简述勾股定理逆定理的3次教学，本文主要内容关键词为：逆定理论文,勾股定理论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学史有助于教师的教学和学生的学习，具有独特的教育价值。1972年，在第2届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教育关系国际研究小组（简称HPM），标志着数学史与数学教育关系作为一个研究领域的出现。之后，随着HPM研究的深入开展，学术界日益注重数学史融入数学教学可操作性具体方法的探讨，以及数学史在数学教育中作用的实际证据的获取。对前一个问题，笔者做了一次教学尝试：对人教版《数学》八年级第18章《勾股定理》中勾股定理逆定理的第一课时进行了3次递进式的教学设计，后一次都是在前一次的基础上进行了改进，每一次教学后都进行了反思。现把此教学设计呈现如下。
一、勾股定理逆定理的3次教学设计
1.第1次教学设计
(1)知识回顾、引入课题：回顾直角三角形的性质；回顾直角三角形的判断方法。由问题“可否从三角形的边的关系来判断三角形的形状”引出课题。
(2)观察：幻灯片出示教科书上的图片（如图1）——古埃及人将一根绳子围成直角三角形。
图1
(3)探究活动：学生根据给定3条边的长度画三角形；找出三角形的最长边的平方与其他2条边的平方和的关系；测量三角形的最大角；判断三角形的形状；猜想边长满足怎样的数量要求时，三角形才可能是一个直角三角形。
(4)证明猜想。
(5)互逆命题、互逆定理教学，给出勾股定理逆定理的名称。
(6)书本例题教学。
(7)巩固练习。
(8)课堂知识小结。
教师反思 本次设计的引入，是很多教师在平时的教学过程中所采用的“温故知新”式引入，笔者直接地、也毫无生趣地引入了课题。然后由特殊到一般、从猜想到证明，得出了勾股定理的逆定理，最后让学生在例题练习中掌握逆定理的作用。虽然大部分学生能正常地完成学习任务，但是整节课中学生的反应平淡，教学在波澜不惊中完成。
但是笔者正是为这节课的波澜不惊而苦恼。勾股定理及其逆定理是人类智慧的结晶，对初次接触的学习者来说应该是十分神奇的。如何才能改变学生平淡的反应，让勾股定理的逆定理给学生留下深刻的印象呢？笔者上网查阅有关勾股定理逆定理的资料，征求同事意见，对其教学作了重新设计。
2.第2次教学设计
(1)古埃及壁画引入：幻灯片出示古埃及底比斯壁画，学生欣赏壁画。壁画描述的是古埃及人在拉绳测量。教师提问：很多几何知识就是源自古埃及人的日常劳作，他们还会用一根绳子围出一个直角三角形，你会吗？
(2)活动1：学生分组活动，尝试将一根绳子围成一个直角三角形。然后教师向学生展示古埃及人将一根绳子围成直角三角形的图片，再由学生代表上讲台仿效古埃及人演示。由问题“古埃及人的做法的依据是什么”引出课题。
(3)活动2：与第1次教学设计的步骤(3)相同。
(4)活动3：几何画板验证猜想。
(5)以下教学步骤与第1次教学设计的步骤(4)～(8)相同。
教师反思 第2次教学设计与第1次教学设计相比，主要有以下几点变化：
(1)由单调的温故知新式引入改为壁画引入，多了历史的色彩。让学生回溯历史，感受古埃及人的聪慧，同时为古埃及人能用一根绳子围成一个直角三角形作了铺垫。
(2)通过查阅大量的图片资料，笔者得知人教版的插图（图1）是有谬误的，图1的人物其实是古希腊人的造型，因此在第2次教学设计中，笔者使用了日本教科书《中学数学》中的插图，在尊重历史的同时也把握了数学教学的严谨。
(3)在第1次教学设计中，学生单纯地看图1得知古埃及人得到直角三角形的作法，马上就进行画三角形探究。在第2次教学设计中，活动1是让学生分小组交流，动手去操作，尝试如何用一根绳子去围成一个三角形。在短时间内，学生们当然是无法找到正确的做法。对于学生“自以为是”的围法，教师在班内进行点评指出其错误。正是在切身体验古埃及人如何将一根绳子围成一个三角形，学生在思考后遭遇到碰壁，这样才会迸发出更大的学习热情，教师也籍此鼓励他们认真学习本节新课知识，再为古埃及人的做法揭秘。
(4)在得出猜想后，第2次教学设计比第1次教学设计多了几何画板演示。
笔者在第2次的教学工作完成后，回顾2个班级学生反应的差别。在课堂前15分，学生反应明显比第1次所教班级的学生活跃，后30分，学生反应趋于平淡。总的来说，学生课堂学习的参与程度比第1次所教班级要高。在课堂前15分，为什么第2次所教班级学生的反应更活跃呢？笔者认为原因就在于在第2次教学设计中融入了数学史的素材，让学生重溯到古埃及拉绳测量的时代，在没有任何现代数学工具的帮助下亲身体验如何用一根绳子围出直角三角形。这个活动将会让他们深深记在心里。于是，笔者不禁再次思考，如何充分挖掘数学史的素材，让学生能在这节课中更活跃，对这个伟大的勾股定理的逆定理印象更深刻呢？于是笔者查找到了更多的数学史资料，对本节课进行了第3次的教学设计。
3.第3次教学设计
(1)古埃及壁画引入：学生欣赏壁画，教师介绍壁画内容及历史资料（譬如“司绳”名称的来源）。教师提问：很多几何知识就是源自古埃及人的日常劳作，他们会用一根绳子围出一个直角三角形，你会吗？
(2)～(4)与第2次教学设计的步骤(2)～(4)相同。
(5)～(7)与第1次教学设计的步骤(4)～(6)相同。
(8)学生活动——考古：教师出示巴比伦时期的一块泥板，该泥板上有3列文字（如图2），学生分小组活动，用计算器探究a，b，c之间的关系。
图2
(9)课堂知识回顾。
(10)课外知识拓展：教师将几何知识与代数知识相结合，介绍古希腊数学家丢番图在《算术》中的问题：关于x,y,z的方程
有无数组整数解。再介绍费马大定理的相关知识：费马猜想的由来及怀尔斯因证明费马猜想而获得了1996年的沃尔夫奖。
(11)课堂结束语：同学们，学习前人敢于思考、探索的精神，做科学知识的有心人吧！
教师反思 第3次教学设计与第2次教学设计相比，有如下几点改变：
(1)仍以壁画引入，但比第2次教学设计更突出拉绳的主题，介绍古埃及负责测量的人叫“司绳”，突出绳子在古埃及时期的作用，更加重了本节课的历史色彩。
(2)删减了前2次教学中的反复练习题，改为以“考古”为主题的学生探究活动。
(3)第2次教学设计是以知识回顾作为最后的总结，而第3次教学设计则是以知识拓展——介绍数学史上人物及著名的猜想、定理作为最后的总结。
与前2次的教学设计相比，第3次教学设计中学生的反应更活跃、课堂参与程度最高。在“考古”活动中，由于好奇心的驱使，学习气氛活跃，几乎是全员参与。在最后的知识拓展环节中：当笔者问不定方程有几组解时，学生很快地能将几何知识迁移、很快地回答并举例说明；当笔者让学生思考不定方程解的情况时，学生讨论得十分热烈；当笔者讲费马故事时，学生脸上的表情既有对费马钻研精神的钦佩，又有对费马猜想的好奇，那时候没有一个学生是置身课堂之外的，他们都被费马吸引了；当教师介绍费马猜想出现300年后，怀尔斯终于给予了证明，并将费马猜想称为费马大定理的时候，全体学生不禁欢呼。笔者在课堂的最后也被学生激昂的情绪所感动。
二、3次教学后的收获
纵观勾股定理逆定理第1课时的3次教学设计，当课堂教学融入数学史的内容之后，笔者明显感受到了以下变化。
1.提高了学生学习数学的兴趣
第1次的教学设计没有挖掘勾股定理逆定理背后的数学史，从温故知新式引入到新知讲解、新知应用、新知小结。整节课学生反应平淡，更有不少学困生上课走神，根本无法参与课堂教学。当笔者在第2次教学设计中由埃及壁画引入，让学生通过观察壁画、并且亲身尝试古埃及人的围直角三角形去感受数学史，学习数学文化背景下的勾股定理的逆定理，他们的反应明显比第1次教学设计中的学生活跃。当然，第2次教学设计的后大半部分和第1次差不多，一部分学生无法将注意力集中到最后。于是在第3次教学设计中，笔者挖掘了练习方面以及最后小结的数学史资料，学生们很感兴趣，深深地被课堂内容所吸引，从开始到最后，笔者发现学生几乎没有一个开小差，课堂效率比较高。
课后，笔者在第1次教授班级与第3次教授班级作了问卷调查。3次教学的班级各不相同，第1次和第3次是在笔者所任教的2个班级进行教学的，第2次是借班上课，而且第3次是公开课。前者对该节课很感兴趣的学生占班级总体的37%，后者占班级总体的82%。这样的结果令笔者兴奋不已。确实，将数学史融入课堂教学以改善课堂环境可以培养学生的学习兴趣与积极性，从真正意义上把学生从厌烦的学习情绪中解放出来，引导他们积极主动地学习数学。有了兴趣及动力，学生的数学素养、成绩自然会跟着提高了。
2.有效利用了课堂的时间
在没有利用数学史的第1次教学设计中，笔者设计的练习较多，但是因为学生的兴趣不高、注意力不集中，结果只是反复训练注意力集中的学生。这些注意力集中的学生又往往成绩较好，对他们来说做一题练习的效果可能已经等于做多题了。总之，笔者所设计的练习其实是浪费了很多学生的时间。
笔者将数学史融入课堂教学后，学生上课时精神集中，对学习内容表现出很大的兴趣。虽然数学史的内容讲解占用了一些时间，但是却提高了课堂效率。笔者的练习量是少了，但是学生做题质量却高了，真正有效地利用了课堂的时间。
3.增进了师生间的情感交流
笔者在第1次教学中，因为学生对教学内容不感兴趣，所以课堂气氛平淡，笔者自己也提不起教学激情。在教学设计改编后，学生在被数学史吸引的同时笔者也深受感染，课堂环境改善了，师生的情感交流也增多了。陈景润就是因为在小时候受到数学教师在课堂上所讲的数学名题的影响，而逐步成长为一个数学家的。对学生来说，教师在课堂上所讲的数学史可能影响的不仅仅是一节课，还可能会影响人的一生。对笔者来说，为数学史能带给学生的教育意义与教育效果而感慨的同时，又深感教师教学的责任重大。
数学家庞加莱说过：“如果我们要预见数学的未来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”。作为一名数学教师，如果把数学和它的历史割裂开来，那么他的损失将是巨大的。因为数学史有助于教师教学和学生学习，它具有独特的教育价值，它对学生良好人格的形成、数学兴趣的提升、创造精神的培养都有着无可替代的作用。数学教师应当关注每个知识点背后的数学史，将数学史更好地融入到教学当中。