数学概念教学设计的叙事研究——以“几何概型”为例，本文主要内容关键词为：为例论文,教学设计论文,几何论文,概念论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、研究缘起
数学概念是数学的逻辑起点，是学生的认知基础，是进行数学思维的核心，在数学学习与教学中具有重要地位.近年来，各种数学教学理论研究上的突破与发展，为揭示数学概念教学的深层机制提供了科学的依据；有针对性、可操作性强的数学教学研究方法，也为数学概念教学的研究提供了科学的指导.
2013年10月，笔者参与了教育部“数学教师基于教学的学科知识水平发展研究”课题（李祎主持）的研究，根据学校实际，依托教研组团队，开展有关高中数学概念课有效教学的探索.本文撷取人教A版《数学3》第3章第3节“几何概型”，展示教学探索的过程与反思，与同行交流、切磋.
二、“几何概型”教学设计的探索
经过实践，笔者认为概念课的有效教学必须建立在充分把握师生已有的认知结构，合理处理概念形式化过程，准确定位与突破教学重难点，有效预设师生交流途径与方式四个基础之上.
1.师生概念认知结构的把握
教学是师生间的互动，任何一种教学方法都必须建立在对师生已有认知结构熟悉的基础之上，教学设计除了需要分析学生的“学情”以外，教师的“教情”也不容忽视.如何把握教师与学生对数学概念的认知水平与知识结构，课题组经过多次反复研讨与实践，并结合已有的研究，设计了分别针对教师与学生认知的两种调查方案.
（1）如何把握教师基于“几何概型”的认知结构？
操作方式：根据教学进度，将下周要学习的数学概念对应制作成一张认知卡（图1）分发给同备课组的参加研讨的教师，教师按实际情况分成四组，每组教师利用周末侧重分析认知卡中一个类别的内容，周一集体备课时分别进行主题发言，之后集体讨论，在讨论的基础上完善认知卡内容，作为教学设计的参考.
设计意图：根据“课程标准”“考试说明”确定本节教学目标；借鉴各版本教材、优秀教学设计，拟定本节流程结构；参考已有的相关研究论文、教学反思，设定本节教学重、难点；改编经典考试题，借助相关数学史料，制定本节学习导案.
（2）如何把握学生基于“几何概型”的认知结构？
操作方式：根据教学进度，将下周要学习的数学概念对应制作成一张预习导案（下页图2）分发给学生，学生利用周末按照导学内容进行预习，周一教师集体备课前将其收齐，作为集体备课时讨论的参考.
设计意图：通过知识的来龙去脉，让学生知道该知识的地位与作用；借助“非形式化表述”，让教师掌握学生对概念的理解程度及存在的偏差；利用“自学困惑”，让教师了解学生概念学习的障碍；采用列举错例、反例，加深学生概念自学的深度.
2.概念形式化过程的处理
数学概念的抽象性决定了数学概念教学的特殊性，从直观感知，到非形式化表述，再到抽象概括，需要教师有序地组织与展示素材，让学生充分接受形象、具体的刺激，在此基础上适度地展开对概念非形式化的辨析，借助技术的辅助与问题的铺垫，层层递进，达到对概念的有效概括.
（1）如何有序地组织展示教学素材？
操作方式：借鉴各版本教材及优秀案例，经过课题组讨论，拟定引入阶段的素材及其展示顺序：
（改编湘教版教材例1）引例1：区间[0，4]中随机投掷一个质点，求质点落在区间[0，2]中的概率.
（改编苏教版教材例1）引例2：取一个边长为4的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落在圆内的概率.
在直观感知的基础上，适当借助信息技术操作确认直观的判断.
设计说明：不少版本的教材（包括人教A版）采用“转盘游戏”作为引入阶段的引例，结合过往教学实际以及已有的论文反思，课题组讨论认为“转盘游戏”虽然具有浓厚的生活气息，但学生在测度的选择与转化上存在较大的困难，故改编设计“区间投掷质点”与“丢豆子”两个引例.通过教学实践，结合学习的反馈，课题组一致认为拟定这两个引例具有以下几个优点：（1）基本事件的无限性容易被发现；（2）测度简单明确，容易辨识；（3）引例1为纯数学背景，测度为长度，与古典概型类似但不难识别其不同，引例2为应用背景，测度为面积，与随机模拟相关且容易看出其联系，同时也可以让学生认识到数学内部的衍生及现实生活的需要是数学概念产生的两个最主要的动因；（4）符合“课程标准”“考试大纲”的要求：能运用模拟方法（包括计算器产生随机数进行模拟）估计概率.
概念从直观到形式化，教师需要让学生充分体验概念的非形式化过程，信息技术融入教学为概念非形式化过程提供了传统教具与手段难以比拟的优势，相比于严谨逻辑推理的枯燥，技术的辅助除了可以引起学生的兴趣，也能更好地揭示问题的本质：借助计算软件Scilab或办公软件Excel中的“rand（
）函数”产生随机数，让学生自己动手操作确认引例1的计算结果；借助数学软件GeoGebra，教师可以数形结合形象地展示引例2的计算过程与结果.
（2）如何有效地进行概念抽象概括？
操作方式：通过一组变式题，分别以长度之比、面积之比、体积之比表示概率，采用不同的测度之比，给予学生更丰富的体验.
变式1：借助“几何画板”绘制数轴，在数轴上取两个点A、B，坐标分别为x=2和x=4，将引例1转化成数轴形式表述.
变式2：借助“几何画板”绘制平面坐标系，取三个点A（4，0）、B（4，4）、C（0，4），在正方形OABC内绘制一内切圆，将引例2转化成坐标轴形式表述.
变式3：借助“几何画板”绘制空间坐标系，取七个点A（4，0，0）、B（4，4，0）、C（0，4，0）、O′（0，0，4）、A′（4，0，4）、B′（4，4，4）、C′（0，4，4），在正方体OB′内绘制一内切球，在正方体内取一个点，求点取自内切球的概率.
在三道变式题探究的基础上，引导学生对概念自定义，通过自我建构，用自然语言表述对概念的理解.
设计说明：在三个变式问题的对比分析过程中，始终将“基本事件”的分析作为解决概率问题的着眼点，进一步从等可能性、无限性两方面来辨析古典概型与几何概型的异同，深化学生对几何概型基本特征的体会.让学生探究它们的共同点，归纳几何概型的特点，并观察它们的不同点，分析不同类型测度的辨识，使学生的思维从一维的长度到二维的面积再到三维的体积，有梯度地提升.
形式化的定义是科学严谨的，但对学生来说是不好理解、不易记忆的，利用幻灯片将学生预习导案中对概念的自我定义展示出来进行辨析，可以充分地暴露学生对概念的认识存在的偏差.
在实例的直观感知、技术辅助操作确认、变式题组的正例强化基础上，结合学生对概念的自我定义及辨析，使学生经历对概念从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认知过程，逐步养成透过事物的表象把握本质的思维方法，培养学生的理性思维能力、抽象概括能力.
3.重点、难点的定位与突破
准确的定位并突破教学重点、难点是有效教学的关键.对于本节课的重点、难点，课题组存在较大的争议：（1）测度的分析是本节的重点，需要在哪几种测度类型的直观感知下抽象出几何概型的定义？定义抽象后又需要设计哪几种测度类型的例题、习题？是否需要分析测度为0的情况？（2）随机模拟方法是本节的难点，“课程标准”与“考试大纲”虽有明确的要求，但考试却难以考查，该方法是否可以删去不教，以便节省课时？（3）引例的转盘游戏隐含对测度多种选择（包括角度）的讨论，这样的引例是否采用？如果采用，引发的讨论如何处理？课改后的几何概型高考试题都是测度简单的长度、面积或体积三种情况，符合“课程标准”与“考试大纲”的要求，是否需要拓展其他测度的分析？是否需要增加测度转化较难的例题？（4）表述规范问题一直是概率统计解题教学的一个难点，教材本身的例题解答并没有一个明确的统一标准，高考试题也都是以客观题形式为主，例题分析的时候如何规范解题格式？
（1）教学重点是什么？如何突出重点？
经过课题组讨论，在实践的基础上，将测度的判断与解题的规范化定位为本节的重点，借鉴其他版本教材，将人教A版“转盘游戏”引例适当改编，设计出变式题组1，结合四个引导性的讨论辨析，突出重点.
变式题组1：①某力气较小的女生投掷铅球，投掷区为圆心角60°的扇形，如图3（1）所示，1、2、3三个扇环区域的宽度相等，假设她每次都能将铅球投进投掷区，探究如何计算她将铅球投进区域1的概率.
②利用多媒体课件展示一个半径为3的大圆，内含一个半径为1且可在大圆内移动位置的小圆，如图3（2）所示，探究向大圆内投掷质点，质点落在小圆内的概率.
③利用实物教具展示圆形转盘，如图3（3）所示，探究指针落在阴影区域的概率.
引导辨析1：题①能否用几何概型计算公式求解？
引导辨析2：题②的小圆位置是否会改变概率大小？
引导辨析3：题③可以选择哪些测度比进行计算？
引导辨析4：当题②的质点落在小圆圆周上，题③的指针落在两区分界直径上时，概率如何？
设计说明：引导辨析1从“基本事件是否等可能”角度让学生辨析问题是否为几何概型，通过反例，让学生进一步明确判断“是否等可能”对概率模型构造的重要性.
引导辨析2通过区域位置变化对概率的影响，让学生认识到事件的概率与区域的大小有关，而与区域的形状与位置无关.
引导辨析3利用一题多解，让学生体验测度选择的多样性及合理性，在弧长比、面积比、圆周角比等不同的解法中归纳几何概型的解题步骤“记（标记变量）——判（测度说明）——算（计算概率）——答（总结描述）”以及答题范式.
引导辨析4针对学生可能出现对质点落在圆周上或指针落在分界直径上的疑问，辨析“测度为0”的情况在几何概型中的处理方式，深化对概率为0与不可能事件的理解，完善学生对几何概型的认知.
（2）教学难点有哪些？如何突破难点？
经过课题组讨论，在实践的基础上，将测度的转化与随机模拟方法定位为本节课的难点，研究相关论文反思，将人教A版例1、例2做适当改编，设计出变式题组2，作为课堂的第二组例题进行分析.将苏教版教材课后的探究拓展题“贝特朗问题”做适当改编，设计出变式题组3，作为课后的拓展性作业.
变式题组2：①甲船在6:00-12:00的整点时分出港，求甲船在8:00之前出港的概率
②甲船在6:00-12:00的任意时刻出港，求甲船在8:00之前出港的概率.
③甲船在6:00-12:00，乙船在8:00-14:00的任意时刻出港，求甲船先于乙船出港的概率.
引导辨析1：题①能否用几何概型计算公式求解？
引导辨析2：题②的变量有几个？变量的类型是什么？变量的变化范围又是什么？
引导辨析3：题③的变量有几个？变量的类型是什么？变量的变化范围又是什么？
引导辨析4：题②、题③与文章开头两个引例有何异同？能否用随机模拟的方法解决？
设计说明：引导辨析1从“基本事件是否有限”角度让学生辨析问题是否为几何概型，通过反例，让学生进一步明确判断“是否有限”对概率模型构造的重要性.
引导辨析2、辨析3从变量个数、类型及变化范围角度进行引导，让学生认识到：当变量为一维点时，其变化的测度为长度；当变量为二维点时，其变化的测度为面积
辨析4引导学生回顾概念抽象前的引例，在类比的基础上，强化随机模拟数方法，通过引入阶段、形式化阶段以及概念应用阶段的反复运用，层层递进，不断地深化随机模拟数方法.
变式题组3：①等腰直角△ABC的直角边长为2，动点P在斜边BC上移动，求BP≤AB的概率.
②等腰直角△ABC的直角边长为2，射线AP在∠BAC内移动并与线段BC交于点P，求BP≤AB的概率.
设计说明：结合对“课程标准”“考试大纲”的研读，基于高考的现实，借鉴苏教版的处理方式，课题组讨论将测度为角度的几何概型作为课后拓展性的作业布置给学生探究，而不作为课堂的例题进行呈现.
4.师生交流的途径与方式
形式化过程中，教师对学生的概念自定义进行辨析纠偏；概念应用阶段，学生通过教师针对性的引导积极地参与讨论；概念教学前，教师借助预习导学案获取学生现有的认知结构；课堂教学中，学生利用学习记录单对自身的认知发展进行过程性的记录.整个教学过程中，师生始终都在进行有效地交流.学生在良性的互动过程中，不断深化对问题的理解，最终达到对概念本质的把握.
（1）课堂上该做哪些互动交流？
概念的形式化过程中需要学生概念的自我定义与教师的辨析纠偏：在引例分析后，概念抽象前，让学生多经历一段非形式化的过程，充分展示不同学生对同一概念的不同理解与表述，在此基础上，师生对各种类型的表述进行辨析纠偏，达到对概念的准确概括.
概念的应用阶段需要教师的有效问题设计引导，并与学生积极地讨论探究：在概念抽象后，具体应用中，教师应该有目的地在解题中引导学生进行讨论，如变式题组1中的四个引导辨析，教师有针对性地提出“等可能的判断”“区域的位置的影响”“测度的判断与选择”及“测度为0的分析”四个关键问题引导学生进行辨析讨论；再如变式题组2中的四个引导辨析，告诉学生在测度的识别与转化过程中，需要注意思考问题中的“变量个数”“变量类型”及“变量的变化范围”.
（2）课外需要哪些互动交流？
课前的预习导案是了解学生的认知结构的重要平台：通过预习导案，了解学生学习前的疑惑、认知的障碍以及对概念的理解水平，对于合理地、有效地设计课堂教学具有重要的参考价值.
课堂的学习记录单（图4）是教师了解自己教学是否有效的重要载体：通过课堂学习记录单，及时记录学生在听课过程中存在的疑问，以及对教学的真实的体验与评价，这对教师改进教学方式与设计下节课教学方案具有重要的指导意义.
