数学学习难点的调查分析与对策，本文主要内容关键词为：难点论文,对策论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
瑞士心理学家皮亚杰（J.Piaget）认为，儿童是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识.其中涉及两个基本过程：“同化”与“顺应”.[1]许多学者认为“顺应”过程的学习内容是学生产生学习困难的主要原因.这是因为“顺应”过程的学习内容与学生原有认知结构无关或相关度小，彼此之间属性没有本质的联系，且学习的结果需要学生认知结构在性质上的改变或重新建立.
8年级列分式方程解应用题历来是学生学习困难的地方.学生不会寻找其中的关系式，不能够正确列出方程是公认的学习难点.需要“顺应”的具体内容有哪些，为此学生的认知结构相应需要发生哪些变化，值得我们思考与分析.这不仅仅有助于我们解决学生列分式方程解应用题的学习困难问题，对其他数学学习难点的解决也具有积极的意义.
二、调查方式及内容
为摸清列分式方程解应用题学习困难的深层原因，笔者采用查阅教科书、问卷以及听课方式对以下几个内容做了调查.
（一）教科书的内容
了解分式的知识前后联系，搞清分式的基础.笔者查阅了北师大版1～9年级数学教科书关于分数应用（含百分数应用）以及分式应用内容的具体编排.包括一些名词、术语涵义是否介绍，其所隐含的数学关系式的介绍.
（二）学生理解、遗忘的程度
以问卷调查方式检测8年级学生对3～6年级教科书分数应用所涉及的名词、术语的数学意义及其数学关系式的理解与遗忘程度；检测8年级学生对教科书分式应用这一部分新出现的名词、术语的数学意义及其数学关系式的理解程度.
（三）教师教学的情况
听课观察教师怎样进行分式应用题教学，包括解例题教学以及习题课教学.
三、产生学习困难的原因分析
（一）教科书编写的原因
1.默认名词、术语所表达的数学关系式是学生已知的
分数应用出现在4～6年级，分式应用出现在8年级.
教科书在4～6年级涉及含有数学关系式的数学名词、术语有长方形、平行四边形面积，长方体、圆柱、圆锥体积；涉及含有数学关系式的生活名词、术语有路程、速度、时间、利率、利润率等.教科书都给出了相应的数学公式.对于面积、体积、行程问题作为除法的意义涉及简单的数学公式变形，如知道长方体的体积V与底面积S，求其高h.
到了8年级，教科书列举了大量抽象的、行业的专业名词、术语（如：工作量、工作效率、增长率、商场盈利、价格、打折），但并没有进行数学关系式方面解释.教科书的编者默认学生对这些行业的名词、术语是熟悉的，数学意义是理解的，所隐含的基本数学关系式是明确的，将其作为常识编在教科书中.恰恰是这些具有特定意义的专业名词、术语所表达的数学关系式是学生不甚明确的，它阻碍了学生对分式应用题中关系式的理解.
例如，增长率是一个涉及很广泛的经济、生活领域的问题.学生接触增长率最早是在小学（6年级上册）百分数应用里，教科书是通过一道练习题（6年级上册第90页）来阐释“增加了百分之几”问题来表示增长率的，其本身具有什么样的数学意义和关系式，教科书中并没有介绍过.时隔两年半后到了8年级分式应用中要求学生解题时熟练运用增长率的关系式，显然要求过高.
再如，生活中的“率”有：利率、利润率、变化率、成活率、容积率、提高率、工作效率等.这些“率”的含义是什么，本质是否相同，有什么联系与区别，教科书未进行适当的说明.如此之多的“率”出现在教科书的习题中，让学生眼花缭乱，不知所措.
2.数学题目中的生活语言与数学语言转换过多
教科书分式应用题编排过难.
4～6年级分数应用多是一步运算，8年级分式应用题难度陡然增大，跨度也明显加大，中间缺少过渡与铺垫.这里主要是题目中所隐含的基本数学关系式需要根据题意（生活语言）不断地进行各种变形，转换成数学语言，即数学表达式.这种相互转换，学生虽然在7年级一元一次方程应用中接触过，但在8年级列分式方程解应用题中却要复杂得多.学生的认知结构中尚无应对的知识、经验，造成学习困难.
我们以8年级教科书安排的一个问题为例，分析其解题时所需要的生活语言与数学语言之间的转换过程来看其难度：
某蓄水池装有进水管和排水管，若单独开放进水管，ah可将蓄水池注满；若单独开放排水管，2ah可将满池水排空.现在该蓄水池内有半池水，为了灌溉需要，同时开放进水管和排水管，那么需要多长时间可将这一蓄水池注满？
首先，涉及一个基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间，还涉及一个数学解题常识：通常工作总量设为1.学生通常不知道这一隐含的条件，这会加大问题的难度.
由于不是行程问题，学生很难类比（行程问题）联想到：池水=注水速度×注水时间，并熟练地根据题意将生活语言转换为数学语言：
，这一复杂的语言转换过程造成问题过难.
（二）学生认知经验的原因
1.知识储备不够
义务教育阶段的学生接触的社会还很浅显，对一些行业的专业名词、术语不懂，4～6年级只是浅显地接触，即使听说过一些名词也不懂其中的数学含义，理解仅限于对除法、百分数意义理解的延续（未上升到数学关系式层面的理解）；8年级只是在小学基础上重复或增加行业的专业名词、术语，教科书并未有特殊的阐释.这种知识储备不够，导致学生在列分式方程解应用题方面存在着先天不足.
例如，国庆节过后，我国十月份旅游人数比九月份回升30%.试列出算式.学生的解答如下：
这类问题司空见惯，从根本上说还是对增长率的概念不清.[2]
2.对复杂的数量及数量关系理解困难
调查表明，一些学生对列分式方程解应用题感到困难，其重要的一个原因是这类应用题中普遍包含复杂的数量及数量关系.例如，8年级教科书第97页习题如下.
某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求.商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完.在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
分析：这个题目显现处有6个数量：8万、17.6万、4元、58元、150件、两笔生意，2个数量关系：2倍、八折；又隐含着多个数量关系：第二批单价比第一批单价贵了4元、第一批单价为
（设第一批购进这种衬衫x件，后同）、第二批单价为
、第一批盈利=件数×（定价-单价）、第二批盈利=件数×（定价-单价）、两次共盈利=第一批盈利+第二批盈利.
如此众多显性的数量及数量关系使学生阅读感到困难，再加上还要分析出隐含的数量关系，如何梳理与分配这些数量以及数量关系，多数学生会感到思绪万千，在心理上产生阅读与理解困难.现实中如此难度的练习题比比皆是，也造成了学生解分式方程应用题的畏惧心理.
3.解法多样化导致列分式方程困难
列分式方程的入口多、解法多样也是学生产生学习困难的原因.例如：
从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
分析：因为是行程问题，学生头脑中马上显现的基本数学关系是：路程=速度×时间.
这个变形的转换虽然有利于学生解题的速度，但其转换并不是所有学生都能够很快做得到的，这既是本题列方程的关键，也是难点.
（2）由于基本数学关系变形多样化，加之学生的认知习惯不同，导致所列方程也多样化，又可以变化出以下两种解法.
①以路程=速度×时间为切入点，进行思考.这里隐含的数量关系为提速后比提速前多行驶50千米.
解法2：设提速前这次列车的平均速度是x千米/时，相同时间是t，依题意，得s+50=（x+v）t，或s=（x+v）t-50.化简，得vt=50.而v，t均不可知，故此思路受阻不通.学生必须转换思路，思考其他变形方法解决.
一般情况下，按照分式三个量变形的多样化，很可能多列的分式方程有两个是正确的，一个是错误的.有的正确而且解起来简单（如解法1），有的思路虽正确但解起来非常麻烦（如解法3），有的误入歧途而不得不重新思考解题思路（如解法2）.
解题思路的多样化导致列分式方程的入口很多，如果不能很快地抓住问题的实质，造成在解题思路上的不断尝试、转换，学生常常因为困惑或错误而放弃解决问题.
（三）教师教学的原因
1.自身不了解行业名词、术语
教学中教师很少对教科书中的行业名词、术语所表达的数学关系式进行系统解读，以为这是学生已知的.调查表明，教师自己对这些行业名词、术语也不甚了了，也不了解教科书是否有过解释.孤立地认为学习困难原因在于找关系式列方程，以为找对关系式就能够列出方程，故学习难点的突破口放在找关系式的分析上，其对策多是加大训练量，企图通过题量来解决学习难点.然而事与愿违，效果仍不尽如人意.
2.教学缺少针对性的铺垫和分析
由前述教科书的编写原因以及学生的认知结构原因可知，学生确实存在着学习困难.但通过听课表明，教师在教学时，一是解题前缺少针对性的教学铺垫：让学生理解行业名词、术语所表示的数学关系式；二是解题时缺少针对性的解题分析：如何找基本关系式，并根据问题的不同需求将其做不同的变形.教师并没有根据学生实际情况有针对性地教学，而是凭借自己的经验教学.这也造成了学生学习困难.
3.缺少解题方法的概括
教学中，教师不能概括各种解法方法的本质，从而也不能够高屋建瓴地认识解法之间的联系，更谈不上解题策略与方法.这样的后果是学生做100道题仍然是100道题，不会归纳与概括，不能深刻理解问题之间的共性，带来的只是盲目的解题和沉重的课业负担.
四、化解学习难点的教学对策
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律.课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索.[3]2教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教.[3]3根据这个要求，化解列分式方程解应用题学习难点的基本策略是加强所学内容与学生认知结构的紧密联系，降低学生的陌生感，使学习的“顺应”过程逐渐向“同化”过程靠拢.
（一）教科书应增补分式中行业名词、术语所表达的数学关系式
当涉及的行业名词、术语为学生所陌生时，教科书应做及时补充说明.可以参考物理、化学学科那样，将行业名词、术语所表达的基本数学关系式在原问题后面一一列出，供学生参考.
例如，在增长（或降低）率问题上注明：增长（或降低）率=增长（或降低）数与基数的比值，即
.
（二）教师及时复习与解释名词、术语所表达的数学关系式
为弥补教科书的不足，教师要重视名词、术语含义的教学，特别是做好其隐含的数学关系式的教学.对于零散的名词、术语，教师在备课过程中要有意识地搜集、整理，事先查好资料，教学时补充这些内容.在例题分析时重在其隐含的数学关系式的揭示（这也为后面的概括打下教学伏笔），帮助学生理解解决这些问题时所需要的基本数学关系式及其变形，这样有利于分散和化解学习难点.
（三）提炼与概括相同的数学模型
不同的分式方程应用题中，虽然涉及的名词、术语不同，却隐含着相同的基本数学关系式.如教科书中涉及名词、术语表达的数学关系式的有：
总工作量=工作效率×工作时间；
价钱=价格×商品数量；
利润率=利润/进价×100%；
；
上述数学关系式都可以概括地表示成相同的数学模型：a=b×c，或者根据题意变形为
.当教学进行到一定阶段，这种提炼与概括，可以让学生高屋建瓴地看清题目之间的联系，把握题目本质，化解列分式方程解应用题的困难.
（四）教给学生列分式方程的基本方法
这是从增长学生数学认知经验角度来化解学习困难的.增长列分式方程解应用题的经验，就要随时总结其基本的解题方法，将其上升到解题策略高度来认识.
一般来说，分式方程应用题中都含有a=b×c的隐含条件，而其变形则正是建立分式方程的依据.分析题意时，应该先找出这个a=b×c的隐含条件，尝试将已知数、未知数表示进去，然后根据题意及所求，找到作为等量关系的等式，最后列出分式方程，且未知数在分母中.
还需注意，所列的分式方程等号两边都是分式
的形式，要有意识地审查、核对方程两端的量（意义）是否一致，这也是学生易错的地方.一般来说，初中阶段的分式方程实际应用题都会给出几个数量关系.要细心考查每个数量关系，思考怎样设未知数才能列出方程.列分式方程后要审查、核对方程两端的量是否一致，避免出错.如：总产量=各分产量之和，速度=速度，时间=时间，总工作量=各分工作量之和，工作效率=工作效率，等等.