清末黄宗宪的《容圆七术》初探，本文主要内容关键词为：清末论文,宗宪论文,容圆七术论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号 N092:/O112
文献标识码 A
文章编号 1000-0224(2004)03-0251-06
1 概述
《容圆七术》一书是清末数学家黄宗宪晚年的一部数学著作，是其著作集《古琴古砚斋算稿》中的一种，由梅城知足堂刊行于光绪二十二年（1896年）[1]。黄宗宪，字玉屏，湖南新化人，出生年代大约是19世纪40年代，同治十年（1871年）拜长沙丁取忠（1810-1877年）为师，从事数学研究[2]。在此期间，黄宗宪常与湘阴左潜（？-1874年）、湘乡曾纪鸿（1848-1877年）等人共同研讨数学问题，为《白芙堂算学丛书二十一种》的出版做了大量的校订工作，成为清末长沙以丁取忠为首的数学研究团体的重要成员之一[3]。光绪二年（1876年），黄宗宪随郭嵩焘一行出使英国，任供事，后又赴法国、西班牙等地，直到光绪八年春才回国[1,4]。黄宗宪的数学著作还有《求一术通解》、《曲面容方》、《悯笑不计》等[5]。
黄宗宪在《容圆七术》的序中说道：“山居日暇，检旧稿，有关制造测绘之用而为古法所未备者，摘录聚类而编之，颜曰容圆七术。”[6]从这段话中可以看到这样几层意思：其一，该书的主要内容在他作序时（1895年秋）之前很久就已经成稿；其二，他编写该书的主要目的在于应用；其三，他认为，书中应用于测绘方面的数学知识是前所未有的。
2 对《容圆七术》的分析及成果介绍
《容圆七术》分上、中、下三卷，上卷即给出了解决容圆问题的七术，共20道题。容圆问题是中国古代数学研究的古老课题之一，在这方面最具有代表性的著作是宋元著名数学家李冶（1192-1279年）的《测圆海镜》，该书给出170个问题，全都是围绕已知直角三角形求其内切圆、旁切圆及与之有关的线段而展开的[5]。《容圆七术》上卷在容圆问题上作了几步创造性的推广，即从直线三角形容圆到弧线三角形容圆的推广，从容一个圆到容多个圆的推广，从圆弧三角形容圆再到圆锥曲线弧三角形容圆的推广。《容圆七术》中卷又作了从相交的弧三角形容圆到相切、相离的弧三角形容圆的推广。
2.1 《容圆七术》上卷内容及成果
解决容圆问题的关键是根据已知条件求出所容圆的半径，《容圆七术》的上、中卷主要是采用代数方法求解，即每个问题都给出了以所求半径为未知数的代数方程，然后在细草中给出详细的推导过程。当然，上卷的第一术是个例外，因为它不仅给出了代数方程和推导过程，而且给出了几何解法，“以显数理之通”。下面就以第一术为例介绍其解法：
“设如勾股容圆，有勾股及圆径各数，欲于三角各容递小诸圆，其术如何？术曰：以圆半径减股为小股，圆半径为小勾，求得小弦，以比例入之：
一率：圆半径加小弦（即图1中AF），
图1 三角容递小诸圆图
二率：圆半径减小弦（即图1中AG），
三率：圆半径（即图1中OD），
四率：递容圆半径（即图1中
）。”
用现代数学符号来表示，即：
已知直角三角形的直角边AC及内切圆半径OD，求另一内切圆半径.
解：由勾股定理得
尽管西方数学早已传入中国，但是，黄宗宪在他的数学著作中仍然坚持使用中国传统数学的模式，即只给出算法程序，不叙述推导过程。当然，上述第一个等式成立是显而易见的，第二个等式的成立理由如下：
以上是黄宗宪给出的几何解法，下面介绍他的代数解法。
首先需要说明一点：《容圆七术》的所有代数解法中，未知数均以“天、地、人、物”等汉字表示，线段均以“甲、乙、丙、丁”等10个天干表示，图形上的点则以“子、丑、寅、卯”等12地支表示。本文对其代数解法的介绍，是用现代数学语言对其内容的一个直译：
本文之后附有两个命题，以示推广：
“一系：如再欲递求者，以子酉（即AG）为一率，子壬（即AK）为二率，现求得圆半径（即）为三率，所得四率又为递容之圆半径。”
“二系：无论锐、钝三角形容圆，有三边及圆径各数，又欲递容者，以三较各为其股，圆半径为勾，仿此求之。”
设任意三角形的3条边分别为a、b、c，则以三较
分别为股，r为勾，求出各角顶点至圆心O的距离，即小弦s，尔后即可利用上述公式求解递容圆的半径。
上卷第七术是圆锥曲线容圆的例子，黄宗宪根据椭圆、抛物线及双曲线3种不同情况给出了3种解法。本文在此选其中之一予以介绍（为介绍方便和节省篇幅，以下均采用直译而不引解法原文）：
“设如抛物线面一段，有通径、截径各数，欲于曲面内容一平圆，令一点切截径端之丙点（即C点），二点切抛物线。其术如何？”
解：设抛物线截径GC=a，抛物线方程是
=2px，通径即指2p；
图2 抛物线容圆图
由《圆锥曲线说》“抛物线”第五款及《代微积拾级》五卷二款中“解说”第一则可得HG=GD，又由《代微积拾级》五卷三款之系得DO=p，于是
开方式，“所得方根以减截径，余即为所求容平圆之半径。”由所得一元二次方程求得x，则内切圆半径OA=a-x.
2.2 《容圆七术》中卷说明
《容圆七术》中卷所列的9个容圆问题，包括了组成弧线三角形的弧线相交时的各种不同情况。在每个问题的解法中，黄宗宪只给出了求解公式或代数方程，并说明这些公式或方程的推导可参照上卷的方法相应地给出，本文不在这里做详细的介绍。“此外，尚有离点［如弧线与直线不相交亦不相切而有相距之数］所成开口角形内亦能容圆，亦可仿七术中理类推之。”
2.3 《容圆七术》下卷内容和成果
《容圆七术》下卷称为“规绘捷法”，除了根据《代微积拾级》给出的3种圆锥曲线作图法之外，还有6个几何命题是黄宗宪本人的研究成果，这6个命题都是为了避免采用繁复的代数方法而仅用纯粹的几何作图法解决弧三角形容圆问题所设的。前面说过，解决容圆问题的关键是求出所容圆之半径，当然，这是针对代数法而言的；对于作图法来说，它的关键是确定所容圆之圆心的位置，因此，用作图法解决容圆问题，首先要考察所容圆之圆心的活动规律，这就是黄宗宪考虑该问题的出发点，即考虑与形成弧三角形一个角的两条弧线（或一弧线一直线等）同时相切的圆之圆心轨迹是什么曲线。这个问题搞清楚了，那么利用轨迹相交法即可确定其圆心所处位置，从而画出所容圆的图形来。黄宗宪的研究结果告诉我们，这样的圆心轨迹是圆锥曲线。下面以其中两个命题为例来说明这一点：
其一：
“凡直线与弧线相交，其交点周围界成四不同形角，角内欲作天圆，圆心必行抛物线，相对两角同一曲率，即同一曲线。”
已知圆和直线相交，与该圆和直线同时相切的所有圆，其圆心轨迹是两条开口相反的抛物线。如图3所示，0点是这两条抛物线的公共焦点，直线CD是公共对称轴，顶点C、D分别是线段GE和EF的中点。它们的形成过程是这样的：
图3 直线与弧线夹角容圆圆心轨迹示意图
以抛物线ADB的形成过程为例。在EAF和GAH两个对角内，“天圆心必从日(D)点起，天圆渐变小，至卯(A)点为极小，过卯点复渐变大，向山(K)点而行矣。”对称轴以下的部分可类似得到。
其二：
“凡弧线与弧线相交，其交点周围界成四不同形角，角内欲作天圆，其左右相对两角，天圆心必行椭圆；上下相对两角，天圆心必行双曲线。”
如图4所示，与两个已知的相交圆同时相切的所有圆，其圆心轨迹是一个椭圆和一个双曲线的一支（另一支当两个已知圆交换位置时同法可得），两个已知圆的圆心是他们的公共焦点。
图4 弧线与弧线夹角容圆圆心轨迹示意图
这里给出的两个命题是在弧线相交的情况下得到的，对于弧线相切和相离的情况，同样可以得到与此类似的另外4个命题。根据圆锥曲线的定义容易证明，黄宗宪给出的6个命题其结论都是正确的，这些命题的成立保证了用作图法解决容圆这类应用问题的可行性。利用圆锥曲线解决容圆问题，这是黄宗宪在研究和解决实际问题的实践中独立得到的结果，从而使他在这个领域内找到了圆锥曲线的一个重要应用。
3 由《容圆七术》看黄宗宪研究数学的特点
丹麦哥本哈根大学教授皮特逊于1879年编写的《几何学作图题解法》一书，曾在23年间被译成英、法、德、意、日等国语言多次出版，可见其流行之盛况。该书讨论了各种几何作图问题，包括与点的轨迹和线的轨迹有关的问题，但是没有涉及任何与圆锥曲线轨迹有关的问题。由此可见，黄宗宪在把圆锥曲线应用于解决容圆问题方面是“独树一帜”的。
当然，黄宗宪所设的容圆问题并非首开先例，因为古希腊阿波罗尼（约公元前225年）切圆问题已包括了《容圆七术》问题除圆锥曲线以外的许多情况，但是，两者在解法上却大相径庭：阿波罗尼切圆问题“求作一个圆，使其与三个已知圆（包括圆的变种：点和直线）相切”[7]是标准的欧氏几何作图问题，它的作图工具只限于用无刻度直尺和圆规，利用反演变换求解十分有效；黄宗宪的着眼点在于应用，因此，他给出的代数法解得的是具体数据，几何法对作图工具也没有任何限制。如果只考虑实践中的数学应用，这两种方法已足够令人满意了。假如黄宗宪对已获得的结果做进一步研究的话，他可能得到更多有趣的几何结论，例如有关圆锥曲线的其他性质，然而，正是由于他过于注重数学应用的一面，使他与此失之交臂。
黄宗宪特别注重数学的应用这一观念与中国传统数学的特点是一致的，他曾与曾纪鸿等人对“迩来海内谭算诸家，穷理之功多，演数之功少，反觉不切于实用”[8]大发感叹[6,9]。在他出使西欧3国之后，越发加强了这一观念，他发现“彼邦种种学术皆以算学为根柢功夫，如航海、步天、行军、制器诸门，尤祟测算，事事讲求实学，取精用宏。窃叹：彼邦之富强，诚非可悻而致也！”[6]黄宗宪把数学应用的重要性与富民强国的意愿联系了起来，这是在当时知识分子当中“科学救国”思想的一个具体反映。
《容圆七术》成书之时正是国内东西方数学融汇时期，通过对该书主要内容的介绍，使我们可以从一个侧面了解到西方数学传入我国之后，西方数学对中国当时数学界带来的影响及其影响程度。
黄宗宪的《容圆七术》对中国传统数学既有继承又有发展，继承是有意识的，发展则是大势所趋。黄宗宪对当时“穷理之功多，演数之功少”[8]的数学家似乎感到不满，因此他坚持数学应用性这一传统，这一传统决定了该书具有几何代数化的特征，即以算为主的特征，这一特征又决定了以勾股定理为中心的传统数学的特点。在每道题的代数解法中，几乎都离不开对勾股定理的应用，而且这种应用往往还是解题的关键所在，即建立代数方程的主要依据。由此可见，要从根本上改变某些古老的传统并非易事，一个长时间的过渡时期是不可避免的；然而，当大量的西方数学传入我国之后，它对《容圆七术》的影响同样是不可避免的：该书基本上采纳的是逻辑演绎的体系，问题采用命题的形式，给出的是抽象的而不是具体的数据，命题排列由浅入深，由特殊推广到一般；在推导或证明的过程中，用到某个定理时即指明其出处，等等。在《容圆七术》中给出具体数据的惟一例子中，可以看到黄宗宪的小数点记法是：在个位数下方画一个小圆点；至于数与形之间关系的认识，黄宗宪是在用代数法和作图法分别处理了相同的容圆问题之后指出的，他说：“算可济量之穷，量能省算之捷，二者相辅而行，不容偏废。”[6]
收稿日期：2003-10-08；修回日期：2004-01-15