数学解题教学是非之争及思考，本文主要内容关键词为：之争论文,是非论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
美国数学家哈尔莫斯(P.P.Halmos)说：“数学的真正组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏。”美籍匈牙利数学家、数学教育家G·波利亚(George Polya)称：“掌握数学就意味着善于解题。”罗增儒先生认为：“数学学习中真正发生数学的地方都一无例外地充满着数学解题活动。”[1]张乃达先生指出，“数学教育应该以解题为中心”“解题教学正是达到教学目的的最好手段”。[2]可见，在数学家、数学教育家眼里，解题和解题教学具有举足轻重的地位。的确，在数学教育中，无论是概念的形成，定理、公式、结论的推导，还是过程、方法的探索都离不开解题教学。解题教学之所以重要与其教学功能有着极大的关系。由于解题的每一步都离不开所学的数学知识和技能，因此，解题既是对原有知识和技能的应用，又可保持并巩固相应知识的记忆，提高相应技能的熟练程度；通过解题教学还可使学生提高和发展推理能力、化归能力、形式化处理问题的能力、分析和解决问题的能力，因此，数学教育中解题教学几乎成了实现数学教学目的的必不可少的手段。
一、解题教学是我国数学教育的重要组成部分
中国数学教学大纲、教材和课堂教学多年来都注重基础知识与基本技能的掌握，因此也都强调解题的训练，数学教材中提供了解题教学的例题、课堂练习和课后习题，课堂内外都充满了解题教学和解题训练，中国因而常常被称为“解题大国”。
1952年教育部颁发的《中学暂行规程（草案）》中，提出了中学的教育目标之一是使学生获得“现代科学的基础知识和技能”，这是我国首次明确提出数学“双基”的教学。[3]之后，在历次教学大纲和教材编写指导思想中都十分注重强调“双基”的教学。1963年教育部颁布的《全日制中学数学教学大纲（草案）》明确指出：为了保证学生牢固地掌握基础知识，具有正确而迅速的计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和空间观念，并且能够灵活运用，必须切实地加强练习。[4]
事实上，小学数学教学大纲和中学数学教学大纲一样，同样提出了“双基”和加强练习的要求，重视解题教学，为了切实掌握和巩固“双基”，培养学生的三大能力，尤其是正确迅速的运算能力，教学大纲要求必须切实加强练习。因此，教学中教师大量讲解例题，学生的课内外作业几乎都是解题训练，解题教学成为学生理解和深化数学知识、培养学生技能技巧、学会数学思维方式的重要教学活动和手段，也成为我国数学教育的重要组成部分，甚至成为我国中小学数学教育的优势和特色。在数学课程加强逻辑系统性，教学内容崇尚逻辑严密的年代，中国数学教育工作者通过习题训练的分析研究，总结出了“讲深讲透”“精讲多练”等提高解题教学水平的方法，“变式教学”则是所谓“精讲多练”方法之精髓所在。扎扎实实的解题教学尤其是针对英才的解题教学还使我国在国际数学奥林匹克竞赛上自1986年以来连续15次取得了令国际瞩目的佳绩。由此，数学解题教学在我国数学教育中的重要地位更加明显。
二、解题教学的一些主要问题争鸣与反思
新中国成立以来，我国一直重视数学解题教学。1977年高考恢复之后，由于出现了“千军万马过独木桥”的趋势，应试教育开始加剧，富有中国特色的数学解题教学被异化，精讲多练发展成“题海战术”，解题思维教学变成解题模仿教学。人们在数学解题教学的实践中出现了不同的倾向，认识上产生了分歧，我们把这些都作为数学解题教学中的争鸣问题予以讨论。
（一）解题教学是模仿教学，还是思维教学
在我国数学教学实践中，对解题教学的认识并不一致，引起了解题教学行为的不同倾向：解题教学是教学生学会模仿做题？还是教学生学会思维、学会思考？这也是一直有争议的问题。
众所周知，行为主义、认知主义和建构主义教学理论对数学等学科教学产生了很大影响。就数学解题教学而言，这些学派的教学理论影响着我国中小学数学课堂教学实践，广大教师对解题教学的认识也常常出现观念上的不同，从而引起实际教学行为的差异，出现解题教学的不同倾向。那么，解题教学究竟应该属于模仿教学，还是属于思维教学呢？
一种倾向：解题教学是模仿教学。
模仿教学，简单地说，就是解题教学以教师课堂解例题为示范，学生课后模仿练习为主，把教学建立在学生的模仿性、被动性和依赖性上，实质是一种接受学习。追溯模仿教学的起源，在教学论发展史上可以溯源到17世纪捷克教育家夸美纽斯倡导的“自然适应”的直观性和巩固性教学原则，强调观察、“模仿+记忆”的方法对学习的作用。美国心理学家奥苏贝尔对接受学习有系统论述。“模仿教学”以行为主义学习理论为基础，认为解题教学就是解题教学行为上“刺激—反应”的变化。
模仿教学对数学等学科教学实践有很大影响，许多教师认为解题教学就是教师例题示范，学生练习模仿，课堂教学就是给学生讲清解题思路与步骤，学生解题时模仿效法。持这种观点的人们认为，中小学生具有较大的可塑性，模仿能力强，在解题教学中，不需要向学生解释过多的道理，只要认真做好解题步骤、思路和解法等方面的示范，让学生进行模仿，就可以巩固数学知识，掌握解题方法，实现解题教学的目的。特别是对低年级学生来说，由于智力发展尚未成熟，模仿是一种不可替代的解题教学方法。这里要说明的是、模仿不是生搬硬套的仿效，而是一种有意义的接受学习，模仿使学生逐渐获得解题的基本思路、方法和技能，渐渐地由生变熟，直到驾轻就熟，达到提高解题能力的目的。因此认为，模仿是学生学会解题的一种基本方法，解题教学属于模仿教学。
另一种倾向：解题教学是思维教学。
思维教学，是指解题教学不仅在于解题基本活动形式本身，更重要的是解题认知活动思维的产生，实质上是一种发现式学习。思维教学最早可以追溯到苏格拉底的“产婆术”，18世纪法国启蒙运动思想家、教育家卢梭曾倡导发现教学，现代美国教育心理学家布鲁纳则对发现学习有过精辟的论述。思维教学是建立在以建构主义为基础的认知心理学的基础之上的，认为解题教学就是解题思维认知结构的变化。
坚持解题教学是思维教学的人认为，解题教学的本质是思维教学。第一，解题教学是解题活动的教学，而活动的本质属性是解题思维的活动。因此，解题教学就其本质来说，是对解题思路的分析活动，是对解题方法的感悟与思考，是对学生解题思维活动的调动与展开，从而达到对学生理解及概括水平的培养。第二，解题教学是学生解题思维认知结构建构的过程教学。奥加涅相在《中小学数学教学法》中曾指出：“思维和解题过程的密切联系是公认的。著名心理学家O.K.吉霍米诺夫也具体地阐述过这种联系：‘在心理中，思维被看做是解题活动。’虽然思维并非总等同于解题过程，但是有理由断言，思维形成最有效的办法是通过解题来实现。”[5]因此，解题教学不仅要向学生暴露“怎样解题”的思维过程，还要向他们展示“为什么这样解”以及“怎样学会解”的解题认知结构建构的思维方法，教师应尽量让学生的解题思维活动显性化，也就是多让学生进行交流思考，使学生清晰地认识到自己解决问题的依据、步骤、原因和所产生的思维障碍。换言之，解题教学的金科玉律是达到对学生思维训练的目的，因而，解题教学本质上应该是一种思维教学。
模仿教学在一线教学中较为普遍，尤其在小学和初中阶段更普遍，这种解题教学的直接结果就是学生听得懂但并不真正会解题，因为学生并没理解为什么要这样做，即学生不能理解解题活动的本质，例如，当让学生对
进行配方时，学生却当作方程来解或对其进行因式分解，[6]“只能就题论题地掌握某具体活动的外部操作方式”[7]。模仿教学长此以往将会削弱学生学习技能内化的质量，阻碍学生思维品质的提高，究其缘由是对解题教学的本质与功能缺乏深刻认识所致。“模仿+记忆”的套路式的解题教学适应于学习的初始阶段，尽管模仿教学能适应考试，但模仿教学是一种机械学习，不能创新，不能作为一种模式持久下去。
在素质教育观下解题更应有解题理解，获得对数学解题认知思维结构的认识，获得对解题思想方法的元认知认识，如解题思维过程：用什么方法去做？为什么要用这个方法？是否还有更好的方法？哪一种方法最优？等等。这实际是获得对解题认知活动的元认知。“数学是思维的体操”，解题教学应当教会学生数学思考，培养学生自主、合作、探究的学习方法，这才是解题教学的根本目的。
（二）解题教学是坚持“题海战术”，还是倡导“精讲精练”
解题教学方法是指数学解题教学活动的具体实现方式，“题海战术”与“精讲精练”是实施解题活动的两种基本对立的形式。从方法论的角度来看，两种方法的不同不仅在于解题量的“多”与“少”的问题，而且反映两种不同的数学教育观、解题教学观和解题观的问题，实质反映了数学解题教学的一个根本性的有争鸣的认识问题：数学解题教学是要做大量的题，还是只需做少量的题？
一种倾向：解题教学应当坚持“题海战术”。
题海是客观存在的课程资源，题海战术就是让学生做大量的题，熟悉各种题型及其解法。坚持解题教学是“题海战术”的教师认为：“题海战术”对提高学生的能力有一定的积极作用。“题海战术”既是我国传统文化的传承，更是我国解题教学的法宝。我国古代提倡的“熟能生巧”“拳不离手，曲不离口”“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟”的古训都显示了大量训练对学习的重要性。我国学生多次在国际性评估中成绩名列前茅的事实，从正面肯定了我们的传统做法：大量数学习题训练和经常性测验考试，是提高成绩的有效途径。[8]不少教学质量较高的学校，尤其是高考升学率高的学校，成绩优秀的学生，甚至多届全国高考状元，在谈到成功的经验时，都对“题海战术”抱以肯定的态度。根据行为主义理论，人类的学习行为是操作性条件反射的结果，是教学环境的刺激和学习行为反应之间的连接，它随练习次数的增多而加强。[9]因此，在解题教学中，学生不涉入“题海”，不经过足够的训练，是不可能真正掌握解题方法和解题思路的，解题能力也是难以提高的。大多数一线教师在教学实践中感触颇深，学生只有通过大量的做题训练，才能加深对数学知识的理解和掌握，才能提高解题技巧和答题速度。因此认为，“题海战术”对于解题教学，是非常必要的，应该坚持。
另一种倾向：解题教学应当倡导“精讲精练”。
“精讲精练”与“题海战术”相对立，“精讲”在德国教育家瓦根舍因“范例教学”的教学论思想中也有体现，意指教师在解题教学中要选择真正基础的本质的知识作为解题教学内容，通过“范例”内容的讲授，使学生达到举一反三掌握同一类知识规律的方法。“精练”的含义与“精讲”相得益彰，坚持解题教学应当“精讲精练”，符合波利亚数学解题思想。波利亚反对让学生做大量的题，认为一个数学教师，“如果把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展……”[10]。换言之，与其让学生做大量的反复性的题目，还不如选择一个体现多种思想方法功能的又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，获得对数学解题思想与方法的认识。“精讲”的目的在于促使学生独立学习，而不是要学生被“填鸭式”地灌输知识，要使学生所学的知识能够迁移到其他方面，进一步发展新的学习知识。同时“精练”也不是“不练”，而是“练”要有尺度，体现度和量的有机统一。因此，解题教学应当倡导“精讲精练”。
我国数学解题教学长期倡导“精讲多练”，但“多练”的度难以把握，在应试教育的氛围下，多练常被异化为“题海战术”。“题海战术”的本质是要做大量的题，以达到“熟能生巧”的目的。“题海战术”是应试教育的产物，目前，在片面追求升学率的影响下，扎扎实实地进行着“题海战术”式的强化训练在中小学常见，表现为，为应付各类考试，教师们让学生进行着大量反复的题型、题组训练，以期从量变到质变，达到考试得高分的目的。考试试题是“题海战术”的风向标，由于中考、高考中时有偏题、怪题出现，数学教学实践中，忽视传统题常规题的典范作用及“双基”的训练，忽视思维过程的教学，而一味追求解题的新、奇、巧，追求偏题怪题的现象普遍存在。这样，师生在题海中越陷越深，“题海战术”越演越烈，最终导致在课堂上数学教学演变为纯解题教学，解题教学则被异化为“题海战术”。
“题海战术”是与应试教育相伴而生的一种教育现象，“题海战术”从出现至今就一直存在争议，其根源在于教育考试制度的弊端。“题海战术”加重学生的学习负担，不利于学生创新能力培养，并且损害学生身心健康，这是与数学素质教育背道而驰的，我们应当清醒地认识其危害性，积极进行解题教学改革，提高解题教学效益，应当倡导数学解题教学素质教育教学目标，在解题教学中大力推进实施“精讲精练”，把学生和教师从题海里解放出来，使数学素质教育得到真正落实。从多练到精练不仅有认识观点上的激烈碰撞，还有教学方法的重大改革，还需进行积极探索。
（三）解题教学中应用题教学是否应当划分问题类型
新中国成立以来，应用题一直是我国中小学数学的重要教学内容，在教材中具有极其重要的位置。解放初期，我国各行业百废待兴，“向苏联学习”成为当时的重要选择。1952年颁布的建国后第一个教学大纲，遵循了“对苏联大纲的内容和体系一般不做大的改动”“先搬过来后中国化”的指导思想，以当时苏联初等学校教学大纲为蓝本编制而成，对应用题划分类型的做法随之从苏联传入我国。在1956年修订大纲中，应用题类型名称又被一一列出，如归一问题、倍比问题、相遇问题、植树问题、工程问题、行程问题等。[11]
自应用题类型名称在我国出现后，围绕这个问题的争鸣便没有间断过，特别是20世纪80年代曾开展过大讨论，并出现了截然不同，甚至是完全对立的观点。
一种倾向：应用题教学不应划分问题类型。
坚持应用题教学不应划分问题类型的教师认为：教师在教学中，把各种应用题划分为不同的问题类型，致使应用题教学“模式化”。学生把学习的重点放在死记硬背问题类型、生搬硬套解题程序上。学生做题时，往往是首先辨别问题类型，然后模仿解题套路，而较少对其中的算理进行深入思考。长此以往，将会严重阻碍学生思维的发展和创新能力的培养。特别是，在应试教育的影响下，教师为了让学生牢固掌握各种类型的应用题，常会采用“题海战术”的做法，布置大量的不同类型的应用题，不仅加重学生的学业负担，更易导致学生产生厌学情绪，更何况有些应用题是根本不能划分类型的。因此，应用题教学不需要划分问题题型。
另一种倾向：应用题教学应该划分问题类型。
坚持应用题教学应该划分问题类型的教师认为：数学本来就是一门关于模式的科学，把应用题分为不同的问题类型，可以让学生从总体上把握应用题的概貌，辨析各类应用题的结构特征，把握各种题型的解题方法。对应用题划分不同类型，不仅有利于发展学生的抽象概括能力，而且可以提高解题速度。再者，典型类型的应用题是各种较复杂应用题的组成部分。只有掌握了典型类型的应用题，才能更好地解决各种不同的应用题。总之，把应用题划分为不同问题类型，对于教师的教和学生的学都是非常有益的。我们何乐而不为呢！
在应用题教学中，把应用题划分为不同问题类型，既有利，也有弊。我们认为，应用题教学的目的不仅仅是让学生巩固数学知识和解决特定类型的应用题，重点是培养学生独立的分析问题、解决问题的能力。在现实生活中，有些实际问题难以划归为哪种问题类型，要解决这样的问题，学生只能认真分析题意，挖掘题目中隐含的数量关系，寻找解题思路，从而得到问题的答案。如果教师在教学中过于重视应用题分类教学，那么学生对难以说清属于哪类问题类型的题目将很不适应，甚至是束手无策。所以，对于应用题教学，我们的观点是，应用题教学可以作为让学生了解介绍一点应用题的问题类型，但是不应过于关注应用题的问题类型。应用题解题教学时要通过认真分析题意，探寻题目中隐含的数量关系，重点放在学生分析问题和解决问题的能力培养上。
（四）解题教学中“问题解决”是否应该替代传统解题教学
在国际数学问题解决潮流进入我国之后，国内数学教育方面的专家学者为了让我国数学解题教学摆脱“题海战术”的困境，大力提倡“问题解决”。随着素质教育的推进，特别是在新课程改革背景下，数学教育的观念、教学内容和教育方法都发生了深刻的变化，传统解题教学更是成为众矢之的，遭到许多人的指责，“问题解决”教学大有替代传统的解题教学之势。在这一背景下，对于“问题解决”是否应该替代传统解题教学出现了不同的看法。
一种倾向：“问题解决”教学应该替代传统解题教学。
传统解题教学中面对的题目往往是一些人为编造的、属于特定类型的题目，它们具有接受性、封闭性和确定性等特征，其结构是常规的，答案确定、条件不多不少，[12]解题的过程只是套题型之后的“算法化”。传统解题教学的题目更多的是培养学生学习程序化的规律性的东西，对学生思维的训练作用大打折扣。社会的进步要求人们具有现代化的数学修养，具有发现、提取、分析和处理信息的能力。从这个角度来看，原来的传统解题教学极不适应现代社会所必需的收集处理信息数据、发现和提出问题、合情推理以及估计意识、应用意识、运筹和优化意识、创新意识等各种能力要求，极不利于国家创新型人才的培养。因此一些人认为，问题解决教学应该替代传统解题教学。
另一种倾向：“问题解决”教学不应替代传统解题教学。
“问题解决”教学虽然有利于培养学生分析、解决实际问题的能力，但是，一般来说，“问题解决”教学中涉及的问题较为复杂，既有实际问题背景，又包括多重关系，特别是问题中的数量关系较为隐蔽，对相当一部分学生来说，存在一定难度。如果学生不经过传统解题教学的训练，直接接受“问题解决”教学，可能不仅不会提高学生分析和解决实际问题的能力，反而会越学越糊涂，即使基础的应用题也不能完成，最终制造出更多的差生。因此，有专家提醒，莫让“问题解决”成为“问题”。也就是说，学生只有将传统的应用题学好了，即打好了“双基”，才谈得上进行高层次思维水平的问题解决教学，否则，只能是适得其反。因此认为，“问题解决”不能替代传统的解题教学。
从传统的解题教学到“问题解决”教学的提出，既是社会发展的需要，也是数学教学观演变的结果。信息社会要求学生学会生存、学会创新、学会合作、学会适应，因此，数学教育应立足于提高学生的素质，特别是数学素养的提升。与传统的解题教学相比，“问题解决”教学一般按照“问题情境→建立模型→解释→应用→拓展”的思维模式进行，这更有利于开展探索与合作交流，培养学生的综合实践能力，这正体现了素质教育时代数学教育素质目标。同时，我们也要看到，传统的解题教学对于学生巩固基础知识、掌握基本的解题能力是不可或缺的。有经验表明，“问题解决”教学是培养学生创新精神、创新意识的重要渠道，传统的解题教学正是“问题解决”教学不可逾越的基础。因此，我们不应该把“问题解决”教学与传统的解题教学对立化，更不能让“问题解决”教学完全替代传统的解题教学，应该把“问题解决”教学看做是解题教学内涵的丰富与发展，是时代对解题教学赋予的新的意蕴，是对传统的解题教学的补充和提升，更是素质教育背景下加快解题教学发展的有效途径。
新中国成立60年来，尽管数学解题教学见于文字的争鸣并不多，但是实践中，解题教学的发展与争鸣一直如影随形。正是由于来自实践和研究中的解题教学争鸣与反思才促进了我国解题教学的发展。实际上，解题教学不是数学教育的专利，物理、化学等学科教育都涉及解题教学，都在不同程度上经历着数学解题教学中出现的问题。因此，探讨数学解题教学中出现的争鸣，对于更好地认识和解决各学科教育解题教学实践中出现的问题，可以说是一个很好的参考和借鉴。
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