问题的合理设计与自主学习步骤的构建--以圆角课堂教学为例_圆周角论文

合理设计问题，搭建自主学习的台阶——以“圆周角”课堂教学为例，本文主要内容关键词为：圆周角论文,为例论文,课堂教学论文,台阶论文,自主学习论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      数学是培养思维能力的学科，问题是思维发展的起点.在数学教学活动中，教师提出问题，将知识问题化，问题具体化，问题之间关联化，把知识树变成问题树，以问引问，激疑导思，会提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，从而极大地提高学生的自主学习能力.

      本文以人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“24.1.4圆周角”教学活动设计为例，谈谈在教学活动中如何合理设计学科问题，培养学生的自主学习能力.

      圆周角定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了同弧（或等弧）所对圆周角之间，以及圆周角与圆心角之间的数量关系，它既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其他平面图形（圆内接四边形等）的桥梁和纽带.

      学生是在已经学习了圆的基本概念、垂径定理、圆心角概念及性质的基础上对圆周角定理开始进行探索的.具有初步的分类讨论思想和能力，但仅限于条件非常明显的情况.圆周角定理的证明需要分三种情况进行论证，如果没有适当的提示，对学生来说难度很大.

      （1）学生在教师问题引导下能够认识并理解圆周角的概念，能够探究并掌握圆周角与圆心角及其所对弧的关系；

      （2）学生在教师的启发、引导下通过独立思考与合作交流能够发现并规范证明圆周角定理及其推论；

      （3）在证明圆周角定理的过程中，进一步感悟和体验分类讨论的数学思想.

      教学重、难点

      教学重点：发现并证明圆周角定理及推论.

      教学难点：圆周角定理的第三种情况证明.

      教法与学法

      教法：以问导学.

      学法：自主学习与合作探究.

      教师提出问题—学生自主探究—小组合作交流—教师精讲释惑—应用训练—拓展提高—总结反思.

      有效的教学活动目标与教学过程必须紧密联系在一起，如何使两者在教学设计时就建立起这种紧密关系，不同的教师会有不同的思考和做法.本节课教师就是以问题为基本载体进行教学设计，组织教学活动.首先，教师要明确本节课的教学内容，及其所对应的内容标准，再结合学生的实际学情，以学生的认知发展水平和已有的知识经验为基础，合理制定课时教学目标，准确定位教学重点和难点.然后针对教学目标，梳理并利用新、旧知识之间的联系，设计合理、有效，且指向性强的问题串，利用已学知识思考问题，并在解决问题的过程中逐渐习得新知.即将教学目标转化为学科问题，通过问题引领促进教学目标的达成，促进学生的自主学习.教师提出问题后，密切关注学生的学习情况，及时捕捉信息并进行有效的精讲点拨；适时地针对知识生长点、学习重点、学习难点、易错点、易混点进行追问；有机地渗透由特殊到一般、分类讨论、化归的数学思想方法，帮助学生真正地掌握本节课的知识，使知识落座，而不是处在游移状态.

      活动1：认识并理解圆周角概念.

      问题1：图1中的∠AOB是我们上节课学过的圆心角.它的定义是什么？

      问题2：如果将图1中的∠AOB的顶点移动到圆周上的点C处（如图2），这个角还是圆心角吗？如果不是，它和圆心角有什么区别与联系？

      

      学生通过观察、类比，经过独立思考后，小组成员交流想法，相互补充，并派代表发言.

      

：角的顶点在圆上.

      

：角的两边都与圆相交.

      师：这样的角叫做圆周角.

      问题3：根据刚才学生的回答你能试着归纳圆周角的定义吗？

      学生独立思考后，举手发言.虽然语言不是特别精准，但圆周角的意义基本已经能够表述准确.

      教师帮助学生归纳、总结，师生达成共识后，教师板书圆周角的定义：角的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

      【设计意图】通过问题1让学生进行巩固性复习和准备性复习，巩固上节课所学的圆心角概念，并在此基础上进行知识迁移，抓住圆心角与圆周角的最大不同（顶点位置不同）.设计问题2，使学生在思考问题的过程中能够直观地发现圆心角与圆周角的区别与联系，从而教师自然地引出本节课的新知——圆周角概念.在此基础上提出问题3，让学生根据对圆周角图形的直观感知和类比圆心角的定义说出圆周角的定义，有助于学生深入理解圆周角概念，培养其思维能力、概括能力和表达能力，使学生经历由具体图形认识圆周角到抽象概括圆周角的定义的学习过程，符合学生的认知规律.

      活动2：巩固圆周角概念.

      教师通过课件出示变式练习题.

      问题4：判断图3中的角是否为圆周角？并说明理由.

      

      学生经过独立思考后，小组成员交流想法，并相互补充.

      以其中一个小组为例.

      

：只有（1），（4）不是，因为角的顶点不在圆上.

      

：（2）也不是圆周角，因为两边不与圆相交.

      

：我认为（3）也不是圆周角.

      师：为什么呢？

      

：因为圆周角要求两边都与圆相交，而这个角只有一边与圆相交，所以它不是圆周角.

      其他学生也表示认同.

      也有的组内无法达成共识，便请教其他组或求助教师，最后形成正确答案.教师经过巡视、观察，了解到所有组经过组内交流、组间交流能够对问题4达成共识，统一答案.教师便不再讲解，只是总结.

      师：同学们做得非常好.圆周角需要满足两个条件：一是角的顶点在圆上；二是两边都与圆相交，这两个条件缺一不可.因此，只有（5）是圆周角.

      【设计意图】设计问题4的目的是让学生在学习了圆周角概念后及时进行反馈练习.通过辨析训练，学生在独立思考、合作交流、相互补充的探究学习过程中巩固并加深了对圆周角概念的理解.从而，在解决问题4后，学生自然能够真正体会并认识到圆周角定义中应满足的两个条件，使学生对于圆周角的概念达到内化、反思的过程.教师根据学生自主学习和小组合作的结果决定是否讲解问题4，怎样讲，讲什么，讲多少.也就是落实以学定教的教学原则，充分体现学生的自主学习地位，有效发挥教师的组织者、引导者、合作者的作用.

      活动3：探究一条弧所对的圆周角及圆心角的个数.

      问题5：动手作图并思考，圆中任意一条弧所对的圆心角有几个？所对的圆周角又有几个？

      学生独立思考，在练习本上画图验证并交流后回答问题，教师巡视、观察学生画出的图形.

      

：一条弧所对的圆心角有1个，所对的圆周角有无数个.

      教师用课件演示图4，并对学生的回答加以肯定.

      

      问题6：一条弧所对圆周角有无数个.以图4中

为例说说你怎样确定它所对的圆周角的顶点？

      问题7：任意一个圆周角与圆心有几种位置关系？用图形表示.

      小组成员之间充分讨论交流后得出结论并回答问题.

      

：圆周上除

上的点外，任意一个点都可以做

所对的圆周角的顶点.

      

：圆心O在∠BAC的内部、圆心O在∠BAC的一条边上、圆心O在∠BAC的外部.

      教师根据学生的回答将三种情况的图形画在黑板上，如图5所示.

      

      师：分析问题、思考问题时要全面，要有分类的思想，还要做到不重不漏.

      教师让学生在练习本上分别作出这三个图形中的圆心角∠BOC，并找一名学生到黑板前板演，如图6所示.

      

      【设计意图】问题5的提出是为了使学生明确一条弧所对的圆心角的个数以及圆周角的个数，以免学生混淆或认知不清楚，避免对以后的学习造成干扰.问题6的提出目的是让学生在思考并解答问题的过程中，真正理解一条弧所对圆周角有无数个这一结论，并能加以应用.问题7的提出让学生在思考中感悟到任意一个圆周角与圆心可以有三种位置关系，目的是为了探索并证明圆周角定理时，学生能够想到分情况证明而搭建思维发展的缓坡.这两个问题的设计体现出问题具体化、问题之间关联化的原则，使学生明确思考内容，经历动手实践和自主探究的过程，能够掌握一条弧所对的圆周角及圆心角的个数.

      活动4：发现并证明圆周角定理及其推论.

      问题8：观察图6，同弧所对的圆心角和圆周角的度数有什么关系？

      自学指导：小组成员分工，每人量一个图6中∠BOC和∠BAC的度数，有什么共同发现？

      学生动手操作、交流结果后得出猜想：∠BOC=2∠BAC.

      问题9：证明是得出猜想后的自然延续和必要过程，我们应该怎样证明猜想的结论？利用图6中的哪个图形进行证明？

      学生观察图形后，认为图6（2）最容易证明.

      

：利用图6（2）进行证明.

      师：同学们还有不同意见吗？

      学生思考后回答问题.

      

：应该针对图6中的三个图形分别进行证明.

      师：为什么呢？

      

：在图6（2）中成立的结论未必在图6（1）和图6（3）中仍然成立，因为图6（2）属于特殊图形.

      教师给予肯定并总结：证明时，不能用特殊情况来代表一般和全部，需要分类讨论的就要分情况进行证明，不能省略，思维要全面，证明要完整、严格、规范.

      问题10：既然三个图形我们都要证明，从哪个图形入手证明更容易呢？怎样证明∠BOC=2∠BAC呢？请同学们独立思考后再相互交流.

      学生发现图6（2）最容易证明，思考出证明思路后，学生口述，教师板书规范的证明过程（证明过程略）.

      问题11：请同学们利用图6（2）的证明思路分别证明图6（1）和图6（3）中的∠BOC=2∠BAC，可以合作探究.

      学生积极思考，通过类比图6（2）的证明方法，针对图6（1），通过组内合作学习，再结合阅读教材就能够解决.但针对图6（3），学生只能引出辅助线，对于如何证明感到困惑并无从下手.教师巡视后，及时发现学生的学习情况.

      教师启发、点拨：如图7，我们证出图7（2）这种情况后，画一条辅助线，把第一个和第三个图形转化为第二个图形.图7（1）我们很容易找到思路：∠BOD=2∠BAD，∠DOC=2∠DAC，再利用等式的性质得出结论∠BOC=2∠BAC.

      图7（3）稍复杂一些，在这种情况下，我们还要利用类比和转化的数学思想，请同学们带着问题继续思考.

      

      问题12：在图7（3）中，你能得出类似图7（2）中的结论吗？能得出几个？它们与∠BOC和∠BAC有什么关系？

      学生在教师的启发下进行合作探究，发现∠DOC=2∠DAC，∠BOD=2∠BAD，∠BOC=∠DOC-∠BOD，∠BAC=∠DAC-∠BAD.再利用等式的性质得出结论∠BOC=2∠BAC.

      学生小组思考出证明思路后写在练习本上，一名学生口述，教师板书规范的证明过程（证明过程略）.

      教师归纳并板书如下.

      圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

      教师强调，定理内容不能丢掉“同圆或等圆”这个前提；在寻找证明思路的时候，要注意将已有条件和证明的结论建立关联；在证明过程中，将三种情况分别证明后才能得出定理，我们再次感受到分类的数学思想在数学学习中的重要作用.

      问题13：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧也相等吗？为什么？

      问题14：半圆是多少度的弧？它所对的圆心角和圆周角的度数分别是多少？

      问题15：直径所对的圆心角和圆周角的度数分别是多少？90°的圆周角所对的弦一定是直径吗？

      学生独立思考后小组合作交流得出结论.

      教师归纳、总结，并板书：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等.

      圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

      【设计意图】注意前后知识的横向联系，根据圆周角定理及其推论的题设和结论层层递进地设计问题，使学生在动手操作、思考问题、合作探究的过程中得出猜想并加以证明.分任务探究，既能使学生感受知识的形成过程，又满足学生动手实践的学习要求，还可以节省教学时间，提高课堂教学的有效性.在证明圆周角定理的过程中，使学生感受分情况证明命题的思路和必要性，进一步感悟和体验分类的数学思想.

      教学应充分重视教师的示范指导、精讲点拨作用.为学生板书规范的证明过程，以便于学生模仿和记忆，扎实掌握证明的正确书写格式.在知识生长点处为学生设计自学指导，在知识延伸点处为学生启发、提示，为学生搭建自主学习的台阶.

      问题8和问题9的提出是为了让学生得出猜想并确定需要分情况加以证明；通过思考问题10，.学生能够找到证明的切入点，即从最简单的图形开始证明；问题11提出后，学生会在问题中得到启发，运用类比的数学思想，画一条辅助线，把图6（1）和图6（3）转化为图6（2）的形式，并利用图6（2）的证明思路在图7（1）和图7（3）中进行证明；证明图7（3）这种情况是本节课的难点，为了让学生突破难点，教师设计问题12，在解答问题12的过程中，学生就会发现现有条件和待证结论之间的联系，从而感悟到证明思路.

      活动5：应用训练.

      教师课件出示基础性习题，学生在练习本上独立完成，教师出示答案，学生自主纠错、相互答疑.

      教师课件出示拓展性习题，学生独立思考后合作交流，教师根据学生的解题情况答疑、纠错、精讲点拨.

      【设计意图】巩固深化本节课所学知识，学以致用.设置分层次题组，满足不同层次学生的学习需求.

      活动6：知识盘点.

      （1）由学生或教师归纳总结本节课的知识要点；

      （2）如果学生总结，则教师补充，提升高度.

      【设计意图】梳理、总结知识体系，有助于学生扎实、系统地掌握本节课所学知识.若由学生总结还能巩固新知，同时提高其归纳概括能力和语言表达能力.

      活动7：布置作业.

      （1）基础训练：教材第87页第1～4题.

      （2）能力训练：教材第87页练习第3题.

      【设计意图】体现分层教学思想，力求使不同层次的学生在数学上得到不同的发展.

      《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）明确指出，数学课程应使人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法.有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体.教学活动中教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解并掌握基本的数学知识和技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验.在以上基本理念的指导下，进行了本节课的教学设计.

      在《标准（2011年版）》基本理念的指导下实现有效的教学活动，要求教师不仅仅是课程教材的实施者，还应该成为课程教材的解读者、开发者和建设者.本节课教师在深度解读文本课程，熟知学生知识基础和能力基础的前提下，根据教学内容合理制定教学目标，再将教学目标转化为15个学科问题进行教学设计，体现了“教学内容目标化、教学目标问题化”的设计理念.通过为学生优化学习过程和学习方法，培养学生的自主学习能力、数学思维能力和数学素养.

      问题是推动学生思维发展的关键，也是进行教学实施的基本载体.本节课教师以问题为载体组织教学活动，组成教学设计中的问题集，学生在问题的引领下进行自主学习，避免了教师的机械讲解，取而代之的是学生充分思考并体验学习过程.根据学习阶段的不同，问题提出的目的和意义也各不相同.例如，问题1，2，3，13，14，15就是驱动问题，使学生在思考问题的过程中将新、旧知识之间建立联系并习得新知；问题4属于巩固性问题，在解答问题的过程中巩固新知、发现问题，并加深对知识的理解；问题5，6，7属于准备性问题，它们的提出是为了解决本节课的重点和难点做知识和思维的铺垫；问题8，9属于本节课的核心问题，直指教学重点，它们的解决是教学目标达成的必要条件；问题10，11，12属于推进问题，当学生在解决核心问题出现困难时，教师及时给出推进问题，相当于为学生突出重点、突破难点进行启发指导，搭建缓坡，使学生在思考推进问题的过程中逐渐接近目标，解决核心问题.总之，教学设计时将教学目标与学科问题之间建立对应关系，既发挥目标的作用，又易于被学生理解；既可以确保问题的清晰指向，又可以保障教学目标的顺利达成.从而使学生在问题的引领下、在教师的引导下，合理、有效地进行自主学习.

      本节课学生在教师问题的引领下，经历了独立思考、合作交流、认真听讲、发现问题、教师启发点拨、精讲释惑、规范证明格式、巩固提高训练、内化反思新知、感悟数学思想的学习过程，基本达成了本节课的学习目标.在解决问题、学习新知的过程中，学生经历了新知的形成、发展和应用的过程，并对为什么分类、怎样分类、如何确定分类的标准进行了思考，不同的学生获得了不同深度、不同层次的收获.但是在课堂教学中，仍然有个别学生游离于教学活动之外，自主学习反馈和合作学习反馈的结果没达到完全真实，仍有没能完成学习目标的学生.论证环节所用的时间超出了备课时的预设，导致后面的拓展提高训练没能按时完成.在今后的教学工作中，还要不断研究、不断反思、不断改进.

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