基于MCMC算法的时变Copula-GARCH-t模型参数估计及应用，本文主要内容关键词为：算法论文,模型论文,参数论文,MCMC论文,GARCH论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
自21世纪以来，中美两国已成为引领世界经济发展的两大重要引擎。分析两国股市在互联网泡沫、“9·11”恐怖袭击、金融海啸等重大国际事件前后的联动关系对投资组合与风险管理具有重要的现实参考价值。譬如2007年8月9日美国次贷危机爆发，仅过一年时间便诱发了金融海啸。截至2008年10月28日，全球股市遭遇重挫并破位历史最低点，堪称因次贷危机而引发全球性的“大熊市”。为应对全球金融危机，各大经济体连续召开国际峰会。2008年11月15日，二十国集团（G20）领导人携手拯救金融市场，世界经济的首次峰会在华盛顿闭幕，峰会发表宣言指出，市场原则、贸易开放和投资体系及有效监管的金融市场是确保经济发展、就业和减贫的基本因素。峰会还就应对当前世界面临的经济与金融问题的近期和长期措施达成一致计划，国际社会随后陆续推出一系列救助方案。在这些重大利好信息的刺激下，以中美股市为反弹先锋领导全球股市逐步走出衰退的阴影，正式驶向政策主导下的“牛市”快车道。时隔近两年，2010年6月27日G20首脑第四次齐聚加拿大多伦多，积极地研讨国际社会为促进世界经济平稳复苏及金融监管政策改革的重要举措，增强了世界资本市场的高度联动性和金融系统风险的相依性。因此，深刻认识金融市场之间相依性结构的复杂特征及其演变规律是实施全球化风险管理的关键之处。
如何研究这种相依性结构并度量相关投资组合的风险？投资者又如何根据政策基本面做出对先验期望的纠正？Copula-GARCH模型是近几年流行起来的被广泛用于度量组合风险的多元GARCH模型。本文考虑到资产价格的时变相关性和收益率的尖峰、厚尾等特征，提出多元时变Copula-GARCH-t模型，给出模型参数的蒙特卡洛马尔科夫链（MCMC）估计方法以及组合风险度量与资产最优化配置模型。基于此模型，本文还利用中国上证综合指数（SHCI）、香港恒生指数（HSI）、台湾加权指数（TWII）和美国标普500指数（GSPC）四个股指在21世纪初十余年的日收益率时序，建立了四元时变T-Copula-GARCH（1，1）-t模型，揭示四个市场之间的时变相关性及其风险的尾部相依特征，拓展了金融系统相依结构建模方法及应用视野。
一、文献评述
Copula理论是金融资产相依结构分析的热门方法（Nelsen，2006）。在量化分析的过程中，根据单个资产收益率的分布特征建立边缘时序模型，选取适当的Copula函数，建立资产之间的相依结构模型，利用Copula理论灵活地构建收益率的多元联合分布，准确地刻画资产之间的潜在相依结构。国内外众多学者在利用Copula构建金融时序的相依结构模型中，将边缘序列设定为一元GARCH类模型，采用常见的参数Copula函数量化序列之间的相依结构，建立了Copula-GARCH模型。该模型在金融市场尾部相关性与风险度量、期货套利及套期保值、衍生资产定价等金融数量分析领域得到了广泛的应用。譬如，Rodriguez（2003），Dias和Embrechts（2004），Hu（2006），Patton（2006），Jondeau和Rockinger（2006），Roch和Alegre（2006），Bartram（2007），Liu和Luger（2009），张尧庭（2002），韦艳华等（2004、2007），张明恒（2004），刘金全等（2010）。
Copula-GARCH模型的参数估计是相依结构建模分析的难点，除了极大似然估计（MLE）和拟极大似然估计（QMLE）之外，还有边缘函数两步极大似然法（IFM）。其中，第一步假设边际序列独立并利用MLE方法估计边缘模型的参数，第二步将第一步中边缘模型的参数插入设定的Copula模型并通过MLE方法估计Copula参数。关于这几种方法的参数估计结果的优良性分析及算法的改进也是学术界一直关注的热点问题。Patton等（2006）指出由IFM给出的Copula参数估值是一致估计。Liu和Luger（2009）提出一种优化算法用以改进Copula-GARCH模型参数的极大似然估计效率。尽管改进MLE的两步法易于估计Copula-GARCH模型的参数，但是从贝叶斯分析的角度认为任何MLE方法都是假设模型参数具有确定的先验分布结构，不受样本观测值的特征所影响。譬如在资产收益率的相依结构分析中，资产收益率分布的尖峰、厚尾、非对称等特征随着金融信息的冲击而发生迅速突变，影响到相依结构中参数的后验变化。由此可见MLE方法对参数先验分布不变的默认假设欠妥，因此本文将蒙特卡洛马尔科夫链（MCMC）算法引入到资产相依结构分析，对时变Copula-GARCH模型的参数进行MCMC估计，通过MCMC算法逐步实现对相依结构模型参数时变性的后验学习，从而达到对资产潜在相依结构的最佳量化与解释的目的。
量化多元时序相依结构的Copula-GARCH模型已被学者们应用于投资组合风险度量与管理。Jorion（2000）提出的VaR模型和Artzner等（1997）将其改进得到的CVaR模型已成为市场风险度量的主流工具。投资组合VaR和CVaR的度量，不仅与单个资产收益率的分布特征有关，还与资产之间的相依结构有关。Kiesel和Kleinow（2002）发现资产的静态相关系数并不足以度量资产的尾部相依性，影响到VaR和CVaR的估值精度，然而时变参数Copula模型能够改进对资产间的尾部相依性的测度，进而可以缩小对VaR和CVaR的估值偏差。
时变Copula-GARCH模型除了应用于度量资产的VaR和CVaR，还为最优资产配置提供了定量优化方法。经典的投资组合优化模型继承了Markowitz（1952）基于方差—协方差矩阵的开创性工作。Embrechts等（1999）指出Markowitz优化理论仅仅适用于资产收益率服从椭圆分布的情形，这时方差—协方差矩阵度量的资产之间的线性相依性起到了重要作用。Rodriguez（2003）和Arakelian和Dellaportas（2008）假设Copula模型中的参数具有时变性，用以识别金融危机的传染效应及诊断资产之间的时变相依结构。因此考虑到这些因素，经典的投资组合模型未必也能保持最优解和有效前沿不变，而且方差—协方差矩阵不再完全量化资产的线性相依结构，于是组合内资产之间可能存在较强的非线性相依结构。
已有文献表明对确定的期望收益，从类似于均值—方差模型的均值—VaR和均值—CVaR模型的有效前沿，分别得到最小VaR和CVaR。虽然对多个资产收益率的椭圆形分布情形，投资组合的均值—VaR和均值—CVaR与均值—方差模型的最优解是一致的，但是考虑资产分布结构的复杂性和非椭圆分布族，以上三种模型的最优解也存在差异，这时就有必要运用Copula技术合理地构建资产收益率的联合分布，以此展示资产收益率分布的非线性特征以及量化模型最优解的差异。
本文回顾Copula概念及t-Copula尾部指数的计算，然后将静态的Copula-GARCH-t模型拓展到时变Copula-GARCH-t模型，基于样本的极大似然函数，给出了该模型中所有参数的后验密度函数的等价形式，这有利于设定模型参数的MCMC抽样的先验分布，接着考虑模型参数的MCMC估计以及资产组合优化模型及其MCMC分析，最后的实证分析也支持了该方法的可行性。
利用MCMC算法估计时变Copula-GARCH-t模型并分析资产之间相依结构与组合前沿的优势在于，MCMC算法对模型参数的估值过程展示了投资者利用后验新息对先验相依结构进行逐步校正，以此缩小期望与现实的偏差。此外，在GARCH-t模型参数的MCMC迭代抽样的过程中，利用Copula的极大似然函数一次性地估计出演化方程的全部参数，在改进IFM等方法关于参数先验分布默认假设不变的同时，利用MCMC算法拓展了Copula参数估计的新方法。
鉴于以上优势，我们还给出了资产组合风险VaR及CVaR的一步预测算法及资产组合最优化配置模型的MCMC方法。对大中华区内的上证综合指数、香港恒生指数、台湾加权指数和美国标准普尔500指数在包含次贷危机等重大国际事件的近10年内的同步收益率，建立四元时变Copula-GARCH-t模型，不但检验了该模型的正确性和估值方法的可行性，还从中国大陆、香港及台湾与美国之间的区位关系解释了四个股指的时变相关性及尾部相依性的时变特征。尤其对金融危机期间中美两大股指的时变相依结构特征的分析，显示了中美两国共同应对金融危机所采取救市政策的一致性。
二、Copula函数及其尾部指数
三、时变Copula-GARCH-t模型
众多实证研究表明资产收益率序列服从GARCH（1，1）模型。Bollerslev（1987）指出用学生t分布比正态分布更能体现金融时间序列的尖峰、厚尾等特征。这里也假设
满足该模型，由此滤掉单个序列的时变波动特征后，我们提出时变Copula-GARCH（1，1）-t模型（简记为Copula-GARCH-t），用以描述P个资产的时变相依结构，因此模型设定为：
由式（10）得到条件联合密度：
及极大似然函数：
由式（12）和（13）得到模型参数的IFM估计。这里存在的问题是IFM方法并没考虑到参数的先验分布受样本信息的后验影响，因此我们顺便推导参数的条件后验分布密度函数，然后从贝叶斯学习的角度，分析模型参数的贝叶斯统计推断过程。同时将这两个估计结果进行比较，以此说明后者是一种较为实用的新方法以及体现出MCMC方法对该模型在参数估值上的优势。
四、模型参数的后验分布及其MCMC估计
值得注意的是Bauwens等（1998）指出对Copula参数设定不恰当的先验分布可能导致贝叶斯推断结果的失真，因此关于时变Copula演化方程的参数（a，b，ρ）的先验分布，设为带约束条件（0≤a，b≤1，a+b≤1和
）的均匀分布，而η的分布也由式（14）给出。
在设定
及模型参数的先验分布之后，对参数的后验分布f（θ|r）进行统计推断，由此修正不合理的先验假设。因为f（θ|r）的解析式可能十分复杂，所以运用MCMC方法从先验分布f（θ|r）中抽取样本，再根据抽样结果做贝叶斯分析，推断参数的真实分布结构。
2.模型参数的条件后验分布
根据式（12）给定的假设先验分布及极大似然函数，直接得到参数的条件后验分布。其中GARCH-t模型中参数
的后验分布简化为：
模型中T-Copula密度函数的自由度参数η的条件后验分布简化为：
模型中T-Copula时变相关矩阵的演化方程参数d=a，b，ρ的后验分布简化为：
利用各参数的条件后验分布式（15）～（18），在MCMC算法中以Gibbs抽样方法依次更新模型的参数值。例如，考虑模型参数的后验分布取为正态分布，对每个参数的一维Metropolis抽样，使得单个参数总能被迭代到可接受的取值。
3.模型参数的MCMC估计
随机波动模型的MCMC方法的详细介绍见Tsay（2005）。我们利用参数的先验分布和条件后验分布，运用Metropolis-Hastings算法对参数进行Gibbs抽样。具体分两步完成：
4.参数检验
假设参数的蒙特卡洛抽样次数为m+N，由前面的抽样算法所得参数为：
i=1，…，p n=1，…，m+N
考虑到MCMC方法前期迭代影响到后验分布的稳定性，因此去掉前m次迭代值，将后N次迭代的均值和方差作为真实后验分布的统计特征量，也即：
其统计渐进性的检验可以类似于Tierney（1994）和Carlin（2000）。
五、组合风险度量与资产最优化模型
本节考虑投资组合风险VaR与CVaR的贝叶斯度量方法。首先，给出资产组合的风险测度；其次，假设组合内各资产收益率满足式（8），然后基于MCMC方法量化资产组合的市场风险。
1.风险测度VaR及CVaR
2.VaR及CVaR的贝叶斯度量与预测
3.资产组合最优化模型
我们在此利用MCMC算法得到了三种不同风险测度下资产组合的最优化配置模型，虽然已经考虑到了后验新息对先验参数分布结构的影响，然而贝叶斯统计方法对模型最优解的逐步逼近过程很烦琐，然而下面的实证分析获得了清楚的经验结果。
六、实证研究
本节检验模型参数的MCMC估计方法的可行性，接着分析美国股市与大中华区（包括内地、香港、台湾）股市之间从21世纪初至本次危机后的股票指数收益率风险的联动关系。
1.数据选取与模型估值
考虑到分析海峡两岸政治现状对大中华区经济的互动作用具有重大的现实意义，我们以上证综合指数、恒生指数、台湾股市加权指数和美国股市标准普尔500指数为两国股市指数的代理变量，样本区间为2000年1月3日至2010年6月18日，经过处理之后得到2314个交易日的同步股指收盘价，数据源于雅虎财经网站（http://finance.yahoo.com）。图1（见下页）给出了指数的收盘价及其对数收益率的时序图。
图1展示了近十年来四大股指收盘价及其收益率的时序。我们由此初步感到任何一次重大的国际经济大事对股指价格波动都存在明显的冲击效应。这种现象并非某个金融市场独有的孤立行为，而是更多地体现在金融市场之间风险的联动性和时变相依性。譬如，美国互联网泡沫的破裂导致美国经济的持续低迷，此事前后四大股指的走势基本一致。又一个典型的事件窗口就是在次贷危机诱发的世界金融危机期间，中美等国内外四大股指持续走低，收益率时序波动也异常增大，这揭示了市场之间系统风险的高度相依性特征。为了更清楚地认识这种时变特征，我们对以上四个股指的收益率序列，建立四元时变T-Copula-GARCH（1，1）-t模型，定量地分析市场之间相依结构的时变趋势，以此也检验本文所提模型应用的可行性。根据式（20）和（21），给出模型参数的MCMC估值及其统计检验，见表1、图2和图3。
表1中T统计量的值还显示时变T-Copula的时变演化方程中参数的MCMC估值结果都显著是有效的。图2和图3也表明MCMC方法对实证中的四元时变T-Copula-GARCH-t模型的估值非常成功。
图2中（a）～（e）、（f）～（j）、（k）～（o）和（p）～（t）依次展示了四个边缘模型参数的MCMC估值过程。由图2可见模型参数的MCMC估值差异较大，这或许揭示了中美股市的价格生成机制的内在差异性，也说明单个市场的投资者对新息冲击的后验学习能力因市场的成熟度而不同。
图3中子图（a）～（f）分别显示了上证综合指数、香港恒生指数、台湾加权指数和美国标准普尔500指数两两之间的静态相关系数的MCMC估值过程，子图（g）～（i）依次对时变T-Copula的时变演化方程参数及自由度参数的MCMC估值过程进行了详细的展示。
2.时变相依性分析
分别采用IFM方法和MCMC方法计算股指之间的时变相关系数和尾部相依指数。图4给出了四股指收益率之间的时变相关系数、时变尾部指数的时序图，其中子图（a）～（f）分别是对上证综指和香港恒指、上证综指和台加权指、上证综指和标普500指、香港恒指和台加权指、香港恒指和标普500指、台加权指和标普500指等之间时变相关系数的估值曲线；子图（g）～（l）分别是对上证综指和香港恒指、上证综指和台加权指、上证综指和标普500指、香港恒指和台加权指、香港恒指和标普500指、台加权指和标普500指等之间时变尾部指数的估值曲线。
分析图4得到如下结论：
（1）子图（a）和（g）表明沪指与恒指之间的时变相依性明显具有增强的趋势特征。譬如，在2008年11月15日前后，在国际重大金融救助方案磋商及颁布期间，两指数的尾部相依性具有渐强的趋势特征，这可能是由于香港和内地的经贸互动机制在近10年来得到了不断的深化，使得内地金融市场与香港金融市场的融合度不断提高，以及粤港澳一体化的投融资环境等宏微观政策因素也助长了两地股市之间的联动性和系统相依性；
（2）子图（b）和（h）表明样本期内沪指和台加权指数之间尾部相依指数的趋势特征在样本期初和期末两个时段的差异较大，联动性增强的趋势特征也清晰可见，但不及沪指与恒指之间的联动程度大，原因在于近几年来两岸不断地推进经济与政治的互信机制，使得两地经贸关系得到了空间的发展，使得民间投资更加顺畅，加强了两地股市之间的联动效应，但是由于岛内台独势力对海峡两岸经济政治互信的强烈反对，使得两岸和平发展金融经济一体化发展受到巨大阻碍，两岸股市的联动程度不同时段减弱。总体而言，两岸金融市场的联动效应必然保持一致的增强趋势；
（3）子图（c）和（i）表明在美国次贷危机爆发后到世界性金融救助方案的颁布前夕以至世界经济复苏的过程中，沪指和标普500指数之间联动性的局部趋势特征明显。特别地，两指数在经济危机爆发后的联动性明显强于过去时段，原因在于近些年来随着我国综合实力的不断增强，中美关系的不断改善，特别是科技、经济、军事、政治和文化等领域的深层次交流，推进了两国经贸关系的空前发展。此外，中美两国在应对金融危机等国际问题上分别扮演了两个关键角色，以及我国资本市场逐步由新兴市场过渡到成熟市场等种种因素也助推了两国股市之间的联动效应；
（4）子图（d）和（j）表明样本期内香港恒指和台加权指数之间的联动性都要强于其他任何指数之间的联动性，还体现出较为稳定的趋势特征，原因在于港台持久的经贸互动关系和香港作为两岸经贸中转站的角色决定了这种相依结构特征的稳健性；
（5）子图（e）和（k）表明样本期内香港恒指和标普500指数之间联动性弱于香港恒指和上证综合指数之间的联动性，进而表现出一种较为不稳定的趋势特征，主要原因在于香港的经济对大陆的依耐性较强，此外香港股市已经是一个成熟的国际市场，与成熟的美国股市等外围股市之间难免具有相当程度的联动关系；
（6）子图（f）和（l）表明台湾加权指数和标普500指数之间存在一种较为不稳定的趋势特征，可见作为新兴市场的台湾股市势必也受到成熟的美国股市的影响。譬如，金融危机对两个市场的冲击效应非常明显，两指数的时变相依结构和尾部指数的变化加剧。
综上分析所知：两个指标曲线的总体时变趋势表明MCMC方法比IFM方法的计算效果好，尤其在局部时点方法对应的估值优势非常突出。时变Copula-GARCH（1，1）-t模型对中美两国股市在包含本次世界罕见的金融危机等重大国际经济事件的样本期内的时变相依结构特征具有较为真实的度量，危机期间四大股指的局部相依特征差异显著。MCMC方法估计该模型的参数比一般的IFM两步法更有效，主要是因为MCMC方法充分考虑到了利用后验新息校正参数不恰当的先验分布假设，还以逐步增强投资者贝叶斯学习能力的方式，捕获世界共同应对金融危机的救市举措对两国股市系统风险内在相依结构的冲击效应。
3.资产组合有效前沿
考虑到资产时变相依结构对组合风险的影响，利用以上四个股指构建一个投资组合，求解该组合的有效前沿及最优化权重，同时还比较了IFM法和MCMC方法的区别。图5（a）显示了四指数组合的有效前沿的MCMC结果；图5（b）为四指数组合的有效前沿的IFM结果。而均值-VaR模型和均值-CVaR模型的有效前沿与均值—方差模型的类似，因此不再重复分析。
图5表明考虑资产之间的时变相依结构后的投资组合优化问题是对经典模型的有效改进。利用多元时变T-Copula-GARCH（1，1）-t模型，比较四指数资产组合有效前沿的计算结果，发现MCMC方法优于IFM方法。由此可见：在正常情况下各国政府非一致的救市政策不能增强市场之间的联动性，然而在经济危机爆发后政府的共同救市行为增强了股市之间的联动性，这表现为投资者对救市政策的后验学习能力的差异以至于对市场风险厌恶水平的差异。在这种非常时期几乎多数投资者的资产配置也会以规避风险为重点，并非主观上最优化资产组合权重。
七、结论及启示
针对资产时变相依结构的建模分析，本文提出分析多元动态相依结构的时变Copula-GARCH-t模型，考虑样本信息对投资者关于资产收益率分布的先验影响，将MCMC方法引入到模型的参数估计与检验。与传统的IFM两步法不同的是，MCMC方法同时估计边缘模型和时变相关矩阵演化方程的参数及T-Copula的自由度，还解决了尾部指数、时变波动率、投资组合VaR和CVaR及投资组合有效前沿等一步预测难点。以中美股指数据的实证检验了所提模型的正确性及其参数MCMC估值的可行性。对模型参数估值方法而言，实证结果还表明MCMC方法优越于经典的IFM方法。对四个指数在样本期内的时变相关性和尾部相依结构的剖析，以及对四指数构成的投资组合有效前沿分析也证实了MCMC方法的有效性。实证还发现中美两国股市在近十年内整体趋势上的一致联动性特征以及境内股市之间的尾部动态相关模式的演化规律。
尽管本文仅考虑了边缘分布为学t分布及Copula参数演化的DCC方程的时变T-Copula-GARCH-t模型，但同样的思想可以拓展到对其他边缘分布及高阶GARCH模型和其他Copula及其参数的非线性演化方程所构成的多元时变相依结构模型的研究。另外，利用现有的参数Copula，以MCMC算法为基础对给定的多元样本建模时，筛选最佳的时变相依结构模型也是一个最优化的改进方向。例如，T-Copula模型体现了资产之间的对称相依结构，如果选取Clayton-Copula代替T-Copula，则可能改进资产之间尾部相依性的统计推断结果及时变趋势特征的量化。
根据上面的结果，我们得到进一步研究的重要启示为：在非参数Copula和已有的参数Copula类中，综合已有文献对金融变量尾部相依结构的识别和度量，事先建立更加复杂的相依结构模型，然后定义一个MCMC算法对参数估值，对潜在的真实Copula进行统计推断，筛选出最优的参数Copula，尽可能准确地捕捉到资产及金融市场之间复杂的相依结构，从而对资产时变相依结构加以深层次的建模分析，最终实现世界金融市场风险的最优化度量与管理。
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