关于学生数学原知识的案例探究，本文主要内容关键词为：案例论文,数学论文,知识论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出 教育是信息传递和加工的过程.“把信息加工过程中的知识按其作用和角色，可划分为原知识、新知识两大类.原知识是指制约、帮助加工外来信息的知识，新知识指通过信息加工所得到的结果.原知识是一次具体的学习之前就已有的知识，新知识是一次具体的学习后才产生的知识.学习的实质就是新知识加入到原知识中去，原知识得到扩大和修改的过程.新知识不一定真的是以前未知的，但原知识却一定是已知的.”[1] “数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生之间互动的过程，是师生共同发展的过程.数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动.从建构主义的角度看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动.”[2]教师为了较好地组织和引导学生的数学学习活动，就有必要深入了解学生建构数学知识的情况，而学生建构数学知识与其数学原知识情况紧密相关.课程标准明确指出：“相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程.”[2]但在现实数学教学中，教师高度重视学生数学解题结果（如纸质作业和练习）的情况，对数学学习过程关注不够.仅凭结果，我们难以全面了解学生的数学原知识情况，也就难以深入了解学生的数学学习情况.因此，从学习过程角度了解学生的原知识情况值得研究. 本文拟从一个教学案例着手，利用案例研究法，基于元认知理论和知识分类理论视角，探究学生原知识. 二、理论基础 1.元认知理论概述[3] 1976年，弗拉维尔（Flavell，John H.）提出了“元认知”这个术语.他指出，元认知通常被广泛地定义为任何以认知过程与结果为对象的知识，或是任何调节认知过程的认知活动.元认知的核心意义是对认知的认知.即元认知是认知主体对自我心理状态、能力、任务目标、认知策略等方面的认识，同时，元认知又是认知主体对自身各种认知活动的计划、监控和调节.元认知的关键概念是元认知知识和元认知体验.认知主体对各种认知活动的监控正是通过元认知知识、元认知体验、目标（或任务）和行动（或策略）这四个方面的相互作用来实现的. 元认知成分包括元认知知识、元认知体验和元认知监控.元认知知识是人们具有的关于认知活动的一般性认识，是通过经验积累起来的关于认知的陈述性知识和程序性知识.元认知知识分为三部分：（1）关于认知个体的知识，指个体具有的有关自己和他人作为认知加工者的所有知识，包括个体内差异的认识；（2）关于认知任务的知识，即对在完成认知任务或目标中所涉及的各种有关信息的认识；（3）关于认知策略的知识，即对认知过程中关于各种有关策略知识的认识.元认知体验是人们在从事认知活动时产生的认知和情感体验.元认知监控指个体在进行认知活动的全过程中，对自我认知活动进行积极、自觉的监视、控制和调节.元认知监控就是自我监控，必须建立在个体具备一定的元认知知识和元认知体验的基础上才能进行. 2.知识的分类 从知识的表征角度看，“数学知识可分为陈述性知识、程序性知识和过程性知识三类.陈述性知识是关于事实的知识，是人所知道的有关事物状况的知识.程序性知识是关于人怎样做事的知识，即由完成一件事所规定的程序、步骤及策略等组成的知识.程序性知识可分为智慧技能和认知策略两个亚类.过程性知识是伴随数学活动过程的体验性知识.体验分四个阶段：（1）对知识产生的体验；（2）对知识发展的体验；（3）对知识结果的体验；（4）对知识应用的体验.过程性知识是一种内隐的、动态的知识.首先过程性知识没有明确地呈现在教学材料中，而是隐性地依附于学习材料，在学习的过程中潜在性地融会贯通.其次过程性知识始终伴随着知识的发生和发展过程，学习者只能在学习的过程中去体验，体现出过程性知识的动态性”.[2] 知识按外在化程度分为两类[4]：一类是明确知识（也叫明显知识），它是显现的，主要是关于客观世界的事实与原理的表达，解释现实世界是什么、为什么的问题，它可存于书本之中，可进行编码储存和传递，能在实践中加以运用和批判性反思，具有逻辑性、共享性和批判性等特征；另一类知识为默会知识（也叫缄默知识），它是人们头脑中潜在的，主要是关于人们对客观现实世界的知识与原理的理解、获得过程的表述，以及对知识与技能的领悟过程的描绘. 三、案例描述与分析 常见的了解学生数学原知识情况的方式有课堂提问、请学生到黑板板书解答、批改作业、小测验等，这些都较多侧重于数学学习结果，关注学生的显性知识较多，忽略了学生的默会知识，较少关注这些结果得来的具体过程.笔者在一次校级数学公开课上作了一次尝试，感触颇深. 1.案例描述 在高三第一轮复习的《圆锥曲线》单元复习中，笔者通过练习卷让学生在课前完成以下习题的解答. 已知点P到两个定点A（1，0），B（-1，0）的距离之比为
.（1）求点P的轨迹C的方程.（2）是否存在过点A（1，0）的直线l交轨迹C于M，N两点，使
=
（O为坐标原点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 这是一道很常见的圆锥曲线习题.讲评之前笔者以为学生能很好地完成该习题，就特意先让个别学生到讲台上利用实物投影仪展示自己的解答，并简要说明解答过程，然后笔者再进行讲评. 第一个上台展示的学生Z能准确根据“P点到两个定点A（1，0），B（-1，0）的距离之比为
”，在设好P（x，y）之后，利用两点间的距离公式建立关于x，y的等式，从而得出第（1）问的解答.对于第（2）问，该学生能画出草图并口头分析题目，依题目已知条件建立直线l的方程，并将l的方程和轨迹C的方程联立成方程组，经消去y后得到关于x的一元二次方程.该生利用韦达定理得出
+
，
+
的含k的表达式，但无法结合
=
得出最后解答.该生在讲台上“说”得很顺畅，很自信，表明她课前是认真解答过的，但就是得不到最后结果.
在学生L“说”完时，另一学生K提出：“我有不同的方法去表示那个面积.”老师请学生K上讲台展示他的想法.
在三个学生都介绍完之后，笔者问学生有无其他做法.然后，笔者及时表扬了三个学生：一是他们的口头语言表达很清晰，有条理，基本能将自己所写的解答解释清楚；二是姿态比较大方；三是能积极主动提出自己的不同解答，供全班同学参考，勇气可嘉.接着笔者要求全体学生分别用第二、第三个同学的做法写出详细解答.最后笔者介绍利用O到MN的距离表示面积
的解法. 其实，笔者在备课时所做的解答就是以MN为底，以O到MN的距离为高去表示
，本以为学生喜欢用S=
ah，谁知没有一个学生主动提出该做法.经过随堂检查，笔者发现相当多学生像学生Z那样，写了一些解答过程，但无法得出最后结果.看了学生L和K的展示之后，多数学生能顺利求出最后解答，也能用笔者介绍的解法写出解答过程.这道题的讲评前后用了近30分钟. 综合上述，这道题共有3个学生先后上台展示了自己的解答并口头介绍解答过程.3个学生的展示具有明显差异，第（2）问的解答情况不同.第二、第三个学生的解法不同，主要是解题的思路切入点各异.三个学生都熟悉圆锥曲线问题中常用的“设而不求”的思想，但是由于计算量大，第一个学生无法顺利得出解答.第二个学生的展示充分体现了该生的数学直觉，能猜测到需用S=
absinC，然后进一步从题目条件出发，寻找数据代入公式，最后顺利得出解答，证明了自己的猜测是完全正确的.第三个学生具有较强的观察能力，把△MON的面积分成同底的两个三角形的面积之和，很快得到解答. 2.案例分析 （1）教师要创设机会让学生展示原知识 学生的数学原知识包含陈述性知识、程序性知识和过程性知识.传统的讲评习题的方式是教师引导学生分析题目条件，然后教师逐步写出解题思路（步骤），有些教学经验丰富的老师很重视习题变式，学生在老师的引导下解决问题.进入新课程改革以来，随着教学设备的完善，不少老师开始重视利用实物投影仪将学生的原始解答投影出来，然后进行分析，或者直接点评.这些方式都有合理的地方：前者课堂知识容量大，课堂“教”的效率高（但不一定学生的学习效率高）；后者重视学生的学习结果，重视陈述性知识和程序性知识，但对过程性知识重视不够.上述案例中的学生有机会上讲台，利用实物投影仪投影自己的解答并现场介绍自己解答该问题的思路、过程、解题后的感受等，或者说学生有机会展示自己对数学问题的“所思”、“所写”和“所得”等.学生L正是有机会“说”，我们才知道“从
=
我直接猜测，此题解答要用到S=
absinC这公式”.如此的展示能让教师十分清楚地了解到这些学生的原知识情况：三个学生的元认知知识存在差异.第二、第三个学生的元认知水平显然很好，一个对“数”的直觉性强，另一个对“形”的观察比较敏锐.教师在这些学生的充分展示之后马上对这些解答进行评价，接着再对这些解答进行总结、分析.笔者以为，如此讲评数学问题的方式，创设了平台让学生展示自己的原知识情况，能让老师更清楚地了解到“说者”的原知识情况（尤其是过程性知识和程序性知识）和新知识学习的情况，让老师了解到学生是如何建构这些数学知识的，比教师直接讲评的效果要好.教师只是拿着学生的解答结果去讲评是不够的. （2）教师要及时评价学生的原知识 学生上讲台介绍自己的数学问题解答结果难免存在诸多不足：首先，学生在讲台上的口头语言不一定很顺畅；其次，学生的书面解答结果不一定就很准确，甚至完全错误也有可能；再次，学生的书面解答完全正确，但是该生无法用口头语言顺畅表达自己的思路、解答过程和解题之后的感受也很正常.所以，教师应重视对上讲台“说”的学生的及时激励性、启发性评价.课程标准明确指出，应将评价贯穿数学学习的全过程，既要发挥评价的甄别与选拔功能，更要突出评价的激励与发展功能.案例中的学生Z上讲台将自己的解题挫折如实呈现给全班同学知道，很诚恳，很勇敢，没有逃避.我们应及时表扬她敢于正视错误（或不足）的勇气，感谢她将得出如此“错误”的过程展示出来（这就是该生的原知识情况），及时纠正她的“原知识”中的不正确成分.学生需要老师不断鼓励、启发诱导才能逐步找到数学学习的成功感.只有这样，我们才能更好地增强学生的元认知体验. （3）教师需重视默会知识的教学 明确知识和默会知识之间联系紧密.默会知识要求教学内容不仅包括书本知识（主要是明确知识），也应包括学生的个体经验和情感体验[4].学生的原知识包含了明确知识和默会知识.在传统教学中，教师重视对学生的书面解答的评价.学生的书面解答所反映的多是明确知识，几乎没有默会知识，但默会知识也是数学知识的重要方面.学生的数学知识的提高不仅是明确知识的提高，还要默会知识也提高[5].为了更好地了解学生的原有默会知识情况和提高学生的默会知识水平，教师搭建平台，让学生学会“说”很有必要. 如此的习题讲评与传统的做法明显不同.一道习题的讲评由于重视学生的“说”，包括习题的具体解答，解决问题的思路、关键点和所用到的知识，充分调动了学生“说”的积极性，从而“花”了不少课堂时间，前后至少15分钟.表面上看，它延误了正常的教学进程，但让学生“说数学”，老师能更好地了解到学生的默会知识情况，也让学生们在老师的引导下了解“说者”的原知识情况，包括思考数学问题的方式以及自主思考、分析数学问题的思路，其他学生听讲台上学生的“说”的同时很自然地会与自身所思（默会知识）情况进行类比.另外，学生要将自己的“默会知识”表达出来并不容易.从这个角度看，教师搭建平台给学生去“说”，必然有利于“说者”的默会知识水平的提高.
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