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建构主义教学论认为：应当把学习者已有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从已有的知识经验中，生长出新的知识经验.这正如《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）提出的那样：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.从已有的知识经验中生长新的知识经验的过程实际上就是由学生自己建构知识的过程.2012年3月，在南通市名师培养对象会课活动中，笔者执教了人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“二次根式（一）”一课.在认真研究分析了学生已有知识经验和教材知识结构的基础上，以发展的观点，以学定教，通过对已有知识的深化、迁移和拓展，把学生带到最近发展区，引导学生自主构建了认知结构和精神世界，促进了学生的学力发展.现将教学分析、课堂教学设计、课堂生成，以及反思启示整理成文，与各位同行交流.
一、课前分析与教材处理
“二次根式”一章与已学内容“实数”、“整式”、“勾股定理”联系紧密，同时二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充，也是以后将要学习的“解直角三角形”、“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等大部分知识作好准备.本章的知识结构网络归纳如图1所示.
教材把“二次根式”一章第1节分两课时学习：“二次根式”的概念和性质（概念和性质各1课时）.这样对学生短期掌握知识是有利的，能够分散教学难点，降低学生的认知负荷，但是对学生理解知识、整体架构和形成知识网络是十分不利的.另外，由于二次根式实质就是非负数的算术平方根，故教学时要与学生的已有知识经验相联系，要在“实数”一章的基础上进行教学.在“实数”的学习中，学生对“被开方数是非负数”有所感知，对“二次根式的三个性质”有所体验，即学习“二次根式”第一节时，学生已经有了知识、方法和经验的基础.在此基础上，引导学生自觉地正向迁移，同时进行二次根式的定义和性质的教学是完全有条件的.因此，笔者结合学生实际，对“二次根式”第1课时略作调整和整合.调整、整合后的“二次根式”第1课时的教学流程为：回顾算术平方根→建构二次根式的概念→概念的比较辨析→构建全章知识结构→引导学生由算术平方根的意义探究性质→分层练习，强化理解，掌握性质→共同反思，小结提升→共同回顾总结代数式→课后分层，深化理解.目的是使学生根据二次根式的概念和性质进行建构二次根式的整体结构，有利于形成知识网络.基于以上分析，依据课标理念，确定“二次根式（一）”的教学目标、教学重点、教学难点和教学过程如下：
（1）从算术平方根的意义入手，引导学生自主探究二次根式的定义和性质.
（2）理解二次根式的性质，并能简单应用.
（3）在经历“从特殊到一般”、“从具体到抽象的过程中，发展学生自主学习的能力.
（4）通过性质的探究，学会合作、互助、共享并与同伴得到共同提高.
二次根式的定义和性质的探究过程.
正确运用二次根式性质进行化简和计算.
二、教学过程简录
1.在复习回顾中，自主建构概念
（1）自主回顾.
②哪些数有平方根、算术平方根？负数为什么没有平方根、算术平方根？
（2）建构概念.
②根据这些式子的特征，如何定义二次根式？如何用字母表示？
【设计说明】根据两个新、旧知识之间的逻辑联系（二次根式实质就是非负数的算术平方根，即二次根式就是带根号的算术平方根），由学生已知知识——“算术平方根”，拓展新知识——“二次根式”，合乎逻辑的发展结果，是在学生“原有基础”上的“自主建构”，符合学生的认知规律.这就要求我们教师必须深入研究教材和学生，正确把握知识的生长点、思维的连接点和方法的迁移点，为学生搭建好自主探究、发挥潜能、体验自身探索创新能力的平台.
③练习1：下列式子中，哪些是二次根式？你是如何判断的？
（学生都能回答是三次根式和四次根式.）
练习2：下列各式分别满足什么条件时，在实数范围内有意义？
（为后面总结三个非负数作准备.）
【设计说明】在学生对概念的认识还不够深入的情况下，引导学生抓住概念的本质，通过“识别二次根式”和求“式子在实数范围内有意义的条件”来巩固、深化概念.通过两个练习将概念具体化，通过追问引导学生养成自我反思的良好习惯.这样不仅对学生巩固、理解、深化和应用知识都是有益、有效的，而且更加有利于学生学会学习和研究的方法.从而使学生的认识得到提高、体验得到丰富、学力得到发展.
（3）引导学生根据已有学习经验构建“二次根式”全章的知识结构如图2所示.
【设计说明】根据学生已有知识经验构建全章的知识结构，有利于整体把握“二次根式”，有利于将原来彼此分散、割裂的知识连成一个统一的整体，有利于能力的提高和素质的发展.同时，以知识结构图的形式展现给学生，新颖、系统、醒目且有逻辑性，学生看了一目了然，便于记忆和整体理解.
2.自主探究二次根式的性质
（1）性质1的探究.
（2）性质2的探究.
③根据这些特殊的例子，你能得到怎样的一般结论？
（在学生归纳性质后，引导学生用算术平方根的意义自主分析说明该性质.）
（4）性质2、性质3的辨析.
思考：
有何异同点？
（引导学生从式子表示的意义、字母的取值、结果等方面进行比较.）
【设计说明】二次根式的性质是在算术平方根的概念的基础上，由特殊到一般而生成的.以三种不同的呈现方式，引导学生在多重交往互动（师生互动、生生互动、生师互动）中自主探究二次根式的三个性质，这样加大了学生探索的空间，体现由特殊到一般的认知过程（让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程），这样的探究活动发展了学生的思维能力，有效改变了学生的学习方式，有利于掌握认识事物的一般规律；有利于学生感悟数学思想，积累数学活动经验.通过用算术平方根的意义来分析说明“二次根式的性质”成立的合理性及分析比较“的异同点”，目的是使学生将学习的重点放在突出了三个性质的数学本质上来，有效地丰富了学生的“数学思考”.
3.分层练习，强化理解，掌握性质
（1）说出以下各式的结果是多少？依据是什么？a表示哪个数？
（说明：整式的运算性质在实数范围内依然都适用.）
（2）当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？
（在学生独立思考的基础上小组讨论、全班交流，强化二次根式√a中被开方数a≥0.）
【设计说明】通过分层练习，使学生多维度地认识二次根式的意义和性质，为后续的学习做好准备并打下良好的基础.通过练习的分层，使得大部分学生较好地理解二次根式的意义并掌握二次根式的性质，对于少数学有余力的学生达到一定高度的弹性目标，从而最大限度地满足学生个体差异发展的需要，让不同的学生得到不同的发展.
4.共同反思，小结提升
（1）你是如何理解二次根式定义的？
（带根号的算术平方根，具有两个条件.）
（2）我们是如何得到二次根式的性质的？
（根据算术平方根的意义，经历了从特殊到一般的探究过程.）
（3）猜想二次根式的性质有何作用？
（化简和运算.）
（4）通过二次根式定义和性质的学习，你积累了哪些学习方法或经验？
（经历从特殊到一般、从具体到抽象；寻找与之相近的概念，采用类比的方法学习新的代数式.）
追问：类比二次根式，什么是三次根式？它的性质是怎样的？四次根式呢？……n次根式呢？
【设计说明】从知识、方法、过程等方面进行课堂小结，鼓励学生从获得知识、形成技能、发展能力、养成品德等方面谈谈自己的收获及体会.不仅能帮助学生从整体上掌握所学知识和方法，便于课后复习巩固，而且使学生逐步体会一些重要的数学思想方法，懂得如何去学，变学会为会学.同时培养学生学会反思，学会质疑的习惯，使学生良好的个性品质得到发展.通过类比猜想“四次方根，五次方根，…，n次方根”的相关内容，促使学生将已知的内容很自然地迁移到未知的内容中去，起到了触类旁通、举一反三的作用，从而提升了学生的思维含量，激发了学习积极性，促进了学生的全面发展.
5.课后分层，深化理解
必做题（阅读教材，完成练习）：
（1）下列各式分别满足什么条件时，在实数范围内有意义？
（2）教材第5页第1、2小题.
（1）下列各式满足什么条件时，在实数范围内有意义？
（1）已知实数a、b对应数轴上的点的位置如图3所示.
【设计说明】作业的精选有利于减轻学生的课业负担.为兼顾全体，分必做题、选做题和思考题三组（选做题和思考题不作统一要求，可作为下一课时教学的起点），对不同层次的学生布置不同的作业，使各层次学生得以提高和发展，体现《标准》“不同的人在数学上得到不同的发展”的理念和教材“保底不封顶”的特点，同时也体现了分层教学的思想和因材施教的原则.
三、教学反思
1.把学习的基本自由还给学生
“把学习的基本自由还给学生.”就是要以学生为主体，在教师的引导下主动经历学习的过程，让学生学会学习.同时要根据学习的课程和学生获取知识的过程与规律，指导并引导学生高效地获取相关知识和能力.这就要求教学重心应重点放在“学”上，并根据学生、教材的特点加以引导.如，充分利用新、旧知识（算术平方根和二次根式）的交叉点，从学生的已有知识和经验出发呈现问题，进行诱思.教学中，不仅要增强学生的实践活动，更为重要的是，能让学生进行主体性研究学习活动，即让学生在学习参与中，在能动的实践活动中，自己探索并逐步完善认知结构.如，在“性质3”的教学中，没有仿照“性质1和性质2”的教学方法，而是先让学生“猜想
等于多少”，当学生出现“
”这两种意见时，教师没有给出答案，而是引导学生自主举例说明并验证、归纳性质3，整个过程充分尊重和关注了学生的认知起点，把学生带到“最近发展区”，促使学生在自主探究中建构、完善认知结构.
2.多重交互，共同发展
《标准》指出：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.这就要求通过教师的“有效引领”，让学生“在交互中自主生成提升，掌握探究之法；在体验中丰富数学思考，感受数学之美”，从而实现师生的“协同发展”.
在教师的“有效引领”下，“二次根式”的概念是从学生旧知（带“根号”的算术平方根）中，经历“由具体到抽象”的过程真正“自主建构”起来的，这不仅是知识的建构，而且更是学生学习能力和信心的建构.二次根式的性质的建构更是在教师的“有效引领”下，由算术平方根的意义，经历“由特殊到一般”的过程，经历“亲自操作”、“亲自体会”、“积极参与”、“与人合作”、“自己提出并研究解决问题”、“深刻体会”的过程，在体验中感悟，在感悟中升华，最后自主探究归纳得出“二次根式的性质”。正因为这样，学生才会自主探索归纳出“
”；正因如此，学生才能类比“二次根式”的相关内容，自主归纳出“三次根式”、“四次根式”乃至“n次根式”的相关内容.学生获得的不只是数学知识、基本技能、研究和解决问题的策略、方式方法，而且体验到数学活动充满探索与创造的活力，并获得了成功的喜悦，激励了自主探究、合作学习的积极性和主动性，发展了学力.同时也促使学生感受到数学的和谐美、简洁美和整体美，使学生增进了对数学美的主观感受能力，这样的数学教学才能真正促进学生的全面发展.
3.用好教材，适度拓展
新课程改革的“教材观”是“用教材教”.在教学过程中，教师所面对的是具有不同个性特点的学生.因此，教学中要根据学生的具体情况，整体把握知识内在的逻辑结构，对教材进行适度“二次开发”.即根据教学实际和本人教学水平，合理重组教材内容，合理整合课程资源，突出探究知识体系，预留较大的空间.在尊重学生已有知识和经验的前提下，用发展的观点，把学生带到“最近发展区”，并为学生的数学学习活动创设一个民主、开放、多重交互的平台.因此，在课堂教学实践中没有按照教材安排（把二次根式的定义和性质分割为两课时），而是在复习回顾“算术平方根”的基础上，顺学而导，比较自然地呈现二次根式的定义和性质.这就要求我们教师必须深入研究教材和学生，正确把握知识的生长点、思维的连接点和方法的迁移点，为学生搭建好自主探究、发挥潜能、体验自身探索创新的能力、水平和价值的平台.对教材的“二次开发”应该以课标为基点，以教材为轴心，对教学内容进行调整、增删或拓展，拓宽知识背景，缩减与学生生活实际、认识实际的距离，使教学内容能较紧密地联系学生的生活实际，便于学生进行生活的操作与体验.同时重视对学生的学情分析，熟悉学生当前的知识、经验和生活结构，将学生所要学习的新知识与学生的认知起点联系起来，引导、鼓励自主构建认知结构.当然，在教学内容的创造性开发过程中，教师应融入自己的心智，感受创造的快乐.同时在自主建构过程中，将知识、情感、价值与态度内植于学生的认知体系中，让学生感受到成长的快乐.