多值逻辑的解释问题，本文主要内容关键词为：逻辑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
〔摘要〕 多值逻辑的解释，是多值逻辑研究中重要而又相当困难的工作。本文分析了多值逻辑系统中真值解释的不同含义，研究了现有的一些多值逻辑解释的特点，并且探讨多值逻辑解释中存在的困难和一些解决的方法。
〔关键词〕 多值逻辑 真值 模型 可能世界
随着大量多值逻辑系统的出现，对它的解释显得越来越重要。因为对于一个多值逻辑系统来说，只有能够对它作出某种解释，它才能为人们所使用，否则，它只能被看成为一种抽象的机制。因此，在多值逻辑研究中，“解释”是一个不可回避的问题。
对于什么是“多值逻辑系统的解释”有两种不同的理解。首先，所谓“多值逻辑系统的解释”指的是将逻辑系统的元素（命题变元、真值、命题等等）与某个具体事物领域对应起来。在这种解释中，逻辑系统起着一种模型的作用，它是模拟某个具体的领域的。在这里，逻辑系统中的“真”、“假”、“未确定”等词项是不加以定义的，可以由具体领域中的某些词项替换。例如，使命题p对应于触点a，使真值对应于触点a的某个可能位置i。在这种解释中，“触点a在i的位置上”解释为“p的值为真”。实际上，把“触点a在i的位置上的”解释为“p的值为假”也是可以的，因为这里的逻辑系统的真值只是一个符号，而这些符号本身具有什么含义是无关紧要的。多值逻辑在许多具体领域中的应用都属于这种解释。例如某些多值逻辑可以解释为开关电路、数学模型等等。这是多值逻辑解释的第一种类型。其次，所谓“多值逻辑系统的解释”指的是以真值的定义为基础而进行的解释。在这种解释中，逻辑系统中的真值的定义是给定的，而且这种真值的定义往往跟人们认识的某些过程相联系。例如，在三值逻辑系统中，除了真、假二值之外，第三个值在不同的系统中分别被定义为“可能”、“中性”、“未确定（不能确证或否证）”、“无意义（命题本身没有任何意义以使它属于真或属于假）”、“不重要（它或真或假都不重要）”等等。显然，这些真值的定义是反映人们认识的某些过程的。这是多值逻辑解释的第二种类型。
任何一个多值逻辑解释系统都有可能作出这两种解释。例如，卢卡西维茨的三值逻辑可以从以上两种类型来解释为模态逻辑。在卢卡西维茨的三值逻辑中，命题的真值分别为0，1/2，1。Np（即p的否定）以及N[1]p和N[2]p的真值表如下：
根据上面的真值表，使N[3]p对应于N[2]Np，N[4]p对应于N[1]Np。通过这些对应关系，可以将Np解释为“非p”，N[1]p解释为“p是可能的”，N[2]p为“不可能p ”，N[3]p为“必然p”，N[4]p为“不必然p”。在这里可以看到，这个三值逻辑系统所给出的对应关系，可以用来描述模态函子的特征，以及包含这些模态函子的命题之间的相互关系。这种描述是通过将N、N[1]、N[2]、 等符号为一边，以否定词“并非”以及模态词“可能”、“不可能”等为另一边而建立起来的对应关系进行的，由此可见，这个三值逻辑系统在这里起着模态逻辑的模型作用，因为它属于第一种类型的解释。同时，也可以对卢卡西维茨的三值逻辑作第二类型的解释。根据卢卡西维茨的观点，塔斯基给出了下面的“可能”定义：◇x＝┐x→x，在这里， ┐和→都是卢卡西维茨三值逻辑中的函子。通过运算可以看出，◇0＝0，◇1/2＝1，◇1＝1。根据上面的定义， 可以看出下面的公式都是一些“特指值公式（即取真或似真值的公式）”：┐◇→┐x，（∑x）（◇x∧◇┐x），即，┐◇0→┐0＝┐0→┐0＝1→1＝1，┐◇1/2→1/2＝┐1 →┐1/ 2＝0→1/2＝1，┐◇1→┐1＝┐1→┐1＝0→0＝1，（∑x）（◇x∧◇┐x）＝（◇0∧◇┐0）∨（◇1/2∧◇┐1/2）∨（◇1∧◇┐1）＝（0∧1）∨（1∧1）∨（1∧0）＝0∨1∨0＝ 1。在这里可以看到，◇x是在三值逻辑的范围内被定义的，而指派给◇x 的真值则依赖于下面的真值表：
由此可见，这种解释是属于第二类型的解释而不是属于第一类型的。
从逻辑研究的角度来看，人们对第二类型的解释无疑比对第一类型的解释更感兴趣，因而也把注意力集中在第二类型的解释上，特别是多值逻辑的值的解释上。根据现有的材料，对多值逻辑的值的解释主要有如下几种：
1.普赖尔把“T”（真）解释为“绝对（一贯）真”，“F”（假）解释为“绝对（一贯）假，而I则表示“时真时假”。
2.在克莱恩的强系统中，“中间值”I 表示缺乏定义或确定的含义，因此具有这样的值的命题是没有意义的。
3.在克莱恩的弱系统中，“中间值”I指派给一些悖论性的命题， 而这些悖论性的命题是不能简单地划分为真或假的。
4.卢卡西维茨认为，多值逻辑的值可以解释为命题的模态，如必然假、实然假、未确定、实然真、必然真等等。
5.赖欣巴赫等人认为，多值逻辑的真值可以表示命题的“概率”状态。例如，人们可以对命题作如下的划分：实然真、大概真、可真可假、大概假、实然假等等。
6.罗萨使真值在某些系统内反映命题的“认识论”方面的特点，如：
已知或已确定（已证）为假，
既不知道（证明）为真，也不知道（证明）为假。
已知或确定（已证）为真。罗萨认为，
通过这样的解释，可以用多值逻辑来处理直觉主义逻辑。
从这些解释可以看到，对多值逻辑真值的解释，实际上是分为两派的。第一派的观点认为，除“真”和“假”之外的其他值，是根据这些值所依赖的现实，以及命题的证明的重要性或现实性进行解释的。因此，当第三个值是以下列方式定义时，这个系统只能有三个值。即第三个值为未知（不能证明）命题是否为真或为假。在这样一种解释下，具有第三个值的命题的特征仍然是不清楚的。它可能作为真假两个真值之一出现；或者在某种条件下为真，在另一种条件下为假；或者根据真或假的定义，在同一情况下既不是真的，又不是假的，等等。第二派则属于这样一种解释，命题的真值被看成为独立于现实、命题证明的重要性或现实性之外的。持有这一派观点的大多数人将命题的真值变成了概率或模态。在他们看来，第三个值不能化归为真或假，只能是一种模态或概率。如果一个命题有第三个值，那么它既非真的，又非假的。当然，他们当中也有人把第三个值理解为无意义的，确证或否证都是不可能的等等。
虽然人们对多值逻辑的真值作出了各种各样的解释，但是，实际上大部分的解释仍然是没有多大的说服力的。为什么会是这样呢？请看下面的三值逻辑的真值表：
当这些真值表只剩下1和0时，它们跟古典的二值逻辑真值表完全一样。但是，当存在着第三个值的时候，应该怎样填上其余的部分呢？显然有两种情况是必须要考虑的。首先，我们应当遵循p∧p＝p 的原则，即当p的值为1/2时，p∧p的值也应当为1/2。根据这条原则，1/2∧1/ 2的值必定为1/2。其次，我们也应当遵循这样的原则，即无论p的值是什么，p∧┐p的值必定为0。在大部分的多值逻辑系统中，当p的值为 1/2时，┐p的值也为1/2。根据这条原则，1/2∧1/2的值又可能为0。那么，当1/2∧1/2时，它的值究竟是1/2还是0呢？如果是1/2， 那么它违反了第二条原则，如果是0，那么它违反了第一条原则。 从这里可以看出多值逻辑语义解释的两难处境，即没有办法对1/2∧1/2的值作出令人满意的处理。
三值逻辑的这个缺陷是由下面的事实造成的。在三值逻辑系统内存在一个半否定的真值1/2，可以使1/2＝┐1/2。 那么在四值逻辑系统中是否可以避免这种情况发生呢？让我们来考查下面的四值逻辑的解释：
否定是由下面的真值表所描述的：
在这里，1和2/3都是“特指值”，即一个公式如果要保持重言式的状态的话，无论是变元取什么样的值，公式最终都要取1和2/3这样的“似真”值。
根据上面的解释，可以得到普赖尔讨论过的四值逻辑。普赖尔对这4个值作出如下的解释：
“1”表示“真并且只涉及纯粹形式”。
“2/3”表示“真并且涉及事实”。
“1/3”表示“假并且涉及事实”。
“0”表示“假并且只涉及纯粹形式”。
系统内的命题是根据它是否“纯粹”（即严格的形式）或“非纯粹”（即涉及自然事物）而划分的。而“非纯粹”性在进入合取时会影响所有的命题，例如，“猫在草席上并且2+2＝5”这个命题自动地取1/3值，尽管它的第二个合取支是形式假的。根据普赖尔对真值的解释，可以构造下面合取真值表：
但是，使用这个合取真值表同样会产生三值逻辑那样的困难。考虑相当于2/3∧1/3的那一个值。在解释（2）中，显然是不能取1/3值的，因为当p的值为2/3时，p∧┐p的值应当为0。可是在解释（1）中，相当于2 /3∧1/3的值应该是1/3，而不是0。由此可见，在同样的p∧┐p 并且p的值为2/3的情况下，也可以取两种不同的真值。换言之，以上的解释同样不能使真值表中的合取作出合乎要求的语义解释。
现在有一种解释可以解决2/3∧1/3既可以取1/3值又可以取0值的问题。假定我们要考查某些命题在两个不同的逻辑系统是否可以为真，那么这些命题可以按1、2/3、1/3、0赋值：
“1”表示“命题在X系统和Y系统中都真”。
“2/3”表示“命题在X系统中真，但在Y系统中不真”。
“1/3”表示“命题在X系统中假，但在Y系统中不假”。
“0”表示“命题在X系统和Y系统中都假”。
上面的真值解释给出了下面否定和合取真值表：
这种解释避免了前面解释中存在的困难，因此，是令人满意的。
后来，有人将这种解释发展成为多值逻辑的“可能世界”解释。解释如下：
假定存在着若干个“可能世界”。
W=[W[,1],W[,2],……]
W的子集构成了所有p在其中为真的可能世界：
｜p｜＝｛w/w∈W并且p在w中为真｝
被解释的多值逻辑以下面真值为基础：
｜┐p｜＝｜p｜′（撇号在这里表示p在w中的补集）
｜p∧q｜＝｜p｜∧｜q｜
｜p∨q｜＝｜p｜∨｜q｜
｜p→q｜＝｜┐p∨q｜
｜p←q｜＝｜（p→q）∧（q→q）｜
假定这里只有一个可能世界，即W＝｛w｝， 那么这里只有两个值0＝A，1＝｛w｝＝W＝V。
这个系统∑[,2]的真值表就是：
从真值表可以看出，这个系统实际上就是古典的二值逻辑系统C[,2]，即∑[,2]=C[,2]。
假定这里有两个可能世界，W=｛W[,1],W[,2]｝，那么这个系统有如下4个值：
这个4值的系统具有如下的真值表：
在具有三个可能世界的情况下，即W＝｛W[,1],W[,2],W[,3]｝，我们得到一个8值逻辑，它是以下面的真值为基础的：
阿兰·露西曾根据这种方法构造了一个具有8值的几何命题的系统，这8个值分别表明这些几何命题在欧几里德几何、黎曼几何以及罗巴契夫斯基几何中为真的情况。这就说明，至少有某些多值逻辑系统具有意义的语义解释。不过，到目前为止，绝大部分多值逻辑系统仍然没有找到可供使用的语义解释。因此，如何为多值逻辑系统提供语义解释仍然是一项艰巨的任务。
本文1995年3月21日收到。
Some Issues about the Explanation of Multi-value Logic
Liang BiaoAbstract
To give an cxplanation to a Many- Valucd Logic israther difficult.It is, howerver, vcry important to theresearch in Many- Valucd Logics. In this thesis, varicdcxplanations about the truth in the Many- Valned Logics havebeen analysed,some characteristies of these cxplanation havebeen deliberated,and the difficulties which cxist in theexplanations of Many-Valued Logics and the solutions for themhave been discussed.