关于推理规则的表述——也谈数理逻辑教材中的一个问题，本文主要内容关键词为：数理逻辑论文,一个问题论文,也谈论文,规则论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B 813文献标识码：A文章编号：1000-5455(2002)06-0130-02
陈慕泽教授在《全称概括规则和受限制的演绎定理》一文（注： 该文发表于《浙江社会科学》2001年第2期。）中指出，国内一些有代表性的数理逻辑教材（如王宪钧的《数理逻辑引论》，北京大学出版社1982年版，以下简称《引论》）关于推理规则的表述存在一个问题：推理规则（变形规则）作为逻辑系统的出发点之一，其表述带有符号“├”，而后来在关于“有前提推演”和“演绎定理”的表述中，推理规则又没有了“├”。这里存在不一致性或不协调性。相比之下，国外的同类教材或著作在表述推理规则时大都不加“├”，如希尔伯特和阿克曼合著的《数理逻辑基础》（注：国内有些著作也没加“├”如：宋文淦的《符号逻辑基础》，北京师范大学出版社1993年版；刘壮虎的《逻辑演算》，中国社会科学出版社1993年版，等。）。“├”加在一个公式左端如“├A”，表明公式A在本系统内被断定，也常常被称为：A在本系统是可证的。《引论》表述的推理规则都使用了“├”。如分离规则被表述为：从├A和├A→B，可得├B。命题变项代入规则被表述为：从├A，可得├A
。后件概括规则被表述为：从├A→B（△），可得├A→（△）B（△）。这意味着，推理的前提只能是本系统的公理或定理，而不能是其他命题或假设。然而，《引论》又引入“有前提推演”（即以公理或定理以外的其他命题为前提的推演）和相关的“演绎定理”。这样便导致推理规则在表述上和使用上的不一致性或不协调性。
笔者认为，陈慕泽教授指出这一点是正确的，而且这对于以严密性著称的逻辑学教材来说是重要的。如何消除这种不一致性或不协调性呢？一种选择是不引入有前提推演和演绎定理，但这样会使逻辑系统的推演功能或实际功能受到损害。另一选择是在所有推理规则的表述中都不加“├”，这样便允许所有推理规则用于本系统公理和定理以外的其他命题。然而，这样做对于代入规则和概括规则（包括后件概括规则和前件存在规则）是不合适的，因为它可能会由真前提得出假结论，从而使推理失去保真性。正因为此，在引入有前提推演和演绎定理时不得不对推演加以限制，即对公理和定理以外的命题不允许使用代入规则和概括规则。后一方案被许多逻辑系统所采用，但我以为这并非最佳方案。
在笔者看来，许多数理逻辑教材出现那种不一致性或不协调性的根源是：要么对推理规则都加“├”，要么都去掉。都加“├”的不一致性是明显的，这一点陈慕泽教授已经指出；而都不加“├”的不一致性则不太明显，但并非没有。其不一致性在于：在引入有前提推演和演绎定理时必须对推演加以限制，这使“推演”这个重要概念暗含一种歧义性。
笔者主张，只需把分离规则和置换规则的“├”去掉，其他如概括规则和代入规则的“├”仍然保留。这样，在阐述有前提推演和演绎定理时也就不需要对概括规则和代入规则的使用加以限制，因为概括规则和代入规则根本不能用于非定理的前提；或者说，那种所谓不加限制的有前提推演实际上不是推演，而是对概括规则和代入规则的误用。
在这一点上，陈慕泽文章的观点与我不同，他倾向于把所有推理规则的“├”都去掉。其理由是：“├”被解释为“可证”，但是，“在定义推理规则时，是不能用‘可证’这个概念的，因为，何为‘可证’，只有基于推理规则才能定义。”这就是说，把“├”或“可证”用到推理规则上是一种循环定义。不过在我看来，这个说法是有问题的。为了澄清这个问题，让我们首先看一下证明的严格定义。
在一个公理系统中，“证明”可定义为：证明是一个有穷的公式序列，其中每一公式都符合以下条件之一：1.是一公理。2.是一已证定理。3.由本序列在前的公式经过推理规则（变形规则）而得到。4.最后一个公式是所要证明的定理。（参阅《引论》第51页）由此定义可以看到，单单一个公理也叫做关于这个公理的一个证明，但这个证明不经过推理规则。因此，即使把公理前边的“├”解释为这个意义上的“可证”，也不存在循环定义。相应地，当推理规则用于公理时，其表述中含有“├”，不存在循环定义。进一步，以上“证明”定义中的第2条可以还原为第1条，因为任何定理最终是由公理经过推理规则得出的。因此，把推理规则用于定理，其表述中含有“├”也不存在循环定义，或者说，这个循环只是表面上的。
陈慕泽教授之所以认为在推理规则的表述中用到“├”或“可证”是一种循环定义，可能他所说的“可证”并非以上严格意义上的“可证”，而是通常人们理解的那种必须经过推理规则的狭义的“可证”。这种“可证”当然不能用于公理和推理规则本身，否则就会出现他所说的循环定义。当我们用严格意义的“可证”来代替这种狭义的“可证”，所谓的循环定义自然不会出现。严格意义的“可证”相当于“在本系统内被断定”，而在本系统内被断定并非一定经过推理规则，如公理在本系统内被断定就不经过推理规则。
顺便提及，在一次讨论中有学者提出：《引论》关于推理规则的带“├”和不带“├”的两种表述可能出于两种不同的语言层次，即元语言和对象语言。如果这样，关于推理规则的这两种不同表述便不构成矛盾。从《引论》的有关内容来看，关于有前提推演和演绎定理的表述是元语言的，然而这并不能消除上面所谈的不一致性或不协调性，因为元语言可以包含对象语言。《引论》中的有关陈述正是如此。
《引论》把由A到B的“有前提的推演”看做这样一个公式序列：“(1)一公理或一定理。(2)一前提A[,i](1≤i≥m)。(3)由本序列在前的一公式或两公式根据变形规则得到。(4)最后的公式En为B”（该书第175页）。这里(3)明确指出“根据变形规则得到”，而该书正式表述的变形规则（推理规则）带有“├”。这便使得，以上意义的有前提推演就不能实现，演绎定理也就无从谈起，因为所有变形规则在有前提推演中都不能使用。这显然不是《引论》的本意。可见，这里所说的“变形规则”是不带有“├”的。但这样一来又与《引论》关于变形规则的表述不相一致。
总之，这里确实存在着某种不一致性或不协调性。在这一点上，笔者赞同陈慕泽教授。
收稿日期：2002-09-02