数学探究：数学思想是灵魂——“对{G312V352.jpg}(ab≠0)型函数性质的探究”一课评析，本文主要内容关键词为：数学论文,一课论文,函数论文,性质论文,灵魂论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
案例呈现
一、复习引入
师 前面的课程中，我们学习了函数的哪些知识和性质？
生 函数的概念、定义域、值域、单调性、奇偶性……
师 我们今天一起来研究形如
(ab≠0)的函数的性质。
【设计意图】 复习已学函数，巩固函数概念与性质，并为后面新函数的探究作好思维上的铺垫。
二、初步探究——策略分析
师 回顾在初中研究一次函数、反比例函数的过程，从中体会，当我们研究一类函数的性质时，采用的是什么思路？经历了哪些步骤？
（学生讨论后，师生共同提炼总结：当研究一类函数时，可以先研究其中一些具体的函数，再对比归纳这类函数共同的性质。当研究具体的函数时，一般先考察定义域和值域，然后从代数和几何两个角度入手，即一方面从解析式入手分析函数性质，从而比较准确地绘制图像；另一方面，也可以先绘制大致图像，再观察、猜测函数的性质。如图1所示）
【设计意图】 在这一讨论过程中，学生可以体会研究函数的一般思路，体会从特殊到一般、从具体到抽象的思想方法，并且通过对一次函数、反比例函数研究过程的回顾，既启发学生进行提炼、概括，同时也揭示出数学学习中蕴涵着很多一般性的研究方法和数学思想，引导学生重视对方法的思考、理解与应用。
图1
师 从以上讨论可以看出，要研究一类函数的性质，需要先研究一些具体的函数。那么，在课堂有限的时间内，我们如何实现这一目标呢？
生 我们组研究一个函数，他们组同时研究另一个函数。
生 两个函数太少了，可以每个人研究一个函数，这样我们就有50个函数，就可以总结出一般性的性质了。
生 还可以每两个人或者每四个人一组，每个组研究一个函数，这样速度快，而且准确性比较高。
师 想法都很好，大家觉得应该采用哪个方案呢？对，小组合作的方案速度快、效率高，那么请四名同学一个小组开始探究。
（每个小组确定一个具体的研究对象，分工合作，探究性质）
【设计意图】 函数(ab≠0)是载体，其性质是学习的自然结果而非重点。课堂学习的重点是体会研究函数的思路与方法，因此学生主要研究一个具体函数即可，同时也能体会到合作学习的必要性和高效性。
师 请小组成员协商决定本组的研究对象。
生 我们小组准备研究a=1，b=1的情形，
也就是
的性质。
【设计意图】 要求小组成员协商后汇报具体的研究对象，目的在于引导学生关注各类情形，明确研究对象的范围。此过程中，若有学生提出a＜0的情形，可由a＞0的情形类比得到性质。利用两个函数之间的代数关系与图像关系缩小研究范围，简化研究过程，这体现了类比与转化的思想。
三、进一步探究——小组探究与汇报
1.小组探究
各小组结合学案探究函数性质，绘制函数图像。教师注意观察各小组情况，及时鼓励学生交流，发现通过对奇偶性的研究简化探究过程的小组。
【设计意图】 学生在初中学习一次函数、反比例函数、二次函数时，都是通过先描点得到图像，再从图像观察性质。高中阶段对函数的研究应提升一个层次。即：从代数解析式入手研究函数性质与从函数图像入手观察函数性质是一个同步、交互的过程，函数的奇偶性、周期性、单调性都可以从代数角度获得，并可以使绘制函数图像的过程更加简单，结果更加准确。
2.汇报交流
（教师选取研究对象是函数
的那个小组向全班汇报研究成果。说明探究过程，并对相关性质给予严格证明。其他学生提问）
组 我们首先研究的定义域，是(-∞，0)∪（0，+∞）。再看值域，不太好确定，于是我们先研究其他性质。根据刚才的讨论，我们知道这个函数是奇函数，因此只需考察x∈（0，+∞）的情形。下面看单调性，我们发现这个函数在(0，2)上单调递减，在（2，+∞）上单调递增。
生 为什么？
组 这是可以证明的。
（该组组长在黑板上给出了用定义证明单调性的过程）
生 关键你们是怎么确定2这个单调区间端点的？
组 我们先通过描点画出大致图像，然后观察出来的……
组 这种方法我们没有想到，谢谢！有了单调性，我们就能确定当x∈（0，+∞）时，函数的值域是[4，+∞）。又由于它是奇函数，所以值域是(-∞，-4]∪[4，+∞）。单调递增区间是(-∞，-2)，（2，+∞），单调递减区间是(-2，0)，(0，2)。
师 对这个函数的性质，同学们还有补充吗？
生 我认为这个函数还有一条渐近线是y=x，所以能看出他们绘制的图像在x比较大的时候不是很准确……
（选择函数
的小组汇报结果是：
(1)定义域：(-∞，0)∪（0，+∞）；(2)值域：R；(3)奇偶性：奇函数；(4)单调性：单调递增区间是(-∞，0)，（0，+∞））
【设计意图】 要求学生不仅要展示成果，而且要说明探究的过程（如值域是在研究了单调性之后才得到的），为以后利用单调性研究极值打下思维基础。对于单调性，一方面，要求给出严格的证明，复习利用定义证明单调性的方法，强调数学的严谨性；另一方面，说明单调区间是如何确定的，重在思维的交流（从图像上直观猜测，或从单调性定义反推临界点，或从平均不等式等代数方法推断）。学生容易对“渐进线”这一直观印象展开讨论，由此明确函数的代数性质都有其几何的直观背景，强调数学学习的严密性与逻辑性。
3.各小组探究结果汇总展示
各小组将探究结果集中展示在教室的一侧墙壁上。
【设计意图】 性质的总结应该是归纳共性的过程，不能仅从一两个函数个例就得出一类函数的性质。
四、归纳探究
师 请同学们根据各个小组的探究结果，进行对比、归纳，讨论(ab≠0)的分类并总结每类函数的性质。根据参数a、b的正负情况，大致可分为四类。表1中是a＞0时的两类情况，请同学们试试看，自己来总结a＜0的两类情形。
表1
【设计意图】 对于a＜0时的两类情形，学生可以用类比的方法，采用与a＞0时相同的研究思路；也可以利用两个函数f(x)与-f(x)图像之间的轴对称关系进行分析。具体取决于学生课始时的策略分析与课堂中的思维发展。
师 我们是否研究过含有两个参数的函数？研究其意义时采用了什么样的方法呢？
生 一次函数y=kx+b有两个参数，在初中学习时，先固定b不变，观察函数图像与性质随着k的变化而如何变化；再固定k不变，观察函数图像与性质随着b的变化而如何变化。
【设计意图】 通过讨论，得到研究多参数意义的方法。更重要的是，学生通过这一思维过程，进一步体会化归思想，即面对新问题时，能够快速搜索同类型问题和相关的经验，及时转化为熟悉的、已知的问题加以解决。同时，对参数意义的讨论可以加深对函数图像与性质的理解（课后有学生提出，参数a的意义在于决定了｜x｜较大时f(x)的取值与图像趋势，即直线y=ax是其远端渐进线；而参数6决定了｜x｜较小时f(x)的取值与图像趋势，即双曲线
是其近端广义渐进线。因此，无论a、b的正负，只要画出直线y=ax与双曲线，即可从远、近两个角度绘制出的大致图像，并进而得到函数性质）。
五、作业与思考（略）。
评析与反思
苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。”数学课程标准明确指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。”数学探究是学生学习的心理回归，是数学教学的学术回归。它有利于学生深入理解数学知识，把握数学思想方法，提高数学探究能力。
然而，探究并不适用于所有的数学内容，也就是说，并非所有的数学问题都具有探究价值。判断一个数学问题是否具有探究价值，一般应从下列六个角度去考虑：(1)是否能引导学生进行更深层次的数学思考；(2)是否有利于数学思想方法的挖掘与提升；(3)是否具有足够的开放性以丰富学生的数学活动经验；(4)难易程度是否处于学生的“最近发展区”；(5)是否能激发学生的探究欲望，鼓励学生参与到探究过程中来；(6)是否能够将新旧知识、过程与方法统一起来。从这几点出发。上述案例中，人大附中李秋生老师将“(ab≠0)型函数的性质”作为探究课题，无疑是较为恰当的。
一、元认知提示语的暗示和启发
根据美国心理学家约翰·弗拉维尔的观点，元认知就是对认知的认知，即个体关于自我认知过程的知识和调节这些过程的能力，是对思维和学习活动的监测和控制。元认知包括元认知知识和元认知体验。所谓元认知知识，是指个体所存储的，既和认知主体有关，又和各种任务、目标、活动及经验有关的知识片段。弗拉维尔认为，元认知知识主要有三类：(1)个体元认知知识，即个体关于自己及他人作为认知加工者在认知方面的某些特征的知识；(2)任务元认知知识，即关于认知任务已提的信息的性质、任务的要求及目的的知识；(3)策略元认知知识，即关于策略（认知策略和元认知策略）及其有效运用的知识。弗拉维尔特别强调这三类元认知知识的交互作用，强调不同个体会依据特定的认知任务对策略作出优劣的判断：教学中，教师应根据探究的层次和程度，灵活设计隐蔽性强的弱暗示提示语和隐蔽性弱的强暗示提示语，即根据探究的需要，确定暗示是离目标近一点，还是离目标远一点。离目标越远，暗示就越隐蔽，元认知成分就越多，认知成分就越少；离目标越近，暗示就越明了，元认知成分就越少，认知成分就越多。
该课的探究教学大致经历了这样的流程：探究问题的提出→探究方向的选择与探究方法的确定→实施探究→探究结果的共享→探究的延伸与拓展。课始，教师开门见山地提出问题，使学生明确探究任务。接下来探究方向的选择、探究方法的确定，教师则是充分运用了元认知提示语的暗示和启发功能，通过四次有层级的元认知提示语，“暗中”引导学生领悟数学探究的要素：
(1)当我们研究一类函数的性质时，采用的是什么思路？经历了哪些步骤？
(2)要研究一类函数的性质，往往先研究一些具体的函数，再归纳、概括此类函数的性质。那么，在课堂有限的时间内，我们如何实现这一目标呢？
(3)有了这两个小组的展示，我们能不能归纳出函数(ab≠0)的性质了呢？
(4)我们是否研究过含有两个参数的函数呢？研究其意义时采用了什么样的方法呢？
为了使元认知提示语成为探究的向导，其暗示必须与现实生活中真正存在的事物或现象有关，而且要尽量与学生的亲身经历或心理经验相联系。教师的第一次暗示侧重指向学生数学活动的经验（个体的元认知知识），使要探究的问题从方法论的角度获得“概略性解决”，既渗透一定的数学知识背景，又隐含数学思想和方法，指向学生内部的数学思维活动，为学生的探究提供有效的指引；第二次暗示侧重指向课堂面临的探究任务（任务元认知知识、策略元认知知识），使此后的小组探究、合作交流成为学生的自然选择；第三次暗示“趁热打铁”，引领学生由具体上升为抽象，进行一般的归纳概括；第四次暗示则是探究的延伸与拓展，研讨参数a、b的意义。
二、关注活动性、合作性、反思性的学习
巴西教育家保罗·弗莱雷说：“没有对话，就没有交流；没有交流，也就没有真正的教育。”课堂教学应当是一种充满活力的对话的实践，营造一种活动性、合作性、反思性的学习氛围。案例中，教师充分尊重学生在探究过程中的“自组织性”，给予学生广阔的探究空间；同时，既明确学习问题和小组达标要求，又注意对小组合作的监控和适时介入，较好地发挥了指导者、引领者的作用。其中有这样几个亮点：
亮点一：关于“怎么确定2这个单调区间端点”的质疑与释疑；总结出确定函数单调区间的图像法、函数单调性定义法、平均不等式法等三种方法（当然，学生后续学习了函数的导数后，此处的疑问便可彻底释怀了；事实上，已有些学生于此“萌芽”了）。
亮点二：通过“对这个函数的性质，同学们还有补充吗”的追问，引出了学生关于渐近线的“发现”后，及时指出：“的确，很多函数的相关概念都是从几何直观上抽象出来的。”
亮点三：“有没有哪些小组的探究结果与他们有比较大的区别呢？”从而引出了第二小组另一类函数性质的展示。
亮点四：类比一次函数y=kx+b中参数k、b的意义，探究函数(ab≠0)中参数a、b的意义。
一般来说，自主学习、探究学习及合作学习三者之间的关系是：自主学习强调的是学习的内在品质，它是针对被动学习而言的，凡能有效促进学生发展的学习，一定是自主学习；探究学习强调的是学习的手段、途径，它是针对接受性学习来说的，自主学习既可以是探究的，也可以是接受的；合作学习强调的则是学习的组织形式，它是针对个体学习、竞争学习来说的，探究学习既可以是合作的，也可以是独立的、竞争的。学生今天的学习方式就是其未来的生活方式、生存方式，至关重要，教师要关注学生良好学习习惯和学习方式的培养。
三、以数学思想为主线
“数学是思维的体操”，加里宁这句名言揭示了数学学习的本质是一种思维活动。前苏联著名教育家斯托利亚尔在其《数学教育学》一书中也指出：“数学教学是数学思维活动的教学。”数学教育并非单纯地积累数学事实，更多的是通过对数学活动经验的条理化、对数学知识的自我组织、对数学思想方法的领悟等来实现其价值的。在数学教学中，探究只是手段，数学思想方法才是灵魂。
本课探究教学中，渗透了丰富的数学思想。
1.归纳思想（由特殊到一般）。比如，先研究其中一些具体的函数，再对比归纳这类函数共同的性质；通过具体的数值，研究参数a、b的意义等。
2.数形结合思想：反复揭示函数图像与性质的关系，让学生体会数形结合思想。
3.类比思想。如对(ab≠0)分类并总结每类函教的性质时，只探究a＞0时的两类函数性质，而a＜0时的两类函数性质由学生类比得到；类比一次函数y=kx+b中参数k、b的意义，探究函数(ab≠0)中参数a、b的意义。
4。转化思想。同样是对(ab≠0)分类并总结每类函数的性质，还可以利用函数图像的对称性，将a＜0时的两类函数性质转化为研究a＞0时的两类函数性质。特别是让学生反复体验如何把新的、陌生的、未知的问题转化为旧的、熟悉的、已知的问题来解决，再一次强化了转化思想。
众所周知，数学教学中有三种思维活动：数学家的思维活动、教师的思维活动和学生的思维活动，其关系如图2所示。课堂上，教师采取的策略是：深钻探究素材，追踪数学家的思维活动；设计元认知提示语，“稚化”教师的思维活动；自主探究与合作交流，激活学生的思维活动。学生在有效的探究中，思维水平得以提升。
图2
最后，有两点商榷：
其一，在教学流程中，是否可以增加“探究体验的交流”这一环节？即增加元认知体验的交流环节，所谓元认知体验，即伴随并从属于智力活动的有意识的认知体验或情感体验。按照弗拉维尔的元认知理论，很多元认知体验是关于在某一认知活动中个体已取得的进展或将取得的进展的信息。在认知活动中，元认知知识和元认知体验是相互作用的。一方面，元认知体验能导致元认知知识的增加、删除或修改，个体在认知活动中会发现目标、策略、元认知体验和任务之间的关系，然后将这些发现同化到已有的元认知知识系统中；另一方面，元认知知识可以帮助个体理解元认知体验的意义以及元认知体验对于认知行为的暗示。两者的相互关系还体现在：有时它们是部分重叠的，有些元认知体验可看做是进入意识的元认知知识片段。
其二，在探究参数a、b的意义时，是否可以利用《几何画板》等软件作为研究平台？以进一步激发学生的探究欲望，深化数形结合思想。
瑞士民主主义教育家斐斯泰洛齐曾言，在课堂上决定着一个民族的未来。课堂，是一块凹地，所有的课程都在这里汇聚并得以整合；课堂，又是一块高地，所有的课程都在这里提升并得以实现。数学探究对提升学生数学素养，激发数学学习兴趣，形成理性思维，发展智力水平，培养创新意识和实践能力均有积极作用。当然，这样的目标不可能在一节课中达成，需要教师在日常教学中整体规划、分步实施，在每一节课中依据教学规律、学生的身心发展规律和学生的学习需求精心设计，立足学生的思维发展态势及时反馈、快速调整。唯如此，才可能离期望的教学目标近些、更近些……
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