论小学数学中分数的多层级理解及其教学，本文主要内容关键词为：多层论文,小学数学论文,分数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
分数一词最初来源于拉丁文“fangere”，是分开的意思，通常用来叙述一个被分开的全体的各个部分.就数学而言，分数是因几何学的测量以及自然数中的数学运算而生.[1]在小学数学中，分数常常被认为是最复杂的数.分数是小学数学课程的重要内容之一，理解分数的意义和性质是小学生数概念发展的重要里程碑.有研究者认为，分数是一些小学生在数学学习中表现出真正困难的实际起点，并由此在小学生的数学学习中出现了两极分化.[2]因此，研究者从不同的角度出发对分数进行了研究，比如对分数运算（除法）的研究，[3]对分数的数量表征的研究，[4][5]对学生分数概念发展的研究，[1][6]等等.近20年以来，研究者们对分数学习的研究主要关注分数基本概念的理解.[7]在目前的研究中，有着眼于分数的定义的，[8]有从教学与数学两个层面来探讨分数本质的，[2]还有从对分数本质的理解看数学教师的专业素养的.[9]不论从哪个角度展开研究，最终都要回到对分数意义的理解这一基本问题上.因此，就小学分数的理解与教学而言，首先应探讨其意义. 一、分数的不同意义 对分数的意义分析表明，一个分数可以表征很多种相关但不同的意义，而掌握分数概念的重要标志是理解分数所表征的这些相关但不同的意义.[10]一般而言，在学校教育中，小学生先学习整数，再学习分数.因此，小学生的分数学习多少会受到整数学习的影响.有西方研究者认为，由于儿童原有整数知识的牢固性，用旧有知识中的图式去解决新知识的问题，使得分数概念不容易被接受，因此会出现对分数概念理解错误的现象.他们认为分数有三个不同层次的意义.首先，分数可表征为两个互相独立的自然数；其次，分数是一种“部分一整体”的关系；最后，分数为两个相关的数，或者说分数是两个整数的比.[6]而且，就儿童学习而言，这三个层次是由低到高递进的，在第一个层次中，对分数的认识还停留在整数认识的阶段，未能关注彼此之间的关系；第二个层次强调了部分与整体的关系，但在这一层面的意义中，在解释大于1的分数时存在困难；第三个层次则可以理解分数均可表示为任意两个整数的比.由于文化与语言等方面的差异，国内学者对小学分数的意义有不同的认识，如张奠宙认为应该从“份数”“比”“商”及“公理化”这四个不同层次来定义分数.[8]已有研究一般认为我国小学生在分数的学习上普遍要比欧美国家好.[3]但这是否意味着我国小学生对分数意义的理解也会更全面呢？调查表明，在学习完分数后，整个小学阶段（3—6年级），有94.83%的学生能理解表示“份数”的分数定义，却只有不到10%的学生能理解分数也有“比”的意义，对于分数其他意义的理解也不容乐观.[8]这说明，就分数教学而言，我们在对分数不同意义的理解上的强调是有所欠缺的. 因此，在分数教学中应当对分数不同意义都有所重视.张奠宙认为，“分数的份数定义可以作为起点，但是，不宜过分强调，应该迅速向更抽象的分数定义转移”.[8]虽然在小学数学教学中，现实情境与抽象定义之间的关系有待进一步讨论，但需要对分数不同意义有比较准确的把握是至关重要的.Kieren强调了分数的五种不同意义的理解，分别是部分与整体的关系、商、测量、运算以及比.[11]从心理学角度来说，这五种对分数不同意义的理解是符合小学生认知发展规律的.根据皮亚杰对儿童认知发展阶段的划分，小学生主要处于具体运演阶段（六七岁至十一二岁），其基本特点是开始进行心理运算，能在头脑中依靠动作的格式对事物的关系系统进行逆反、互反、传递等可逆运算.具体运演阶段的儿童，虽然在推理、问题解决和逻辑方面已经超过了前运演阶段的儿童，但其思维还具有局限性，抽象的语言推理还不能进行，离不开具体事物的支持.[12]根据教材的安排，小学生在三年级上册首次接触分数的概念，此时正处于由前运演阶段过渡到具体运演阶段.因此，认识的出发点必须是对实物的操作.而在前面学习的平均分基础上，加入整体的概念，让学生理解，与整体相比较部分也可以是一个数，这就是分数，这样的引入是符合小学生认知特点的.随着年龄的增长，到五年级下册再次学习分数的意义与性质时，小学生已逐渐进入到具体运演阶段的中后期，已经可以用更丰富的方式如语言与图像来认识更加抽象的概念.美国学者莱许等指出：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表述方式，如图像、书面语言、符号语言、现实情境等，同样也发挥了十分重要的作用.”[2]因此，为了让学生能更深入地理解分数这一数学概念，还需要在教学中从其他角度对分数意义进行阐释.分数的“商”的意义侧重的是语言描述，“测量”更加关注的是图像的意义，而“运算”与“比”则是从纯数学角度对分数的认识.因此需要到六年级，即具体运演阶段的后期，学生才有可能较深入地理解.此外，由于小学生并未进入形式运演阶段，还不能在头脑中很好地将形式和内容分开，不能进行较抽象的逻辑推理.因此，总体而言，小学阶段的分数学习，应该以结合学生的心理年龄特征，从多个方面帮助他们加强对分数不同意义的理解为主. 事实上，就小学阶段的分数教学而言，分数本身究竟有多少种不同的意义固然重要，但更重要的是，应当思考何种意义更加适合哪一阶段学生的学习，并在此基础上对教材编写与课堂教学提出一些有针对性的策略与建议. 二、课程标准与教材中的内容与要求 《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）对分数这一内容的要求最早出现在第一学段，在“数的认识”中，第五条为“能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数”，第六条为“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小”.而在“数的运算”第五条中有“会进行同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算”.这里的具体情境就是指把某一整体平均分成几份，而由于强调分数的比较大小与加减都是同分母的，所以只是平均分之后所取份数的多少或加减的问题.因此，课标第一学段对分数内容的要求完全是“‘部分—整体’关系”的意义.另外值得注意的是，虽然课标中小数在分数前面，但是在教材与现实教学中，分数都是安排在小数前面的.而到了第二学段，“数的认识”的第七条为“结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义；会进行小数、分数和百分数的转化”，这里要求理解分数的意义，但并没有明确指出需要理解分数的何种意义，因此就要求教材编写与教学时进行进一步的思考.第八条为“能比较小数的大小和分数的大小”，虽然没有说明要在理解分数意义的基础上，这里不再有结合具体情境这一说法，这就要求能够实现从现实情境过渡到数学的意义上来理解分数.在“数的运算”中第五条“能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算”，第六条为“能解决小数、分数和百分数的简单实际问题”，都没有涉及分数意义的理解，给教材编写与课堂教学实践留下了可供讨论的空间. 在人教版小学数学教科书中，分数的学习最早出现在三年级上册，通过将一个月饼平均分成2份与4份后取其中一份，引出分数的描述式概念“像
，
这样的数叫作分数”.显然，这体现了分数“‘部分一整体’关系”的意义，或者说采用的是“份数的定义”.而且，在“分数的初步认识”之前，小学生已经学习了“平均分”，虽然没有出现分数，但“平均分成几份”为后面“份数”意义上的分数学习奠定了一定基础.在分数的初步认识以后，直到五年级下册，才再出现分数的内容.显然，在这期间，学生对分数的理解都是“‘部分一整体’关系”的意义.在五年级下册“分数的意义和性质”中，在结合实际情境再一次强调了分数的份数定义后，明确提出了单位1的概念，接着过渡到“分数与除法”，这事实上是分数的“商”的意义，而且教材中也出现了a÷b=
这样明确的分数与除法的关系.在“真分数与假分数”这一节中，要求在数字线上标出相应的分数，这里采用的是分数的“测量”意义，强调不同分数在数字线上的位置以及与0点的距离.而在后面“分数的基本性质”“约分”“通分”这些内容中，强调的则是分数的“比”意义，也为后面的分数运算奠定了基础.应该说，在教科书中，体现了分数的“份数”“商”“测量”以及“比”的不同意义，这样的安排体现了分数意义的本质.只是在出现了“份数”的初步认识后，再到后面对分数不同意义的理解，中间间隔的时间较长，如果在教学中没有能够很好处理，可能会让学生对“份数”意义根深蒂固，不利于对以后出现的分数其他意义的理解.在2014年版人教版教科书中已经作出了一些有针对性的调整，首先在“分数的初步认识”与“分数的简单计算”后增加了“分数的简单应用”，其中有题目如“有12名学生，其中
是女生，
是男生.男女生各有多少人？”这一题目的解答可以采用“‘部分一整体’关系”的意义，将12个学生看成整体，但同时也为分数其他意义的阐释提供了素材与空间.六年级上册的“分数的乘法”与“分数的除法”通常需要解决将一个数（整数或分数）放大或缩小几分之几的问题.这里采用的是分数的“运算”意义，而在六年级下册的“比例”这一部分内容则明确关注了比与分数的关系与区别.在新版教材中将“比”这一部分内容前移到分数的乘法与除法之后，更加强调了比与分数之间的联系与区别. 因此，课标中虽没有明确指出分数的不同意义，但为教材的编写与课堂教学留下了空间，而教材中已明确涉及分数的不同意义，这种编排基本符合小学生的认知特点.但课标的理念与教材的编写只是为教师的教学提供了参考，对于分数不同意义的强调，最终需要体现在教师的课堂教学中. 三、基于分数不同意义的教学 由于分数有多个不同层面的意义，即部分与整体的关系（份数）、商、测量、运算以及比，这也就促使我们在教学中需要让学生理解这些不同意义.与之相应，我们的教学设计也应当是多向而不仅仅是“分实物—言语表述”这一单一走向，即应从这五种不同层级的理解来相应地展开教学. （一）份数 小学生在刚接触分数概念时，一般都采用份数的定义，这里需要强调两个概念，一是整体，二是平均分.虽然现行的人教版教材采用的是描述性定义而非概念性定义，但教师一般会在教学中强调“把一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数”.分数的“份数”定义为分数的引入提供了重要的现实背景.对于三年级的小学生而言，分数是一种全新的数.与自然数在现实世界中可以直接找到对应的数量不同，分数的产生需要有一个前提，即对整体进行平均分.因此，“份数”的定义与平均分这一实际操作有直接的联系，可以帮助学生更形象地认识并理解分数这一抽象的新数.但在教学中，对于分数的“份数”定义不能仅局限于整体与平均分上，还应该加强学生对部分与整体的关系的认识；只有认识到这是一种“关系”，才能认识分数的“份数”定义的本质，也才使得对分数大小的比较成为可能.譬如说，如果将3个苹果作为整体，那么
实际上应该表示的是1个苹果，而不是
个苹果.之所以在这里1个苹果是
，是因为需要考虑1个苹果与作为整体的3个苹果之间的关系.进一步地，如果将6个苹果作为整体，那么2个苹果就是
.上述两种情况的
在数值上显然是相等的，但分别指代的是1个苹果与2个苹果；只有分别考虑1个苹果与3个苹果，以及2个苹果与6个苹果的关系时，才会有这种相等.学生只有在理解了分数表示的是部分与整体的关系，而非考虑部分本身的大小时，才有可能真正理解上述情境中1个苹果与2个苹果为何都能表示成
.分数的份数定义由于能够简便地给学生提供具体的分实物的操作，所以经常被作为分数引入时所用的定义. 事实上，分数的真正来源在于自然数除法的扩张.在前面分数的份数定义中，利用现实情境与实际操作的方法，有利于学生直观理解可以对一个物品进行分割.但分数还需要有纯数学上的定义，就是指两个整数相除的商.比如说，将2个物品平均分给3个人，小学生都知道解决这个问题需要用除法，但2÷3的结果是整数不能表示的.还是以
为例，可以简单地理解为2除以3.如果学生停留在对分数的份数定义的理解上，那么在解决这一问题时的思路可能是这样的，他们需要首先将这一问题具体化为将2个月饼平均分给3个人.那么先将第1个月饼平均分成3份，每个人可以分得
个月饼，再把第2个月饼平均分成三份，每人能再得到
个月饼，这样一共可以分得
个月饼.如果分子分母都出现更加复杂的数字时，这样的理解显然不利于问题的解决.而且，同样的一个分数，可以表示意义完全不同的实际意义.譬如，一个月饼的一半可以表示成
，而一个房间的一半同样也可表示成
.但如果学生遇到分数，脑子里首先显现的都是“将一个月饼平均分成几份”这样的理解，那么让他们理解一个月饼的一半与一个房间的一半在表示成分数时是一样的会非常困难.而且，分数的重要价值还在于能将一些原来不可比较或者难以比较的情况变成容易比较的情况.譬如，由于社会文化背景的巨大差异，不同国家人们的生活质量与经济状况难以比较，但如果通过建立各种指标与模型，转换成GDP或者恩格尔系数，就可以比较了.在这种意义下，显然需要淡化分数的具体情境意义，理解分数作为一种脱离实际情境仍可比较的数.因此，在小学分数教学中，在通过“‘部分一整体’关系”引入分数的意义后，教师还需要在恰当的时候帮助学生在脱离实际情境的情况下进一步理解分数的意义.而小学数学教材中在三年级上册出现了分数的初步认识后，直到五年级下册才重新认识分数的意义与运算，在这长达两年多的时间里，教师应尝试让学生理解除份数以外的可以表示成“商”的分数意义，这也是从实物操作到语言描述的过渡. （三）测量 这是在实物操作与语言描述之外的另一种分数意义，即用图像表示.仍以
为例，它是指“在数字线上，表示到0点的距离有2个
单位的数”.在这种意义上，可供学生操作的情境或活动有“在数字线上标出
”“在
与
这两个分数之间找到一个分数”等.由于分数是学生需要认识的最早的不能依赖数数算法的数字系统，这对学生理解分数造成了一定的困难.譬如，有这样一个例子，[7]有一条长度为2的数字线，其中标示出了0、1、2这三个数字，要求学生在上面标出数字
所在的位置.多数学生在整条数字线长度（即2）的
处标出.而在另一个题目中，数字线上标出了
与1的位置，请在上面标出
的位置.多数学生在0与
之间的“某一处”标出了
，但是，并不能找到比较准确的位置.而当研究者给学生出示另一个类似的整数的数字线任务，在数字线上标出了0与100，要求学生在上面标出50.学生在回答这一问题时基本上没有问题，能够准确标出50并能作出准确的解释，认为50是100的一半，因此位置应该在0到100的中间.在此基础上，再给出另外一条数字线，上面标出了0与30，并在30后面有延长的箭头，要求学生在这条数字线上标出10与40.学生也能比较顺利地找到10和40，有些学生能直接找到10的位置，也有学生先在一半的位置标出15，再在旁边较准确地找到了10.由此可以看出，小学生对于在数字线上不同的整数离0点的距离有比较准确的把握，但是在面临分数时遇到了困难.这说明，学生对分数“测量”意义的理解的难度主要在于理解整数与分数的关系以及从整数到分数的过渡.因此，在教学中，我们可以在学生理解了分数的“‘部分一整体’关系”意义基础上，利用整数帮助学生理解分数.譬如，可以先让学生在一条标示有0、100、200的数字线上找到50，让学生理解50是100的
.然后可以有更难的任务，比如在0到100之间作出五等分点，让学生分别标出每个分点的整数值，通过这样的任务帮助学生体验不同整数到0点的距离取决于它们之间的大小关系.进而让学生完成上述问题，学生就更易于在标示
时以图中的1为参照物，而不是整条线段的长度.而在完成上例的第二个问题时，则更容易理解
的位置应该在0与
的中间，而不是之间的随便一个位置. （四）运算 分数的“运算”意义通常与分数的乘法与除法相关.与份数定义中强调的是部分与整体的关系不同，在运算意义中，强调的往往是两个不同的事物之间关系或者同一事物的放缩变化.如“女生的数量是男生的
，若女生有6名，问有多少名男生”这一题目中，需要关注的便是男生与女生之间的人数的关系.而如“某工厂预计今年的产值为100万元，比去年增产
，问去年的产值为多少万元”，这一问题体现的则是同一事物的放缩变化关系.由于分数的“运算”意义所涉及的问题需要有不同事物之间的关系或者同一事物的数量关系的放缩，所以相比而言，要比强调实物意义的份数定义、强调语言意义的商的定义以及强调图形意义的测量的定义都要复杂一些，需要在学生较好地理解了上述三种意义后，再引导学生来理解分数这一“运算”意义. 就数学而言，根据分数的份数定义，分数表面上是“一份或几份”，其实，表示的是部分和整体之比.“比”的定义是将它扩展，分数乃是“一部分和另一部分之比”，另一部分可以是整体，也可以是部分，把一部分当作新的整体.分数的另一个人们比较熟悉的定义是“分数是两个整数的比值”，但小学数学课程的安排是先学分数，再学比.所以学生在开始学习分数时，不可能采用比的意义.但调查表明，即使对于已经学习了比的六年级学生而言，能够看到
（即黑色与白色部分之比为1:3）的也只有三人.[8]与自然数只有唯一的表示方法不同，分数可以有不同的表示方法（如
）.事实上，分数之所以可以有不同的表示方法，正是因为分数具有“比”的意义，这也是分数能得以进行各种运算的基本前提，这也就是我们的教科书中的“分数的基本性质”，而在有些教科书（如台湾康轩版）中则直接采用“等值分数”的说法.不论采用何种说法，学生的等值分数的概念的形成是不容易的.学生首先必须能理解分数所代表的特定意义，这是他们能理解等值分数概念与意义的前提.学生只有真正理解了分数作为“比”的意义，才有可能理解分数的“等值”这一“基本性质”，也才有可能真正理解“分数是一种与自然数不同的新的数”，更才有可能逐步熟悉并掌握分数的运算.事实上，学生理解“比”意义上的分数是最不容易的，因为分数与比在数值上可以看作相等，但在实际意义上是有差别的，有时在运算上也会有所区别.譬如，足球比赛主客场的比分分别为1:2与1:3，那么两场比赛相加的结果应该是2:5，而不是按照分数相加所得的
.所以，在小学数学教学中，在讲比和比例的时候，应该补充“分数的再认识”.因为这样的逆向迁移对更深入地理解分数并能灵活运用很有好处.[8] 分数之所以成为学生学习的“难点”，其原因各不相同：分数在日常生活中应用较少，不如自然数那么容易描述；分数的书写格式比较复杂；分数在数字线上不容易排列大小；分数的算法有很多法则，这些法则比自然数的要复杂；等等.但归根结底，学生分数学习的困难主要是由于对分数意义没有理解或者理解得不全面.有研究指出，我国学生对于分数运算能够熟练计算，可是对于“运算”的理解，却还是存在一定的缺陷.学生在学习过程中，学到的多是操作性的活动，而不是深刻的理解.[13]在这种分数教学的模式下，学生往往擅长分数的计算，却并不能真正理解分数的不同意义，如将分数在数轴上进行直观表示对很多学生而言就存在困难.具体而言，对分数的真正理解需要包含上述五个不同层级，在教学中也应结合学生的心理特征，体现出这些不同层次.譬如，在三年级学生刚接触分数这一与整数不同的概念时，可以充分利用“份数”的概念，帮助学生理解部分与整体的关系；然后逐步摆脱实物的份数关系，让学生理解分数其实就是两个整数的“商”；继而，在实物与语言描述之外，还可以利用图像的表征方式让学生理解“测量”意义层面的分数；更进一步地，需要帮助学生在更为复杂情境中来理解分数可以表示同一事物内部或不同事物之间的“放缩”关系；最后，将分数与比联系起来，才能最终理解分数与整数不同的性质，理解并掌握分数的各种运算.总之，在小学分数教学中，应注意帮助学生从以上多个不同层级去理解，并努力实现这些方面的必要互补与适当整合，只有在多种意义的理解上的教学才可能帮助学生真正理解分数的本质，也才可能真正掌握分数各种复杂的运算.[2] 事实上，分数学习不仅直接涉及各种具体数学知识，而且与数学思维与数学思想的发展有着密切联系，因此，对分数不同层级意义的理解也应是数学素养的重要构成.相应地，教师的教学也应立足于帮助学生发展对分数不同层级意义的理解.
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