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代数推理题是高考的热点题型之一。教育部考试中心在网上发布的信息中指出：由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次。这类问题，常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，因而，对学生的综合能力提出了较高的要求。
从近几年高考情况来看，除1998年外，代数推理题的得分率几乎每年不到20％。为此，广大中学师生心有余悸，甚至称之为数学高考航程中的一座冰山，难以逾越。本文试图通过高考命题、课程、教材、教法等多个方面，透视这一热点问题。
1 代数推理成为高考热点的原因分析
1.1 考查知识内容的衔接点
就知识内容而言，初等数学是高等数学的准备和基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。高考作为高校的选拔性考试，无疑应关注两者内容的衔接点。从这一角度设计的试题，观点高，立意新，对中学教学具有良好的导向作用，对于升入高校的学生的学习，又能产生既熟悉又陌生的良好心理效应。
例如，二次函数在闭区间上的最值、二次方程根的分布等，不但是初等代数中研究的核心内容，而且为今后高等数学中连续函数性质（有界性，具有最大、最小值，零点存在定理等）的学习，提供了丰富的感性材料，因而成了高考命题青睐的对象。现举两例：
成立？并证明你的结论。（1995年高考题）
评析：两题的背景均为高等数学中函数的凹凸性。对于多数中学生而言，函数的这一特性仅停留在直观认识上，中学教材中并没有给出这方面性质的描述，因而具有一定的新颖性。但依照目前中学生的认知水平，确立好解题目标，加以演算推理，完全可以达到证题的目的。上述两题，由于命题的立意、背景、角度均抓住了初、高等数学的衔接点，因而显得不同凡响，深受广大师生的好评。
1.2 考查思想方法的结合点
知识内容的衔接，必然会带来解题思维方法的融合，况且，数学思想方法的自觉运用，必须经过长期渗透，方能收到实效。由于中学教学研究内容的局限性，这一脱节现象极为严重，应引起我们高度的重视。
例3 已知a、b、c是实数，函数f（x）＝ax[2]＋bx＋c，g（x）＝ax＋b，当－1≤x≤1时│f（x）│≤1。
①证明│c│≤1；
②证明当－1≤x≤1时，│g（x）│≤2；
③当a＞0时，g（x）的最大值为2，求f（x）。
（1996年高考题）
例4 设二次函数f（x）＝ax[2]＋bx＋c（a＞0），方程f（x）－x＝0的两个根x[,1]、x[,2]满足0＜x[,1]＜x[,2]＜1/a。
①当x∈（0，x[,1]）时，证明x＜f（x）＜x[,1]；
②设函数f（x）的图象关于直线x＝x[,0]对称，证明x[,0]＜（x[,1]/2）。
（1997年高考题）
评析：两题的考查材料均为学生熟悉的一次与二次函数。例3 以契比雪夫多项式的马尔科夫定理为背景，所涉及的思想方法主要是特殊与一般、等与不等、数与形相互转化，尤其是第③问利用不等式“夹”的思想是高校理科数学学习常用的思维方式，对学生的思维品质提出了极高的要求。该题江苏的抽样得分率仅9％。例4的条件以函数的“不动点”及“根的分布”为背景，结论为与函数值的逼近有关的不等式及函数图象的对称性。由于①所证结论中不涉及a、b、c，故确定f（x）的形式应直接与x[,1]、x[,2]相关，结合条件宜用“根的形式”，设F（x）＝f（x）－x＝a（x－x[,1]）（x－x[,2]），则很快证得①的结论。这种构造辅助函数的思想在高等数学学习中常常遇到，但对中学生来说，则显得极为陌生。该题江苏的抽样得分率仅7％。
1.3 考查现有能力与学习潜能的一致性
创新精神应是一个民族的灵魂，是社会发展的不竭动力。高考作为国家选拔合格人才的考试，应体现考查学生的创新意识和综合能力的思想，这是高考命题走向成熟的标志。目前高考的多数题型都能通过强化训练使学生熟练掌握。熟能生巧吗？多少教育有识之士对此提出了质疑。为了遏制“题海涨潮”，高考命题在题型设计上做出了一系列有效的改革尝试，代数推理即为其中之一。随着时间的推移，高考对代数推理的考查不断走向深入，表现在题量上已由一题改为两题，内容上更趋向于综合化，从而成为高考的能力把关题。这类问题知识网络的交汇点多，涉及的思想方法丰富，提供的思想空间广阔，因而，对学生的综合素质，尤其是对学生的潜能具有较高的考查价值。例如，2001年高考的代数推理题，第（19）题是以排列数、二项式定理为背景，考查利用分解与组合、放缩法证明不等式；压轴题以抽象函数为背景，函数的奇偶性、对称性、周期性和数列极限为知识素材，考查了解析几何中曲线方程思想、数列中迭代思想及数形结合、逆向思维的运用。由于这类问题学生平时很难训练到，因而，考查能较真实地反映学生的现有能力与发展潜能。
2 “代理推理”教学陷入困境的原因分析
2.1 教材体系的因素
与几何教材不同的是，现行中学代数教材，采用的是渗透式推进、分步式到位的编写方法，并以此来减小教材的抽象程度和教学的困难，这完全符合学生的认知规律。如“不等式”在初一教材中就涉及到，系统的学习则要到高二。但有些内容的编写缺乏递进的层次，前后呼应不够。如“一次与二次函数”在初中教材中曾研究过它们的图象与性质，在高中教材中仅仅在习题中涉及到，而且要求上没有明显的提高，因而使这一代数的核心内容缺乏一个再认识的深化过程，1996、1997两年高考对此作深入考查，得分率均在10％以下，与此不无关系。此外，教材对代数推理要求并不高。高一仅局限于判断并证明函数的奇偶性与单调性，这些推理都具有极强的可模仿性与操作性，高二的“不等式证明”主要介绍了几种常用的证题方法，且素材缺乏现代数学气息，即使是与函数相关的证明题都几乎找不到，更不用说函数思想的渗透。可以说，现行教材的内容与高考改革相比较具有一定的滞后性。
2.2 课程安排的因素
现行中学教材把代数与几何分开编写，课程的实施也相应分离，因而相互之间缺乏一种交融性。以高一代数的“函数”为例，由于受解析几何工具的限制，对函数图象的许多性质的研究只能停留在感性认识阶段，无法实施代数推理，因而教材上也出现了以下不得已而为之的做法：为了证明定理“函数与其反函数的图象关于直线y＝x对称”，必须先补充说明平面内两点间的距离公式，而其证明则留到解析几何中完成。但解析几何中研究的载体主要是圆锥曲线，很少与函数内容相照应，因而即使是一些基本的代数推理，如1998年高考涉及到证明两函数的图象关于某一定点对称及两函数图象有且仅有一个公共点问题；2001年压轴题条件中函数图象关于直线对称，学生均感到无从下手。因课程安排而对学生把握知识之间内在联系所产生的消极影响由此可见一斑。
2.3 教学实施的原因
首先是教学上投放的时间不足。这固然与课程教材有一定关系，但更重要的是对代数推理的认识不足，重运算轻推理是代数教学的普遍现象；其次是教学方法的不科学现象的存在，如定理教学仅停留在证明过程的理解层面上，缺乏模拟的探索思考过程，解题教学中，只让学生知其然，却较少让学生知其所以然，从而削弱了代数推理的思维训练价值；再次是追求教学的短期效应。由于代数推理教学耗时多，训练周期长，见效却较慢，因而许多教师不愿把主要精力放在这里，长此以往，形成教学的恶性循环。
3 走出代数推理教学困境的策略
3.1 控制高考难度，发挥导向功能
自恢复高考以来，数学教学经历了抓“双基”、重数学思想方法及能力培养的“滚动式”发展过程。实践表明，每一步进展，高考都起了极其重要的导向作用和推动作用。近几年高考的代数推理题，从一个侧面反映了由知识型向能力型转化的积极探索。但是，教学的改革应是一个“渐变”的过程，高考强调能力考查必须遵守循序渐进及适度性原则。本文中的例1、例2试题新颖脱俗，难度系数在0.4左右，一度引起中学师生的普遍关注和重视，但以后的例3、例4的难度系统骤变为0.1以下，尤其是1999年高考倒数第二题，就连一些竞赛“尖子”也反映读不懂题、无从下手，可见难度之高。多年的高难度一定程度上挫伤了广大师生对代数推理教学的积极性，从而又反过来削弱这类试题的选拔功能。2000年、2001年在试题形式、数量和难度上虽然都作了调整，从而分散了难度，提高了区分度，但由于这类问题本身立意新颖，抽象程度高，综合性较强，因而多数学生作答时仍难以适应。因此，高考命题必须兼顾中学教学的实际情况，控制试题的难度，才能发挥其良好的导向作用。
3.2 遵循认知规律，加强正确引导
初中学生主要是通过平面几何来学习数学推理的，由于证明由几何图形作辅助，因而抽象程度相对得到缓解，而初中代数的学习主要是一些具体运算，因而抽象思维的能力还较弱。进入高中学习代数推理，许多学生甚至还弄不清代数形式证明的意义和必要性，特别是区分不了直觉判断与形式证明之差异，更何况，由于代数推理要脱离具体对象进行思维运算，因而多数学生觉得难而掌握。
以“函数单调性”的证明为例，很多学生会
论。教学中，首先必须让学生暴露这些问题，帮助学生剖析错因，其次应诱导学生找到正确的证明途径，然后再作归纳总结。如上述错误，实际上只是对函数的单调性作了描述而非证明，代数推理的含义不仅是“设元——作差——定号——判断”的过程，更应注重其实质，即定差的符号的依据只能是一些运算法则，如同（异）号两数相乘得正（负）。学生经历了暴露、议论、改正、总结的曲折过程，对形式化证明的神秘感才能逐渐得以消除。
3.3 把握教材特点，滚动和谐发展
由于代数推理分散在代数（包括解析几何）和各个分支中，因此在概念形成、定理推导及解题教学中必须对证题思想进行长期渗透，并对相关内容在不同分支中有意识地呼应，并加以巩固、发展、深化和综合。如在解析几何、不等式、数列学习中融合函数及函数思想。此外，应调控不同阶段的教学要求，如下面是“函数单调性”在不同教学阶段笔者使用的样题：
1.判断函数f（x）＝（x－2）/（2x＋1）在（－∞，－1/2）上的单调性，并加以证明。（新授课阶段）
2.已知函数f（x）在区间（a，b）上（0＜a＜b）是增函数， 那么它在（－b，－a）上是增函数还是减函数？证明你的结论。（巩固阶段）
3.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）是减函数，a，b∈R[＋]。
（1）若ab＞1，求证：
f（a）＋f（b）＜f（a[－1]）＋f（b[－1]）；
（2）叙述（1）的逆命题，判断其真假，并证明你的结论。（发展阶段）
4.已知方程x[3]＋x－1＝0有一实根，求证原方程有惟一实根。 （深化阶段）
5.已知实数a，b，c满足│a│＜1，│b│＜1，│c│＜1， 求证：ab＋bc＋ca＞－1。（综合阶段）
经过“滚动式”的学习，学生对函数单调性的认识才能逐步从感性走向理性，从具体走向抽象，从肤浅走向深入。
3.4 展现思维过程，关注解题策略
人的数学思维有宏观和微观两个方面。宏观上，数学思维乃是生动活泼的策略创造，其中包括直觉归纳、类比联想等诸多方面；从微观上，要求数学思维步步为营、言必有据，进行严谨的逻辑演绎。这两方面的有机结合，才是数学思维的特征。代数推理的解答最终展示在人们面前的往往是后者，但生动的思维创造却往往在前面。
从本例及文中的其他问题，不难归纳出求解代数推理题的思维过程：
（1）领会题意。 就是弄清题目的条件与结论中的文字及符号表述，并进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，领悟其数学实质，为制定解题策略作准备。
（2）明确方向。在审题的基础上，运用数学思想方法， 目的明确地对外来的和内在的信息进行提取、转化、加工和传输，从而明确解题的目标与方向。
（3）分析求解。采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和运算， 实现解题目标，并加以正确表述。
3.5 监控心理过程，增强解题自信心
数学证明的心理机制，就是在问题的条件及结论的启发下，激活记忆网络中的一些知识点，然后向外扩散，依次激活新的有关知识，同时要对被激活的知识进行筛选、组织、评价、再认识和转换，使之能协调起来，直到条件与结论之间的线索接通，建立起逻辑关系。在这过程中，代数推理方法的寻找，既要顾及条件与结论中“形式化”蕴函的数学意义，又要顾及信息之间的联系与差异，每一步推理都需要定理、法则支撑，在书写上又要严谨规范，由于细节过多，学生极易失去最终推理目标。因此，教师必须教会学生压缩思维内容，通过证题框图、图表等，理清思路，节约思维容量，使整个推理连环得到全面的考虑。当代数推理的目标与条件之间的跨度较大、较隐闭时，必须作多次尝试、探索，才能找到解题的突破口，因而压缩思维容量显得尤为重要，使我们能宏观地认清证明方向，增强解题的自信心，从而提高解题的效率。