塞(F.P.Ramsey)提出了对类型论的改进意见。莱姆塞的意见是要简化分支类型论，保留其中的简单类型论，而废除其中阶的划分。莱姆塞的这种简化主要是基于对悖论的进一步分析。首先，莱姆塞指出，悖论可以分为两种不同的类型。这两种不同的悖论分别相当于我们现在通常所说的“集合论悖论”（或者说“逻辑悖论”）和“语义悖论”。集合论悖论包括前述的“罗素悖论”、“布拉里—弗蒂悖论”和“康托尔悖论”等，它们都可以用纯逻辑的语言（即逻辑系统的对象语言）来构造。语义悖论则不同，它们一般都涉及“真”、“假”、“意义”、“定义”等非对象语言（元语言）中的语义概念，很难进行纯逻辑的构造。语义悖论包括“说谎者悖论”、“理查德悖论”等等。莱姆塞指出，语义悖论应归咎于日常语言的某种缺陷，它们通常是和一个词或句子之于其意义的关系有关，是把这二者的关系弄混的结果，如果避免了这种混乱，就避免了这类悖论。由于语义悖论在逻辑和数学的语言里不会出现，这样，从逻辑出发去构造数学时，就没必要考虑语义悖论，而又因类型论中函项的分阶主要是为了克服语义悖论，可化归性公理也是始于函项的分阶，现在既然没有必要考虑语义悖论了，那么，函项的分阶和可化归性公理在罗素的系统里就成为多余的了。其次，莱姆塞认为，集合论悖论要借助于简单类型论来排除，并且也只需要简单类型论就可以得到排除。以“罗素悖论”为例，普通的看法是这个悖论中包含恶性循环，莱姆塞则认为，“罗素悖论”尽管包含循环，但其中的循环和由非直谓定义引起的循环是有不同的。具体地说，“罗素悖论”中循环的构成是有条件的，即必须首先要承认“不是自身的元素的类的类”也可以看成一个普通的类，但是，按照简单类型论的划分原则，这已经造成了一种类型混淆，因此是不允许的。所以，就“罗素悖论”而言，主要的问题是类型混淆，而不是恶性循环或非直谓定义。再次，莱姆塞还从实在论的立场分析了非直谓定义的合理性。由于函项的阶的划分被废除了，那么作为分阶的基础的恶性循环原则也相应地被废除了，由此就得承认非直谓定义的合理性。（因为恶性循环原则是从禁止非直谓定义引出来的。）莱姆塞认为，非直谓定义虽然包含着循环，但是这种循环是无害的、可允许的；如果性质的总体是实在的，那么以该总体来定义其中的分子就是可允许的。他举了一个例子，“这个房间里那个个子最高的人”这句话是用某物自身所属的总体来描述某物的，但人们认为这句话是可以接受的。这里的“这个房间里的人”是一个已经存在的总体，不是虚构的对象。莱姆塞接着指出，恶性循环原则只能应用于我们自己所构造的实体，不能应用于独立于我们的构造而存在的对象。最后，莱姆塞还提出了对《数学原理》建设性的改造意见。莱姆塞的主要观点是，数学是纯外延的，《数学原理》的麻烦在于非法侵入了内涵。采用外延的观点，莱姆塞提出了有关“命题函项”的一个新解释：命题函项是使命题和变元的值有相互关系的一种方式，一个个体的函项是由命题和个体之间的任何“一——多”关系引起的，这种关系把一个独特的命题联合到每一个个体上，命题函项就是命题对个体的这样一个任意的联合[5]。莱姆塞使用对“命题函项”的新解释，废除了可化归性公理，并能用在符号上同《数学原理》里的定义没有区别的东西来给“x=y”下定义。尽管其解释是新的，但它成功地保留了《数学原理》的符号部分，几乎没做变动。
罗素赞同莱姆塞区分悖论的做法，他1937年在为《数学原理》第2版所作的“导论”中说：“这使得有可能对类型论进行极大的简化，而这种简化了的类型论（就像在莱姆塞的讨论中所出现的那样）不再像一种为了避免悖论而设计的令人难以置信的、或杜撰的、或只不过是特定的假设了。”[6]但是，罗素对莱姆塞的赞同并不是完全的赞同。首先，罗素说，他对莱姆塞关于“命题函项”的新解释的有效性拿不定主意，尽管他觉得莱姆塞的路子“很可能是对的”[5]，并且希望莱姆塞的学说是有效的。其次，罗素并没有放弃恶性循环原则，他1959年在《我的哲学的发展》中说这个学说“仍然是正确的”[5]。不放弃恶性循环原则就意味着不放弃分支类型论。
哥德尔(K.G
del)后来在《罗素的数学逻辑》一文中也对罗素的类型论提出了批评。哥德尔的批评基本上是基于一种实在论的立场，他的观点和莱姆塞的观点比较接近。哥德尔最主要的论点是：恶性循环原则是错的。他认为，古典数学需要非直谓定义，因为古典数学形式系统存在这样一些实数，它们只有通过提及所有的实数才是这个形式系统可定义的，而恶性循环原则禁止非直谓定义。哥德尔说：“我认为，与其说这一点证明了古典数学是错误的，毋宁说它证明了禁止恶性循环原则是错误的。”[7]此外，哥德尔还明确指出，罗素是把简单类型论和分支类型论建立在两种完全不同的理由上，前者是为了拒斥“类型混淆”，后者则是为了拒斥恶性循环，但哥德尔认为，类型混淆同恶性循环原则是一点也不矛盾的。（笔者认为哥德尔的这个看法无疑是正确的，因为，举一个简单的例子：设a、b、c是属于同一个类型的三个个体，｛a,｛b,c｝｝就是一个有“类型混淆”的混合类，但这个类的构造并不涉及任何循环。）哥德尔最后还进一步指出，分支类型论是基于简单类型论之上的一个“唯名论”式的构造，他对此明确表示反对。
以上的分析表明，围绕类型论的大量争论都集中在可化归性公理和恶性循环原则上。可化归性公理不是一个合逻辑学家们口味的公理，罗素本人也对它不满，后来放弃了它。恶性循环原则同样引起了大量的非议，但罗素对待它与对待可化归性公理的态度不同，就是说，罗素始终坚持恶性循环原则而不放弃。我们不禁要问：这是为什么？我们前面的分析已经表明，恶性循环原则和类型论的主体即简单类型论之间并无必然的联系，它只和分支类型论有关，而罗素对分支类型论又不满意，既然这样，罗素为什么还不放弃恶性循环原则？这不是一个简单的问题，要回答这个问题需要我们做更深入的探究。
（二）分析
前面说，莱姆塞和哥德尔都是从实在论的立场来表明自己的观点的，他们有一个共同点，即都把一般的类看成是一种实在的对象，以此来表明非直谓定义的合理性，拒斥恶性循环原则。罗素在类的实在性问题上所持的恰恰是一种与他们的观点相对立的唯名论的观点（无类理论），即不把类看做是实体，而是一种逻辑的构造，笔者认为，这一点从根本上决定了罗素不会放弃恶性循环原则。
按照“无类理论”(no-class theory)的观点，任何一个类都可以用命题函项来定义（一个命题函项定义一个类，当且仅当这个命题函项对于这类的任一分子为真，对于其他东西是假），这实际上就是不把类作为实体来处理。而要真正做到这一点，罗素认为，还要“将名义上关于类的命题归约到它们的定义函项”[4]，即要将含有类的符号的命题分解成不含该符号的命题。据罗素称，这是类型论的主要路线，这一路线是受1905年提出的摹状词理论的启发产生的。他认为，该主要路线是正确的。就像摹状词理论所做的那样，罗素也给出了类的语境定义（即含有类的命题的定义），在该定义中，作为一个单独的项的类被转化为量词和满足某个命题函项的一组变元。该定义是：
概言之，无类理论要求把包含类的命题翻译为不包含类的命题，如果允许非直谓定义，也就是说，如果取消恶性循环原则，那么这种翻译将是不可能的。罗素曾经说：“如果一个关于类的陈述要有意义并且不是纯粹胡说，它应当有能力变换成一个完全不提及这个类的形式，这一点是绝对必然的。”[8]这也就是说，如果一个包含类的命题不能翻译为不包含类的命题，那么这个命题就是无意义的。由于一个包含非直谓定义对象的命题是一个无意义的命题（因为它不可翻译），而一个无意义的命题实际上不是一个命题，这样，无类理论通过“无意义”就把包含非直谓定义对象的命题从命题这个类别中排斥掉了，这和恶性循环原则禁止非直谓定义没有本质的区别。因此，可以说，罗素坚持无类理论就得坚持恶性循环原则。
上面说，罗素坚持恶性循环原则是和他的无类理论的立场相联系的。当然，罗素坚持恶性循环原则以此来解决悖论还与他认为该原则符合人们的直觉并投合了一种“逻辑常识”有关。罗素曾就如何解决悖论才算完全令人满意这个问题提出了三点要求：第一，矛盾必须消失；第二，应尽可能不让数学受损伤；第三，要符合“逻辑常识”[5]。罗素认为，基于恶性循环原则之上的类型论就解决悖论来说，如果没有可化归性公理，可以满足第一和第三个条件。如果增加了可化归性公理，上面三个条件就都是可满足的。但可化归性公理本身就是一个令人不满意的理论，因此，类型论在解决悖论上不能说是令人满意的。但对于其他解决悖论的方案，罗素认为，并没有一个能完全满足上述的三个条件。譬如，蒯因曾基于逻辑主义的立场提出了一个NF系统[9]，该系统既不需要类型论，也不需要可化归性公理，避免了悖论，并且还具有比《数学原理》中的系统更强的推演能力，因此受到了逻辑学家的普遍称赞。但罗素认为该系统也是不能令人满意的，因为它没有投合“逻辑常识”。罗素说：“我很佩服这些体系的巧妙，但是我无法认为这些体系能够令人满意，因为这些体系好像是专门为此创造出来的，就是一个最巧妙的逻辑学家，如果他不曾知道这些悖论，也是想不到这些体系的。”[5]因此，可以说，没有让罗素感到满意的其他克服悖论的方案出现也是他坚持恶性循环原则不放的一个原因。
接着前面类的问题来说，罗素不把类看做是实体主要是基于这样一种分析：可以证明，一个有n个项的类可以形成2n个次一级的类，并且还可以证明，
总是大于n的。罗素认为，如果把这样的结论应用于宇宙的一切事物，那么我们就可以得到这样的结论：事物的类是多于事物的。因此，类不能是事物。罗素说他在写作《数学原理》的时候就注意到了类的这个问题，只是那个时候他哲学上实在论的色彩比较浓厚，找不到解决问题的路子。摹状词理论的发现为他解决这类问题提供了一种启示，即用逻辑构造的方法，使用“奥卡姆剃刀”把类从实体中清除掉。但是，依据这种路子建构起来的类型论并没有达到像摹状词理论那样称心如意的效果。一般认为，罗素的类型论剃掉了类，具有削减实体的优点。但是，类型论在消解类的同时被迫要对函项变元量化，即应用“（
φ）”这样的量词，蒯因认为，这种做法是使性质或关系成为“约束变元的值”，而这样做就是将它们作为存在着的东西对待。蒯因的观点是有道理的，但蒯因的观点容易引起人们对罗素真正思想的误会。当罗素使用函项量词“（φ）”的时候，他绝对不是在个体量词“（φ）”的意义上使用它；当罗素断定函项存在的时候，他绝对不是在断定个体存在的那个意义上使用“存在”。罗素说：“‘存在’这个词是一个具有‘系统性的歧义’的词，也就是说，它具有严格地说是无限多的、各种不同的意义。”[8]这就说明，函项的存在和个体的存在是意义不同的存在。同样，类的存在和个体的存在也是意义不同的存在。罗素明确地这样说：“如果我说‘存在殊相’和‘存在类’，那么，这两个‘存在’词组在这两个命题中必定具有不同的意义：如果它们都有合适的不同意义，那么，两个命题都可以是真的。”[8]据这个说法，我们还可以澄清一个常见的误会。罗素说，类像摹状词一样是不完全的符号，是逻辑的虚构，这常常使人们误认为他在否定类的存在性。实际上，当罗素说类是逻辑的虚构的时候，他的真正的意思是，类不是我们亲知的对象，不管它们存在还是不存在，我们都不用假定它们的存在，因为它们可以通过更基本的“存在”构造出来。
从有关类的实在性问题的论述我们可以看出，类型论区分了不同层次意义的“存在”，这种层次透射到了罗素的本体论。尽管据罗素自己说“类型理论不是关于事物而是关于符号的理论”[8]，但罗素在关于符号的考察中潜在了一种关于本体性质的思考，因为，既然符号包含类型的区别，那么符号所指的实在也必然有一种层次上的区别，这也是同构原则所要求的。罗素说：“就类的分层而言，只有第一层是最基本的……只有一种最基本的维，这就是第一层关于殊相的维，当你达到类这一层时，你离开存在的东西已经走了相当远的路程，恰如达到类的类所走的路程。”[8]第一层次的对象实际上就是罗素亲知的对象，它们是一些简单的个体和原始谓词，它们具有最基本的实在性；其他层次中的对象是基于第一层次的构造，并且，如果它们是实在的，它们的实在不是在个体和原始谓词意义上的那种实在。
类型论体现了逻辑原子论的构造原则。罗素在《数学原理》第2版废弃可化归性公理后采用了原子主义的构造原则，其导论明确地说：一切原始谓词都属于最低类型，原始谓词和个体构成原子命题，函项是原子命题的真值函项。这实际上是说，一切较高类型的函项都是始于原子命题之上的逻辑构造。就类型论作为一种构造理论来说，笔者认为，它在废弃可化归性公理前后其构造的本质并无原则性的变化，这一点从可化归性公理上可以看出来。可化归性公理断定直谓函项存在，其他函项可以归约为直谓函项，这实际上是说其他函项由直谓函项来构造。（回顾我们前面所阐释的类型论，其中函项分阶的实质就是用直谓函项来构造其他高层的函项。）类型论在取消可化归性公理后所采用的实际上只是一种更为彻底的构造主义：只承认个体的直谓函项［据林斯基(B.Linsky)称，直谓函项实际上是事物基本属性与关系的标志[10]］，即基本谓词的实在性，把其他高层次的东西都看做是此上逻辑构造。
通过上面的分析我们可以看出，罗素之所以坚持类型论、坚持恶性循环原则，在最根本的哲学意义上是为了坚持他的构造主义哲学原则，即坚持“奥卡姆剃刀”和逻辑分析。我们知道，罗素最彻底的构造主义是要把一切都建构在亲知之上。我们现在知道，罗素的这种思想是从类型论顿悟出来的。［类型论把基本谓词（包含关系）和个体当作要素，这些要素在类型论中表现为不可分解的符号，但这些符号所指的是亲知的对象。］罗素的亲知哲学包含了英国经验主义的传统，罗素把这种传统嫁接到了数学（类型论可以被看做数学的分支），并且表明了它们之间有一种联系。一般认为，经验主义对于数学是无用的（按康德，数学是“先天的”），但罗素通过类型论似乎向我们表明：虽然证明数学不要经验主义，但接受数学、信赖数学、理解数学需要经验主义的解释（如果把数学看做是建立在类型论的基本函项之上的逻辑构造，这种基本函项的可理解性需要亲知）；或者说，数学，如果它需要一个哲学基础的话，那么这个基础是经验主义的。艾耶尔(A.J.Ayer)曾经况，罗素的经验主义概念是陈旧的[11]，但我们看到，罗素给了这种陈旧的东西一种新的面貌，这种新面貌是类型论所包含的那种构造方法（或者说逻辑分析法）赋予的。
三、评价
前面的分析表明，类型论总体上不是那么令人满意，没有得到逻辑学家的普遍认可，也遭到了不少批评。但我们应该看到，类型论的影响是巨大的，并且为逻辑、数学和哲学的发展都带来了积极的推动作用。
就逻辑和数学来说，首先，类型论提供了一种对悖论（不管是集合悖论还是语义悖论）的统一解决方式，这种方式尽管不够完善，但它极大地缓解了数学基础所面临的危机。逻辑学家们在批评类型论的同时并没有诋毁类型论解决悖论的价值，哥德尔说：“应当注意，类型论对于解决悖论带来了新的想法，特别适于解决内涵形式的悖论。”[7]数学哲学史家巴克尔(S.Barker)在批评类型论的同时也不失时机地称赞说：“类型论确实是对数理逻辑极其重要的贡献，因为它使得《数学原理》的一致地完成成为可能。”[1]其次，类型论中的简单形态“虽然有一定的缺点，但仍不失为一种科学的理论，现在仍然被广泛地应用于逻辑和数学的研究之中”[2]。它有利于澄清集合论中的一些基本概念的含义，譬如，就“属于”和“包含”这两个集合论的基本概念来说，类型论告诉我们：“属于关系”是把一个实体同一个高一级类型的对象联系起来，而“包含关系”则是把相同类型的对象联系起来。再次，类型论通过函项的分阶来解决语义悖论为后来解决语义悖论的新方案提供了理论前提，指明了分析的方向。罗素在陈述逻辑类型论时曾指出，“真”和“假”这两个词有“系统的模糊性”，它们实际上根据它们所应用的命题的种类的不同而具有不同的意义”[3]，罗素据此区分了不同的“真”，譬如：“第一真”(first truth)和“第二真”(second truth)、“基本的真”(elementary truth)和“二阶真”(second-order truth)等。罗素对“真”所作的区分是根据他对命题的区分而来的，总的思想是：不同阶的命题有不同的真。罗素关于“真”的思想无疑包含了塔尔斯基(A.Tarski)“真之理论”思想的萌芽。塔尔斯基后来提出的“自然语言的真之不可定义性”以及根据“真之理论”提出的语言层次理论无疑深受了罗素类型论思想的启发，现在，塔尔斯基的语言层次理论已经成了大家普遍接受的解决语义悖论的方法。
就哲学来说，类型论的影响也是多方面的。首先，类型论对罗素本人的哲学产生了深刻的影响，其影响之深从我们前面所做的分析已经能看出来，下不赘述。其次，类型论对分析哲学的发展产生了深刻的影响。艾耶尔在评价类型论对哲学的影响时说，“罗素的类型论与他的摹状词理论结合起来推动了哲学家们把句子的语法形式和罗素所说的句子的逻辑形式区别开，因而给予哲学分析的实践以强烈的推动”[11]。再次，类型论“将无意义(nonsense)这个非常重要的概念引入到逻辑学，从而引入到哲学中：这个概念表明甚至一个看起来好像具有意义的句子暗地里却可能是无意义的”[1]。逻辑实证主义后来用以反对形而上学的主要观点，即在句法和词语方面没有显著错误的句子仍然可能是没有意义的，就是直接来自类型论中的“无意义”这个概念。穆尼茨(M.K.Munitz)曾就类型论对哲学研究的意义和重要性作过一个比较中肯的评价，他说：“如果说罗素的类型论在今天还没有得到普遍接受的话，那么这并不是因为它作为对该问题作出的贡献的重要性被人们贬低了。相反，恶性循环原则的基本思想，根据‘意义域’在各种类型之间所作的区分，对于继续致力于区分有含义无含义这个总的纲领的人来说，如果不是作为终极的教条和完美的学说，而是作为启发性的指导方针，那么仍是极为有益的。从这个观点来看，罗素的类型论对有含义—无含义问题的阐述以及为解决这个问题所作的重要努力都标志着一个重大的、不可磨灭的里程碑。”[12]
收稿日期：2005-03-29
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