数学解题的错例分析，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文谈解题错误分析中的两个主要问题：错误的类型和分析的做法，并辅以案例来做具体的说明。
一、解题错误的主要类型
有一种简单化的认识，以为错误都是知识不过关造成的，其实，解题错误的类型不止一个，在知识过关的情况下也会出现差错。既然成功的解题有知识因素，能力因素，经验因素和情感因素，那么不成功或失败的解题也会与这些因素相关，我们总结为：知识性错误，逻辑性错误，策略性错误，心理性错误。
1.知识性错误
知识性错误主要指由于数学知识上的缺陷所造成的错误。如误解题意、概念不清、记错法则、用错定理，不考虑范围使用方法等。核心是所涉及的内容是否符合数学事实。
例1 能与数轴上的点构成一一对应的数集是()。（单项选择题）
A。整数集 B.有理数集
C。无理数集D.实数集
解：因为实数与数轴上的点构成一一对应，所以选D。
评析：这正是命题者的预设答案，但是命题者忘了，无理数集与实数集之间存在一一对应关系，这是无穷集合的特性：本身可以与其真子集一一对应（尽管中学生不太清楚这一点），所以，无理数集也能与数轴上的点构成一一对应，选择C、D都成立。这样一来，题目又与单项选择题“有且只有一项正确”矛盾。在这里既有错解又有错题，既有知识缺陷又有逻辑矛盾，但最根本的还是知识问题，由知识性错误导致命题的逻辑性错误。
例2 把一个边长为1的正方形分割成面积相等的4部分，使得其中的一部分内存在3个点，以它们为顶点可以组成一个边长大于1的等边三角形，满足上述性质的分割为()。
A．不存在B.恰有一种
C.有大于1的有限多种
D.有无限多种
解法1：假设存在边长大于1的等边三角形，则等边三角形所在部分的面积大于
，又4部分面积相等，其总和大于
，超过了正方形的面积，这是不可能的，故选A。
评析：从解答的书写看，方向明确，推理严谨，应是无懈可击的。但真正的答案却为D。错误的原因是误解题意了，题目只要求三角形的“顶点”属于同一部分，并不要求三角形的全体属于同一部分，甚至还不要求每一部分都是连通的。解法1默认了三角形的全体属于同一部分，得出“等边三角形所在部分的面积大于”不对。在性质上，首先是知识性错误，同时也有心理性错误。
图1
解法2：如图1，先在单位正方形ABCD内作一个等边△PAB，然后分别以A、B为顶点作一个边长为
的正方形，再居中作一个包括点P的边长为
的正方形，以这三个阴影正方形组成的一部分，面积恰为。以正方形的中心O为旋转中心，将阴影正方形旋转180°得记号为S的正方形组成分割的第二部分。剩余部分亦保持中心对称的特征，过O任作一条直线l平分剩余部分，这就把“正方形分割成面积相等的4部分”，在三个阴影正方形内可以分别取3点，使组成一个边长大于1的等边三角形。由直线l的任意性知，这样的分割有无限多种，故选D。
2.逻辑性错误
逻辑性错误主要指由于违反逻辑规则所产生的推理上或论证上的错误。如虚假论据，不能推出，偷换概念，循环论证等，常常表现为四种命题的混淆，充要条件的错乱，反证法反设不真等。核心是所进行的推理论证是否符合逻辑规则。
知识性错误与逻辑性错误既有联系又有区别。
(1)知识性错误与逻辑性错误有联系。
由于数学知识与逻辑规则常常是相依共存的，从广义上说，我们也不能把逻辑知识排除在数学知识之外，所以，逻辑性错误与知识性错误经常同时存在，从哪个角度进行分析取决于比重的大小与教学的需要。在上面的例子中我们已经看到，当我们说它有知识性错误时并不排除它也有逻辑性错误；同样，当我们说它有逻辑性错误时也不排除它还有知识性错误。
(2)知识性错误与逻辑性错误又有区别。
知识性错误主要指涉及的命题是否符合事实（是否符合定义、法则、定理等），核心是命题的真假性；逻辑性错误主要指所进行的推理论证是否符合逻辑规则，核心是推理论证的有效性。虽然，数学命题的事实真假性与推理论证的逻辑有效性是有联系的，但是数学毕竟不是逻辑，数学毕竟比逻辑大得多，我们依然应该在知识盲点的基本位置和主要趋势上区分知识性错误与逻辑性错误。
图2
图3
评析：这是1990年全国初中数学联赛题（有课本的背景），一开始给出的答案正是B，相对于图2没有任何知识错误，但是这个结论默认了“点D在BC内”。如图3，当“点D在BC外”时，则有∠BAC＜90°，后来答案改为D就对了。此处，由于默认“点D在BC内”得出了一个假命题，当然有知识性错误；分类不全又有逻辑性错误；而“默认”本身还可能有心理原因——潜在假设，但从错误的基本位置上看，主要还是分类不全造成的，吸取的主要教训也应该是：注意三角形的垂足可以在边上、也可以在边的延长线上。
例4 在四边形ABCD中，AB大于其余三边，BC小于其余三边，则∠BAD、∠BCD的关系为()。
A.∠BAD＜∠BCDB.∠BAD=∠BCD
C.∠BAD＞∠BCDD.不能确定
图4
图5
解法2：如图6，取一个平行四边形ABCD，使△CBD为等腰直角三角形，作△CBD的外接圆O，以D为圆心、以DC为半径，画弧交AB延长线于E，
图6
评析：解法1“默认四边形
为凸四边形”，得出了一个假命题，有知识性错误，对四边形分类不全又有逻辑性错误，而“默认”本身还可能有心理原因，但从错误的基本位置上看，主要还是对四边形分类不全造成的，所找出的反例主要是考虑了四边形的多种情况。
3.策略性错误
这主要指由于解题方向上的偏差，造成思维受阻或解题长度过大。对于考试而言，即使做对了，若费时费事，也会造成潜在丢分或隐含失分，存在策略性错误。在解题探求中，思维受阻或思路曲折是不可避免的，因而，探索阶段的策略性错误是很难完全消除的。
在“分析解题过程的操作”一文的例3中（已知凹四边形ABCD中，∠A=∠B=∠D=45°，求证AC=BD），解法1作了复杂的辅助线，用了众多相等角以及相似、四点共圆、内心、勾股定理等大批知识，而解法2只用到一次全等，两相比较，解法1的解题长度过大，存在解题方向上的偏差。
例5 三角形的内接正三角形有多少个？
讲解：《数学通讯》2000年第9期载文谈“三角形内接正三角形的个数问题”，用了整整两页（两三千字）的篇幅得出：内接正三角形有无数个。这个麻烦的解法，没有把握住问题的本质，很容易中途出错，反映了思路探求的曲折性。
证明：如图7，在△ABC的BA边内取一点D，在BC边内取一点E，以ED为边作正△DEF，使F与B分居DE的两侧。连接BF交AC于C，过G作GH∥FD交BA于H，过G作GI∥FE交BC于I，则△GHI与正△FDE为位似三角形，从而△GHI为△ABC的内接正三角形。由点D、E选取的任意性知，这样的正三角形有无穷个。
图7
评析：从几千字到只有一个位似作图，是对策略性错误的纠正，反思是纠正策略性错误的一个好方法。
4.心理性错误
这主要指解题主体虽然具备了解决问题的必要知识与技能，但由于某些心理原因而产生的解题错误。如顺序心理、滞留心理、潜在假设，以及看错题、抄错题、书写丢三落四等。
例6 下面各行数字中，哪一行既含有某个整数的平方，又含有另一个整数的立方()。（单项选择题）
A.7,2,5,4,6B.3,8,6,9,7
C.5,4,3,8,2D.9,5,7,3,6
E.5,6,3,7,4
解：在所出现的数字2，3，4，5，6，7，8，9中，只有8是整数的立方，4，9是整数的平方，故不含8的A、D、E首先可以排除。又C中4是2的平方，8是2的立方，“平方”“立方”都是2，与“含有某个整数的平方，又含有另一个整数的立方”不符，故选B.
评析：这是美国主管入学考试出题部门(ETS)出的一道试题，预设答案正是B，但是命题者忘了，-2的平方也等于4.所以，选择B、C都成立。这样一来，题目又与单项选择题“有且只有一项正确”矛盾。是命题专家缺少负数的知识吗？是命题专家不知道-2的平方等于4吗？最根本的恐怕还是心理原因造成潜在假设或丢三落四。
例7 如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整(3∶00)开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所组成的角相等的情况有().
A.1次B.2次C.3次D.4次
［江苏省第十九届（2005年）初中一年级数学竞赛题］
讲解：什么是“一根针与另两根针所成的角相等”？从4个选项和答案定为D可以猜测，命题者把“一根针与另两根针所成的角相等”看成“一根针平分另两根针所成的角”。这是命题者的潜在假设。其实，当秒针与时针重合时，分针与这两针的夹角也相等，因而出现一根针与另外两根针所成角相等的情况有5次，这还没考虑3时整的情况。不应认为命题专家缺少时钟常识，主要还是心理上的潜在假设。
二、错误分析的基本做法
进行错例分析的根本目的是改正错误，为了能有针对性地改正错误，当然要对错误的性质和原因弄清楚，要对改正的办法和步骤想明白，同时，还应该对错误有一个积极的态度，不要一味看成是达到正确目标的拦路虎，错误是越过障碍、达到目标的必经阶段，错误是接受洗礼、走向成熟的必要磨炼。没有谁在真正的问题面前不是摸索前进、从不走弯路的。
1.错误分析的应有态度
(1)解题错误的产生总有其内在的合理性。
解题分析首先要对合理成分作充分的理解，因为任何真正的认识都是以主体已有的知识经验为基础的主动建构，因此，尽管相应思想可能是错误的或幼稚的，但却仍有一定的合理性，我们不应对此采取简单否定的态度，而应作出认真的努力去理解错误的性质、产生的客观原因，只有这样，我们才有可能采取有针对性的适当措施去帮助学生，并最终实现改进的目的。
(2)要通过反例或启发等途径暴露矛盾，引发当事者自，我反省。
直接奉送正确答案的做法未必能达到预期的效果，毕竟学生不是一张可以任意涂上各种颜色的白纸，不是一个空的、可以直接塞进各种真理的容器。
(3)要正面指出错误的地方，具体分析错误的性质。
使得当事者不仅知道“最后结果”错了，而且知道从哪一步开始出错，是错在知识上、逻辑上，还是心理上。笼统地归结为知识不过关未必恰当，埋怨的情绪或过激的言辞更不可取。
(4)尽可能直接在原解法的基础上进行完善。
作为对错解的对比、补救或纠正，给出正确解法是绝对必要的，提供优秀解法更好。但别忘了还要尽可能直接在原解法的基础上进行完善，使学生体会并学会“怎样改正错误”。
2.案例分析
例8 若方程|x|=ax+1有一个负根且没有正根，那么a的取值范围是().
A.a＞-1B.a≥1
图8
图9
③如图10，当a≤-1时，直线l：y=ax+1在图中的阴影范围内变化（包括一侧边界y=-x+1，不包括另一侧边界纵轴），每一位置都与y=｜x｜有一个交点，其横坐标大于0。
图10
可见，方程“有一个负根且没有正根”时，a的取值范围是a≥1，答案应选B。解法1把图8、图9都包括进去了，其实是错误的。
