陕西省兴平市十一建学校 杨姣姣
摘要：三角函数知识是初中数学学习中的重点和难点，相关的题目求解让很多学生如坠雾中，极大地削弱了我们的数学学习自信。笔者在平时的学习中，对此类问题进行了粗浅的总结，现和大家分享。
关键词：初中数学；三角函数；变换策略
三角函数属于初中数学中的关键内容，因三角变换灵活多样、种类繁多，学生学习和掌握起来较为困难，很多学生面对此类题目一筹莫展。不过三角变换并非无规律可循，我们在学习此类知识的过程中，要不断总结方法，掌握变换的基本规律，遇到难度较大的题目时，能够采用恰当的解题方式与基本公式，将复杂的高难度问题转变成简单的基础性题型，从而实现合理变换，提高解题效率。
一、函数名称相互变换，简化明确解题思路
如：已知ｔａｎｘ＝２，求ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ的值。分析：这是一道典型的函数名称变换题，题目中的已知条件是切函数，未知条件是弦函数，只有将切函数变换成弦函数，实现函数名称的统一，才能够找准解题切入点，解题思路先变换，再结合三角函数公式建立方程组进行求解。解答：由于ｔａｎｘ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝２①，又因为ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１②，将两者联立起来形成一个方程组，解得ｓｉｎｘ＝２５５ｃｏｓｘ＝５５，ｓｉｎｘ＝－２５５ｃｏｓｘ＝－５５。函数名称的变换主要依据是同角三角函数关系式或诱导公式，通过转换将题目中的条件变成名称相同的函数，达到轻松求解问题的目的。
二、角度之间等量变换，借助拼角拆角解题
在初中数学课程中，三角函数既是重点又是难点，在计算相关问题时，我们一定要理清题目中已知角与未知角之间的相互关系，利用角度之间的等量关系进行变换，从而形成正确的解题思路。因此，在平常学习中，应当结合实际题目根据角度之间的等量关系来变换，在不断实践中灵活运用拼角、拆角的方式来分析题目，找到新的解题切入点，弄清题目中各个角度之间的关系，最终有效解决三角函数问题，增强解题自信，提升数学学习的效率。例如，已知α是第三象限的角，ｃｏｓ２α＝－３５，那么ｔａｎ（４π＋２α）是值是多少？解析：本题主要考查同角三角函数的关系。解答：因为α是第三象限的角，得出２ｋπ＋π＜α＜２ｋπ＋３２π，４ｋπ＋２π＜２α＜４ｋπ＋３π（ｋ∈Ｚ）。又因为ｃｏｓ２α＝－３５＜０，则ｓｉｎ２α＝４５，ｔａｎ２α＝ｃｏｓ２ｓｉｎ２αα＝－３５÷４５＝－４３。ｔａｎ（４π＋２α）＝ｔａｎπ４＋ｔａｎ２α１－ｔａｎπ４×ｔａｎ２α＝１－４３１＋４３＝－１３７３＝－１７。又如：若函数ｙ＝Ａｓｉｎ（αｘ＋β）（α＞０，β＞０）的图像一个最高点的坐标是（２，槡２），它到其相邻的最低点之间的图像与ｘ轴交于点（６，０），求该函数的解析式。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆解答：根据最高点的坐标（２，２），得到Ａ＝２槡，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与ｘ轴交点的间隔是１４个周期，从而求得Ｔ４＝４，则Ｔ＝１６，所以α＝π８，根据２＝２ｓｉｎ（８π×２＋β），得到β＝４π，那么函数解析式为ｙ＝２ｓｉｎ（π８ｘ＋４π）。虽然上述案例中的两道题目所考察的侧重点不同，不过都需要灵活运用二倍角公式，只要我们掌握角度之间的等量变换关系就能够轻松解题，再通过拼角或拆角快速求出答案，可谓事半功倍，便捷快速。
三、公式之间逆用变用，让求解过程变得简单
在平时的学习中，大家要将常用的三角函数公式整合起来开展专题训练，在训练中学会灵活应用公式进行求值、化简、证明等，像２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｃｏｓ２ｘ、２ｓｉｎ２ｘ＝１－ｃｏｓ２ｘ等，促使自己不断发现新的突破口。比如，求（３ｔａｎ１２°－３）ｃｏｓ１２°４ｃｏｓ２１２°－２的值。分析：先观看题目中的各个角，发现都是１２°，载再观察函数名，需要先切割化弦，然后再化简过程中再思考怎么变换。解答：原式通过切割化弦变换成（３ｓｉｎ１２°ｃｏｓ１２°－３）×１２°１４ｃｏｓ１２°－２＝３ｓｉｎ１２°－３ｃｏｓ１２°２ｓｉｎ１２°ｃｏｓ１２°（２ｃｏｓ２１２°－１），此时逆用二倍角公式，原式＝２３（１２ｓｉｎ１２°－２３ｃｏｓ１２°）ｓｉｎ２４°ｃｏｓ２４°，利用常数变换为２３（ｓｉｎ１２°ｃｏｓ６０°－ｃｏｓ１２°ｓｉｎ６０°）ｓｉｎ２４°ｃｏｓ２４°，逆用差角公式变换成４３ｓｉｎ（１２°－６０°）２ｓｉｎ２４°ｃｏｓ２４°，继续逆用二倍角公式得到４３ｓｉｎｓｉｎ４８°（－４８°）＝－４3。再如：化简下列各式：（１）３２ｃｏｓ１５°－１２ｃｏｓ７５°；（２）ｔａｎ１９°＋ｔａｎ４１°＋３ｔａｎ２１９°ｔａｎ４１°。分析：（１）考虑到题目中３２、１２所对应的角是特殊角，需逆用差角的正弦公式；（２）对ｔａｎ（１９°＋４１°）变形即可化简。解答：（１）原式＝ｓｉｎ２６０°ｃｏｓ１５°－ｃｏｓ２６０°ｓｉｎ１５°＝ｓｉｎ（６０°－１５°）＝ｓｉｎ４５°＝２２；（２）由于ｔａｎ（１９°＋４１°）＝ｔａｎ１９°＋ｔａｎ４１°１－ｔａｎ１９°ｔａｎ４１°，得到３３＝（１－ｔａｎ２１９°ｔａｎ４１°）＝ｔａｎ１９°＋ｔａｎ４１°，原式＝３。逆用公式有时可以极大地简化问题的求解，但公式逆用起来较为困难，我们要有逆用公式的意识，通过变通形式开拓解题思路，优化解题过程。
总之，对于初中数学中的三角函数变换，无论解题方式还是题目都需要遵循由难到易、由繁到简的基本原则。我们要在教师的指导下掌握牢固三角函数中的公式、原理、概念等，根据题目随机应变，选择合适的变换方式，最终快速、正确地求得答案，真正提升我们的解题效率。
论文作者:杨姣姣
论文发表刊物:《现代中小学教育》2019第4期
论文发表时间:2019/5/23
标签：函数论文; 公式论文; 题目论文; 初中数学论文; 角度论文; 名称论文; 关系论文; 《现代中小学教育》2019第4期论文;