论数学教学中的迁移，本文主要内容关键词为：数学论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、迁移概述
迁移是一种学习对另一种学习的影响，先前学习对后继学习的影响称为顺向迁移，后继学习对先前学习的影响称为逆向迁移，凡是一种学习对另一种学习起促进作用的称为正迁移，起干扰或抑制作用的称为负迁移.凡是有学习的地方都存在着迁移，从数学教学的目的来讲，就应该努力追求一种数学学习对另一种数学学习的促进作用，即正迁移，学习的正迁移量越大，说明学生通过学习所产生的适应新学习情境或解决新问题的能力越强，教学效果也就越好.
在数学教学中，产生正迁移的现象是很多的，例如学习“数”的运算规则有助于学习“式”的运算规则；学习了平面上求轨迹的方法，就有助于学习空间求轨迹的方法；学习了二元函数，有助于学习多元函数等.这些都是数学学习中的顺向正迁移.同时，数学学习中还存在许多逆向正迁移，例如学习了“式”的概念和运算之后，能促进学生对“数”概念的理解和运算的掌握；学习了解析几何，学生再重新思考平面几何中的一些问题就变得容易了；学习了高等数学之后，学生对初等数学的一些问题认识就会更为深刻.
在数学教学中也经常会产生负迁移.例如，学生有时将实数的一些性质和运算用到复数中，结果出现错误.再如，学生求函数定义域、极值、求导等运算时，往往习惯于显示y=f（x），而遇到隐函数求导时，首先就要解出y，这样不仅限制了思路，而且使解法繁琐甚至行不通；还有学生在学习无穷大量与无穷小量时，习惯地将它们看成很大的数或很小的数，这些都是负迁移的结果，教学中应重视这些现象.
无论是数学学习的正迁移和负迁移，还是顺向或逆向迁移，从学习之间相互影响的对象来看，数学学习又有知识技能的迁移，思维方法的迁移，学习态度的迁移等.
二、教学中运用类比促进迁移
迁移可理解为“认知结构（即学生头脑里的知识结构）对新的学习的影响”，数学教学的目标归根到底是为了达到有效地实现正迁移.通过某种途径将新的学习或问题纳入原有的认知结构，使知识在新的问题情境中产生正迁移.我们把沟通认知结构与新的学习途径看成是“认知桥梁”，为扩大知识的正迁移量，设计好认知桥梁是关键.在数学教学中，类比不失为一种好的认知桥梁，即通过类比把新的学习或问题纳入原有的认知结构，产生知识的迁移.下面讨论数学教学中如何运用类比促进迁移.
1.通过数式与图形类比产生迁移
“数”与“形”是数学研究中的两个主要对象，也是反映数学问题的两个侧面，它们既是对立又是统一的.“数”与“形”结合，相互类比、相互迁移、相互转化是数学学习与研究中运用广泛的方法.
数形迁移的表现方式有：（1）从数式向图形的迁移，即把“形”的问题转化为“数”的问题；（2）从图形向数式的迁移，即用几何的方法解决代数、三角、分析中的问题或借助图形的直观性通过类比寻求解题途径.
例 已知f（x）是[a，b]上递增的连续函数，证明至少存在一点ξ∈[a，b]，使得
分析：类比几何问题，如图1所示，函数f（x）的图形是一条从左到右上升的连续曲线.f（a）（ξ-a）表示矩形AGEF的面积，f（b）（b-ξ）表示矩形BCDG的面积.因此，①式的右端表示台阶形ABCDEF的面积.当点ξ在[a，b]中变动时，这台阶形ABCDEF的面积是变化的，且从图形可以看出，当点ξ=a时，它的面积最大，当点ξ=b时，它的面积最小.而曲边梯形ABCF的面积恰好在台阶形的最大面积与最小面积之间.要证明的①表示这样一个事实：有一个台阶形的面积恰好等于曲边梯形ABCF面积.
图1 连续增函数介值定理的几何意义
由此，我们可以运用连续函数的介值定理，并通过选取台阶形的面积函数F（x）=f（a）（x-a）+f（b）（b-x）作为辅助函数来实现.
2.通过离散与连续类比产生迁移
离散与连续之间并没有不可逾越的鸿沟，作为数学概念它们是互相对立、互相渗透、在一定条件下可以互相转化的.对连续的量取极限（某点的极限），即考察某个瞬间或某个点的状态就得到离散的量；而用描点法作某个函数的图象时又由离散的量得到了连续的量.在数学教学中，数列极限与函数极限的类比是较为普通应用的（实质上是离散与连续的类比）教学方式.
例如，由数列极限的唯一性、不等式性、迫敛性、四则运算法则、Cauchy收敛准则，可以用类比法猜测出函数极限的相互性质.实际上函数极限的许多性质与数列极限是相应的，它们不仅有类似的结论，而且有类似的证明方法.这样就实现了“旧知”向“新知”的迁移.
3.通过有限与无限类比产生迁移
有限与无限类比的方式通常有：直与曲类比，
类比等.通过上述类比，运用极限的手段，实现有限和无限的转化，即在原有“有限”的认知结构的基础上，达到“有限”的知识、技能向“无限”迁移.
例如，由有限不等式
③式可以在②式两端取极限直接给出证明，也可以采用证明Cauchy不等式的判别式法证明.用类似的方法可以将许多关于有限和的不等式推广到积分的情形.
4.通过低维与高维类比产生迁移
低维与高维类比的表现方式有：（1）少元与多元类比；（2）低次与高次类比；（3）直线与平面类比；（4）平面与空间类比等.通过上述类比，在原有“低维”的认知结构的基础上，达到“低维”的知识、技能、方法向“高维”的迁移.
例如，由直线点集的区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理等，用类比法可以猜想出平面点集的相应定理；由一元函数极限的归结原则、四则运算法则，运用类比的方法可以猜测出二元函数极限的归结原则及四则运算法则；由闭区间上的一元连续函数的性质，可类比出有界闭区域上的二元连续函数的性质；由定积分的性质，可类比出二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分也具有一系列与定积分相类似的性质；由牛顿—莱布尼兹公式可类比出格林公式；由定积分的换元法，可类比出二重积分的换元法：将直角坐标换为极坐标，从而使运算化简，进一步可得二重积分的一般换元法则：
这种换元思想同样可类推到三重积分，即用柱面坐标和球面坐标来计算积分.
三、利用迁移优化数学认知结构
作为科技基础的数学，将作为一个有力的工具来从事科技的学习和研究.如何使学生具备良好的认知结构是极其重要的，下面说明如何利用迁移使高等数学的认知结构优化.
1.驾驭教材内容并掌握知识内在结构
根据同化理论，认知结构中是否有适当的、起固定作用的概念可以利用，是决定新的学习与保持的重要因素.布鲁纳提出，为了促进迁移，教材中那种具有较高概括性、包摄性和强有力的解释效应的基本概念和原理，应放在教材的中心.在数学教学中，教师应启发学生找出这样的基本概念和原理，掌握知识的内在结构的相互联系，这样既可简化知识，又可灵活运用知识和产生新知识.
例如，高等数学一元微积分最核心的概念是极限，此外，连续、导数、微分、积分都是主要的概念，其存在关系如图2所示.
图2 微分主要概念关系
再如各种积分的关系可用图3表示
图3 各类积分的关系
从以上两例可以看出，起固定作用的概念，如极限微元法，是极其重要的知识核心，是掌握其它概念的前提，这些概念掌握了，其它概念（方法）也容易接受和掌握.
2.从教材呈现程序方面促进迁移
认知心理学认为，当人们接触一个完全不熟悉的知识领域时，从已知的、较一般的整体中分化细节，要比从已知的细节中概括整体容易一些.人们关于某学科的知识在头脑中组成一个有层次的结构，最具包摄性的观念处于这个层次结构的顶点，它下面是包摄范围较小和越来越分化的命题概念和具体知识.根据人们认识新事物的自然顺序和认知结构的组织顺序，教材的呈现也相应遵循由整体到细节的顺序.
例如，在介绍函数的求导方法时，应先介绍一般的求导方法：求出△y，再计算（（△y）/（△x）），最后计算
根据这一基本方法运用于初等函数，可得公式法.至于复合函数、反函数、隐函数及参数方程函数的求导，都是以此为基础的.
除了要从纵的方面遵循由一般到具体、不断分化的原则外，还要从横的方面加强概念、原理、课题乃至章节之间的联系，如果不弄清这些联系，则给学生设置了人为的障碍，使他们看不清许多相关的课题或隐蔽的重要特征之间的共同性.例如，曲面积分
f（x），其中（f（x）在[a，b]上连续，a≤x≤b）.
四、利用迁移产生创造
利用迁移还可以产生创造，下面给出一个由迁移而发现新定理的案例——连续归纳法的发现.
实数，是从自然数系演变扩充而得到的.自然数是全序集，实数也是全序集.那么，对自然数系而言的有力工具，能不能“迁移”过来，用于实数系呢？具体地说，能不能把大家熟悉的数学归纳法搬到实数系里去“一试身手”呢？
数学归纳法的正确性，由自然数的一个性质而来——“非空的自然数集里必有最小数”.从这一点着眼，又建立了超限归纳法，它可以用于任一个“良序集”.因为，“良序集”正是这样的全序集，“它的任一非空子集，有最小元素”.
实数集，按自然大小顺序，它的子集不一定有最小数.这给归纳推理造成了困难.也许正是因为这个原因，这个很容易想到的工具始终没有被人们使用过.
确实，我们的思想常受古圣、先哲的限制，因而很少去追求珍贵遗产中的不足之处.其实，变通一下归纳法的形式，就能绕过实数集按自然大小非良序集的困难.
让我们比较一下两种归纳法.
（1）关于自然数的数学归纳法.
设P[，n]是一个涉及自然数n的命题，如果：①有某个n[，0]，使对一切n＜n[，0]，有P[，n]真.②若对一切n＜m有P[，n]真，则P[，n]对一切n＜m+1也真.那么，对一切自然数n，P[，n]真.
（2）关于实数的数学归纳法.
设P[，x]是一个涉及实数x的命题，如果：①某个x[，0]，使对一切x＜x[，0]，有P[，x]真.②若对一切x＜y有P[，x]真，则有δ[，y]＞0，使P[，0]对一切x＜y+δ[，y]也真，那么，对一切实数x，P[，x]真.
上述（1）是大家熟知的数学归纳法，（2）是我们提出来的连续归纳法.
两种归纳法，何其相似[1]！
这种新的归纳法一提出来，跟着就产生了必须回答的问题：第一，它是否正确？第二，它是否有用？是否好用？第三，它与现在常用的关于实数的命题是什么关系？
总之，迁移理论在数学中有广泛的应用，它不仅能促进知识、技能和方法的迁移，而且能揭示知识间的联系，优化数学认知结构，对学生基础知识和基本技能的掌握及创造思维能力的培养都具有重要意义.