中日新数学教科书中的“勾股定理”，本文主要内容关键词为：勾股定理论文,书中论文,日新论文,教科论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
考察中国、日本和新加坡3国数学教科书中的“勾股定理”。之所以选取日本和新加坡，一是中、日、新3国同处“儒家文化圈(CHC)”[1]，其价值观、文化背景及数学教育传统有一定的相似之处；二是日本和新加坡在数学教育方面的成就非常突出，比如“国际数学与科学教育成就趋势调查”(TIMSS 2003)显示，新加坡学生在四年级和八年级的数学成绩均排在第一位，日本四年级学生排在第三位，八年级学生排在第五位[2]。对于3国的教科书，研究者选取北京师范大学出版社的《数学》[3]，日本教育出版株式会社的《中学数学》[4]，新加坡Marshall Cavendish的New Mathematics Counts[5]。这3套教科书在各自国家中都被广泛使用，并有一定的影响。此外，国内有研究者对后两套教科书进行过介绍和分析[6～9]，这也有助于从总体上把握这两套教科书。
一、教科书中的“勾股定理”
研究者曾对上述3种教科书中的“勾股定理”作了细致的考察[10～12]。这里主要采用文本分析法和统计分析法，从内容的广度和内容的深度两个维度对这一内容进行比较。在考察其广度时认可“用‘知识点的数量’来刻画课程的广度”这一做法[13]；在考察其深度时借用鲍建生的“数学题综合难度的多因素模型”[14]进行分析。考察内容的广度时关注勾股定理的发现与证明，主要统计教科书中的知识点；考察内容的深度时关注勾股定理的应用，主要分析教科书中的例题和习题。
（一）内容的广度
1.知识点的统计与比较
《数学》八年级上册第一章为“勾股定理”，分为3节：(1)“探索勾股定理”，内容是勾股定理的发现和证明；(2)“能得到直角三角形吗”，内容是勾股定理的逆定理；(3)“蚂蚁怎样走最近”，主要内容是勾股定理及逆定理的应用（定理的简单应用在前两节也有涉及）。涉及的知识点有6个：①勾、股、弦的定义，②勾股定理（文字、公式），③证法1和2（包括赵爽、弦图、《周髀算经注》），④证法3（包括刘徽、青朱出入图、《九章算术注》），⑤直角三角形的判定方法，⑥勾股数。
《中学数学》第三册第六章为“勾股定理（三平方①定理）”，分为两节：(1)勾股定理，(2)勾股定理的应用。其中第一节由“勾股定理”和“勾股定理的逆定理”两小节组成，第二节由“平面图形中的应用”和“空间图形中的应用”两小节组成。涉及的知识点有6个：①定理的证法，②勾股定理，⑨等腰直角三角形，④特殊直角三角形的3边之比，⑤锐角三角形和钝角三角形，⑥勾股定理的逆定理。
New Mathematics Counts第三册第三章为“勾股定理与三角学(Pythagoras' Theorem and Trigonometry)”，该章前两节为勾股定理的内容：3.1勾股定理（包括“3.1.1求直角三角形未知边的长度”和“3.1.2直角三角形的判定”两小节），3.2勾股定理的应用。涉及的知识点有3个：①斜边，②勾股定理，③直角三角形的判定方法。
New Mathematics Counts的知识点最少，这说明该教科书内容的广度低于其他两书。这里知识点的提取，主要是关注教科书中的概念、定义、性质、运算法则、定理、公理、公式、方法等内容；知识点不包括例题和习题中的问题类型和解题方法，不包括阅读材料中的内容；有些知识点包含几个小点，但作为一个整体，仅记为一个（这对结论影响不大）。
2.勾股定理的发现与证明
《数学》在“折断的旗杆”作为问题情境引入后，安排了“做一做”，通过3个活动引导学生发现勾股定理。这几个活动的任务是：在方格纸上画出若干直角三角形，每个三角形再以3条边为边向外作正方形：计算正方形的面积；寻找3个正方形面积之间的关系，从而得到结果。在计算正方形面积时，可以通过量边长、数方格等方式；当方格数不能直接数出时，则考虑通过其他方式（比如拼补）得出。随后，《数学》通过计算一般直角三角形斜边上正方形的面积来证明勾股定理。计算方法有两种：方法1，将其每条边上补一个边长分别是a、b、c的直角三角形，得到一个新正方形，则
；方法2，将其分成4个直角三角形和1个小正方形，则
。教科书认为方法2是赵爽所使用的方法，随后介绍赵爽及其弦图。教科书通过课文和习题的形式，还介绍了总统证法、刘徽证法、达·芬奇证法，“风车证法”和毕达哥拉斯证法（辛普生证法）。
《中学数学》本章一开始以两个问题作为问题情境引出主要内容，而且这两个问题与《数学》中的“做一做”非常相像，其任务也是引导学生通过直角三角形3边上正方形的面积探索3边平方之间的关系，从而发现勾股定理。之后，第一节中先提出猜想，然后证明，最后明确给出勾股定理。课本124页展示了定理的一种证明方法，这与《数学》中的方法1相同。此外还在158页安排了“自由研究：勾股定理的其他证明”。“自由研究”类似我国教科书中“课题学习”、“数学活动”。这一活动通过提示引导学生尝试用其他两种方法证明勾股定理，其中方法1与《数学》中的方法2相同，方法2是利用相似三角形的性质（或者说是利用射影定理）。最后又提出问题：“还有没有不同于1和2的其他证明方法？利用书末的图来考虑一下。”将书翻到最后，11幅图占了2页的篇幅。其中7幅图演示了欧几里得证法，2幅图演示了毕达哥拉斯证法，还有2幅图则演示了“总统证法”。一般教科书都回避欧几里得证法，对“总统证法”都是从面积计算和代数运算角度来介绍，而《中学数学》使用图形变换这一角度介绍这两种证法，颇有新意，同时也有助于学生的直观理解。
New Mathematics Counts本章3.1节，在3.1.1之前用两页的篇幅安排了一个“活动(Activity)”，通过4个步骤，将长直角边的正方形分成4个全等的四边形，并与短直角边上的正方形一起，重新拼成斜边上的正方形。这就显示了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个活动让学生在发现勾股定理的同时也验证该定理。这个活动，正是勾股定理的“风车证法”，这一过程并不涉及代数运算。该书以展示为主，给出明确的步骤和方法，让学生跟着做；操作上并不难，但学生想深刻理解它，也不是特别容易。
总之，对于定理的发现和证明，《数学》和《中学数学》是通过计算面积（算术和代数运算）来进行，设计活动让学生探究；而New Mathematics Counts是通过图形剖分（几何变换），安排的活动以展示为主，探究的成分不大。从证法数量上看，《数学》一共有7种，《中学数学》有3种（另外书末附录还有3种），而New Mathematics Counts仅一种。总体而言，《数学》对定理的发现和证明非常重视，《中学数学》相对弱化，而New Mathematics Counts很明显地进行了淡化处理。这也可以看出New Mahtematics Counts知识广度不及另外两书。但这并不是说它做得不好，事实上，勾股定理的发现与证明在教学中是个难点，也可以借鉴本书，不关注勾股定理的形式证明，对其发现与证明进行“淡化”处理，而把重点放在定理的应用上。
（二）内容的深度
1.勾股定理的应用
3种教科书都很重视定理的应用，都给出了一定数量的例题和习题。先来看3种教科书中的一些具体例子，从中可以感受3种教科书在习题难度上的不同。
(1)勾股定理的简单应用：梯子问题。
New Mahthematics Counts第106页例6：
长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的下端距离墙3米，那么梯子能达到多高的墙面？
这里，梯子的长度和地面距离容易测量，而墙壁高度不易测量，但借助于勾股定理，通过计算可以得到所需结果，这就体现出勾股定理的作用，体现了数学是有用的。在《数学》中也看到类似的题目，复习题的第11题（第29页）：
一架云梯长25米，如图（图略）斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。
①这个梯子的顶端距地面有多高？
②如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？
本题有两小题，其中②难度比①要大一些，而New Mathematics Counts中没有出现类似于②这样难度增大的题目。
在《中学数学》中没有“梯子问题”。事实上，《中学数学》中极少出现以“生活情境”、“科学情境”为背景的数学问题[15]。另外，日本在TIMSS历次测试中的成绩说明数学与生活联系的比例与学生的成绩没有直接的联系[16]。
(2)勾股定理的复杂应用：蚂蚁问题。
《数学》本章第三节就以“蚂蚁怎样走最近”为标题，研究“蚂蚁问题”（第22页）：
如图1-18（图略）所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）
除此之外，《数学》习题1.5中的第三题（第24页）和章末复习题中的第12题（第29页）是该问题的变形，把圆柱体换成了长方体。习题1.5第三题中蚂蚁的起点和终点位于长方体两个相对的顶点，而复习题第12题的终点在长方体的一条棱上，这样题目的难度就又有所增加；
《中学数学》中也有类似的问题（第164页）：
在右图圆锥（图略，图中标出圆锥底面的半径和母线分别为4cm和16cm）中，从底面圆上一点出发，沿着圆锥侧面绕行一周。请回答以下问题：
①求圆锥的高和体积；
②求绕行轨迹的最短长度。
该题中，“蚂蚁”要爬的表面是在圆锥上，但是在解题时，要用的方法和原理与前面的问题是一样的。在New Mathematics Counts中没有发现“蚂蚁问题”。
(3)勾股定理从2维到3维的推广。
New Mathematics Counts第101页安排了一个“课外活动(TIME-OUT ACTIVITY)”：Fit for a Cabinet。该题的大意是这样的，Amy家电视柜的长与宽分别是28英寸和23英寸，那么他们是否可以买对角线长39英寸的电视机？这一题目应该说十分简单，只要把题目的意思理解了，得到解答应该十分容易。在《数学》也有几乎一模一样的题目，但它仅仅是作为一道“随堂练习”（第5页）；此外，该书章末复习题13题（第29页），题目大意是电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.0米，那么能放入电梯内的竹竿最大长度是多少？这一题比电视柜题的难度大，它不能直接利用勾股定理得到解答，需灵活地使用两次定理，其本质是把勾股定理从2维平面推广到3维空间。《中学数学》中也有这样的推广，135页第2节“在空间图形中的应用”安排了“挑战角：长方体对角线的长”：
设长、宽、高分别为a、b、c的长方体的对角线长为s，求证
。
在New Mathematics Counts中没有发现勾股定理从2维到3维的拓广。从总体看，New Mathematics Counts中的例题与习题都比较基础，绝大多数学生都可以理解和完成。这也体现了“大众数学”和“注重基础”的教育思想。
(4)勾股定理在其他图形中的应用。
《中学数学》中的题目还涉及到勾股定理在其他图形中的应用。第一，不仅有平面图形中的应用，还有空间图形中的应用。而《数学》虽有涉及但并不突出。第二，在平面图形中，不仅仅考察直角三角形和一般三角形，而且将直角三角形与其他图形（比如圆）结合起来，使学生有更完整和全面的认识。New Mathematics Counts中也有这样的习题，但《数学》中没有。第三，《中学数学》还安排了《数学》和New Mathematics Counts中没有的内容，比如“求平面直角坐标系中两点间的距离”，这一内容中国学生要到高中才学习。
2.习题难度
从以上一些具体例子的介绍和分析中，研究者直观地感受到New Mathematics Counts中例题和习题的难度比较小，而《中学数学》和《数学》则相对难些。利用“数学题综合难度的多因素模型”，对3种教科书中的例题和习题进行分析统计，将各难度因素的加权平均值汇总成表1：
表1 教科书中例题和习题各难度因素的加权平均
注：表中NMC代表New Mathematics Counts
表1显示，从综合难度上看，《中学数学》要高于《数学》，而《数学》又要高于New Mathematics Counts，这与研究者的直观感受一致。New Mathematics Counts在探究、推理和知识含量3个因素上要明显低于其他两种教科书，而《数学》在背景上要明显高于另外两种教科书。文[12]指出，数学题综合难度反映的不是课程难度，而是课程的深度。研究者接受这一观点，并据此认为，3种教科书的深度以《中学数学》、《数学》、New Mathematics Counts依次下降。
二、结论与思考
通过以上的比较和分析，得到3种教科书的比较结果。同时也让研究者对数学教科书的编写（尤其是“勾股定理”这一章的编写）产生了一些思考。
（一）比较的结论
(1)如果说教科书的难度包括内容的广度和深度两个维度，那么通过以上的比较可以看出，《中学数学》最难，《数学》次之，而New Mathematics Counts最易。
(2)《中学数学》和New Mathematics Counts对勾股定理的发现和证明做了弱化处理；《数学》重视对勾股定理的证明，向学生展现了多元文化背景下的数学内容。
(3)3种教科书对定理的应用都很重视，都给出了一定数量的例题和习题。从例题和习题的难度看，New Mathematics Counts最容易，而《中学数学》最难。而且，《中学数学》中的例题和习题比较有特色。
（二）对数学教科书编写的一些思考
(1)面向所有学生，注重基础训练
“大众教育”与“精英教育”之争由来已久，中国目前开展的数学课程改革采用了“数学为大众”的理念。也有数学家和数学教育家提出疑问，降低难度（普遍的低标准）会不会降低数学教育的质量？新加坡的实践可以从某种程度上打消国人的顾虑。New Mathematics Counts中数学题的难度并不高，但新加坡的数学教育成就相当高。因此，只要得法，注重基础的数学教育也可以取得较高的质量。不做难题、繁题、偏题、怪题，把基本的题目做会了、掌握了，基础扎实了，学生也可以有更大的发展。“重视基础，重视训练”是我国传统教育的精华[17]，而双基教学又是数学教学的优良传统，在新课程改革的背景下，不但要继承，而且还要发扬。
(2)注重数学知识间的联系
目前我国教科书的设计一般采用“螺旋上升”的方式，而非直线前进。循序渐进、逐层深入、螺旋上升，到一定的时间，将需要掌握的知识全面地掌握。这样安排，是从学生的认知水平，对知识的可接受程度方面来考虑的，有其积极的一面。同时，这次学一部分，若干时间后学习难度提高的另一部分，再过若干时间再学习难度更高、更加综合的部分。不同时间所学的内容之间的联系就可能减少，或者本来是整体的内容因为分置不同的位置和时间，它们的联系就失去了。这样把本来是整体的知识，人为地分割开来。忽视完整的单元知识的系统建构和完善的数学认知结构的形成，那么学生对数学的理解只是零星的概念、定理和习题，在数学知识的再现和问题解决过程中就容易产生断裂现象，导致分析问题、解决问题能力不高。教科书编写在螺旋上升与直线前进两者之间应取得必要的平衡，该分的时候就分，可以合的时候也不妨合起来；应该注重数学知识间的联系，把相关数学知识作为一个整体展示给学生。比如“勾股定理”这一章，中国教科书只介绍定理在乎面图形中的应用，而没有涉及立体图形；就是在乎面图形中，也没有涉及定理在圆中的应用；而两点间的距离公式要到高中才学习。《中学数学》对这些内容都做了一番有机的整合。它不求深度和难度，但求学生对它们有一个完整、全面的认识。日本的这种做法不能说完美无缺，但是，《中学数学》可以引发深入的思考，在修订教科书时做出慎重的选择。
(3)多元文化数学在教科书中的呈现
对勾股定理的证明，一方面做淡化、弱化处理，另一方面，可以把重点放在对方法的欣赏上。勾股定理的证明方法据说超过400种，而且不同的方法与不同的文化、不同种族的思维方式紧紧联系在一起，所以它是体现多元文化数学的极好题材。《数学》通过课文和习题的形式，介绍（探索）了赵爽证法等7种勾股定理的证明方法；介绍如此多的方法，这在同类教科书中是很少见的。教科书还安排了两则“读一读”：勾股世界，勾股数组与费马大定理。在习题1.4“联系拓广”中介绍普林顿322号泥板，与第一则“读—读”相呼应。教科书这样处理，就把多元文化背景下的数学呈现在学生面前。数学教科书中呈现多元文化数学的内容是数学教科书编写的发展方向。通过对不同时期、不同地域数学成果及其思想方法的比较，可以使学生明白，数学并不只属于某个民族、某种文化。数学教科书和数学教学引导学生尊重、分享、欣赏、理解其他文化下的数学，借此拓宽学生的视野，加深对数学知识的理解，培养开放的心灵。以往过分强调某项数学成果中国比西方早多少年，这其实滋长了狭隘民族主义的思想；那么本着一种尊重、理解和支持的态度向学生介绍多元文化的数学，重在对所有数学成果的欣赏和分享上，就可以让学生用一种“泛爱万物”的胸怀去了解不同时期、不同文化背景下的思考方式。
(4)数学史料有机融入教科书之中
更进一步，数学教科书应该让数学文化浸润其中。通过数学课程与数学教学，学生能感受丰富多彩的数学文化，体验数学的价值。一般认为，数学史、数学应用是体现数学文化最常用的两种载体[18]。在教科书编写以及教学实践中，对数学应用相对重视些，在操作上也相对容易些，对数学史的应用则处理得相对简单，往往在正文之后安排“读一读”、“数学史”这样的栏目；日本《中学数学》安排了“数学三二事典（数学小典故）”，新加坡New Mathematics Counts安排了“Did you know?”小栏目，也是游离于正文之外。“勾股定理”这一单元，包含有相当丰富的数学史内容，如何有效地将它们呈现出来，是教科书设计和编写者应认真思考的问题。数学史知识在中学教科书中应该有总体上合理的布局及介绍的视角，而且插入的数学史内容应与教科书恰当地融合。唯有数学史进入“正文”，数学教学才能充分地反映数学的文化底蕴[19]。所以，数学教科书的设计与编写，应将数学史料有机地融入其中。而已有的教学实验研究也表明，使用数学史的课程对于提高学生学习数学的积极性是十分有效的[20]。