福建省沙县第一中学 365500
确定不等式恒成立的参数的取值范围，是中学数学教学的难点，也是历年高考的一个热点。解答这类问题主要有两类方法：其一是分类讨论法。根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论。其二是分离参数法。在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若a≥f（x）恒成立a≥f（x）max，若a≤f（x）恒成立a≤f（x）min〔函数f（x）存在最值的情况下〕，转化为函数求最值。在函数f（x）不存在最值的情况下，要解决此类问题，下面引入三个定理以及洛必达法则。
定理1：若连续函数f（x）在开区间（m,n）单调递增，且f（m）存在，则a＜f（x）在（m,n）上恒成立a≤f（m）。
定理2：若连续函数f（x）在开区间（m,n）单调递增，且f（m）不存在，则a＜f（x）在（m,n）上恒成立a≤limf（x）。
定理3：（保号性定理）设函数f（x）在（m,n）上连续，且f（m）>0（或<0），则必存在x0∈（m，n）使得对一切x属于（m，x0）,有f（x）>0或f（x）<0。
洛必达法则：
1.若函数f（x）、g（x）在（m,n）连续可导，且f（m）=g（m）=0，则lim=lim 。（ 型极限的求法）
2.若函数f（x），g（x）在（m,n）连续可导，且f（m）→∞、g（m）→∞,则lim=lim 。（ 型极限的求法）
一类恒成立问题:已知：不等式f（x）≥a·g（x）对x∈[+∞)恒成立，且f（n）=g（n）=0，求实数a的取值范围。
纵观近几年高考，2010年和2011年的全国新课标卷中的第21题，2014全国新课标Ⅱ卷理21题，2015北京理18题，2016年四川理21题，都以这一类型作为压轴题来考察。
本文拟就这一类在区间端点的函数值恰为零的恒成立问题分别使用这两种方法作一些探讨归纳总结，不妥之处，敬请斧正。
例：已知函数f（x）=x2lnx-x+1，x∈[1+∞），且f（x）≥a（x-1）2恒成立，求实数a的取值范围。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆
方法一：分类讨论法
作差构建新函数g（x），为了感知g（x）求导得到g`(x）、g″(x），并关注端点函数值、导数值是否为零，直到端点的导数值不为零，从而得到分类标准，以端点的导数的符号分两类讨论，一类不等式恒成立，另一类不等式不成立，从而求出参数的取值范围。
解：设g（x）=f（x）-a(x-1)2,x∈[1+∞）,g(1)=0
g`(x）=2xln+x-1-2a（x-1），g`（1）=0
g″(x）=2lnx+3-2a，g″(1）=3-2a
〔分类讨论的标准为3-2a的符号g″(1）=3-2a是g（x）≥0恒成立的必要条件〕
(1)a≤ 时g″(x）≥0，∴g`(x）在（1，+∞）上递增；
∴g`(x）≥g`(1）=0，∴g（x）在（1，+∞）上递增；
∴g（x）≥g（1）=0，∴f（x）≥a（x-1）2。
（2）a> 时，由g″(x）<0得1<x<e ，∴g`(x）在（1,e ）上递减；
∴g`(x）≤g`(1）=0，∴g(x）在（1，e ）上递减，∴g（x）<g（1）=0不合题意，舍去。
综上，a≤ 。
方法二：分离参数法
分离参变量，构造函数，直接把问题转化为求函数的最值。
解:（1）x=1时成立。
（2）x>1时f（x）≥a（x-1）2恒成立a≤ 恒成立。
设g（x）= ，g`（x)＝，
设h（x）=-2xlnx+x2-1，h（1）=0，
h`(x）=-2lnx+2x-2,h`(1）=0，
h`(x）=- +2>0，∴h`(x）在（1，+∞）上递增；
∴h`(x）>h`(1）=0，∴h（x）在（1，+∞）上递增；
∴h（x）>h（1）=0，∴g`（x）>0，∴g（x）在（1，+∞）上递增。
由洛必达法则知limg(x)=lim =lim ＝ ，
所以a≤ 。
参数分离的方法：在使用参变量分离解题时都会遇到函数在开区间上单调，且在端点处不存在函数值，使用洛必达法则来处理可达到事半功倍的效果。但洛必达法则求函数的极限是大学的内容。
总之，对这一类恒成立求参数的取值范围的求解通常有两类解决的方法，通常情况下要用“分类讨论”的方法，先寻找恒成立的必要条件，分两种情况加以讨论。而使用参变量分离的方法思路较为清晰，但有时求导及判断导数的符号较为困难，可根据不同的题目选择适当的方法。
论文作者:黄洁云
论文发表刊物:《素质教育》2018年4月总第268期
论文发表时间:2018/4/17
标签：函数论文; 不等式论文; 方法论文; 参数论文; 导数论文; 定理论文; 参变量论文; 《素质教育》2018年4月总第268期论文;