多级无赔款优待系统的定价，本文主要内容关键词为：优待论文,系统论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O212
引言
与寿险相比，非寿险保单承保的风险多数情况下都具有不均匀性，其风险状况受到多 种因素的影响，因此对标的风险估测与分析是很困难的。保险的基本原理是在于将投保 人的风险集中在一起，然后进行集体分摊，进而将个体的风险分散。如果投保人的风险 不完全一样，那么一种公平的办法是要求每一位投保人缴付与其投保风险成正比的保险 费。因此在费率厘定时，应分别检查每一被保险人的风险状况，为使其索赔成本能较公 平地分摊。在保险实务中，精算师在设计新的费率结构时，通常把所有保险单划分为一 些同质风险类，相同组类的投保人缴付相同的保险费。
在汽车险中，通常引入一些先验分类变量，将风险分成一些组类，而这些先验变量往 往是投保人年龄、性别、汽车类型、用途、停放地点等等。如果影响风险的所有因素都 能被观测并引入到费率厘定中，那么对被保险人来说，费率是完全公平一致的。但是， 在汽车险中，一些影响风险的重要因素无法事先以一种有效成本方式来进行度量，例如 驾驶员的反应敏捷性、超车欲望、判断准确性等。因此，汽车保险中费率组类是非均匀 的，应允许保险人在一定时期内对被保险人的行为结果将其保费加以调整。如果在一定 时期内，被保险人有索赔存在，我们对其附加额外保费，称之“惩罚”；而在某一期限 内，被保险人未发生索赔，其保费实行折扣，我们称之为“奖励”，这种后验费率调整 系统，我们称之为“奖惩系统”。
“无赔款优待系统”是“奖惩系统”的一种，对前些年出险少或未出险的被保险人实 行无赔款优待，收取下一年保费时有所优惠，使得在危险不均匀的情况下保险费与直接 损失挂钩，目的是使保险公司能收取更真实反映保险标的风险的保险费，鼓励那些出险 较少地被保险人继续留在同一保险公司续保。对保险公司而言，可以留住优质保单，提 高经营效益；对被保险人而言，又可以降低保险费，提高投保积极性。“无赔款优待系 统”尤其在汽车险中得以体现，但级别有所差异。例如英国汽车险的“无赔款优待系统 ”实行七个等级制，瑞士实行22个等级制，我国采用三个等级制等。
现实的一个问题是：有没有一种最优的“无赔款优待系统”存在?如果能证明最优“无 赔款优待系统”的存在而且掌握它的一些特征，那么就有可能用它对现行的“无赔款优 待系统”进行评价并进行改善，我们认为最优“无赔款优待系统”至少应具有以下三个 特征：(1)它能满足保险人与被保险人的需要；(2)它是财务平衡的，即在没有新的保单 加入的一个封闭风险组合中，平均保费不会逐年变化，保险人的保费收入是稳定的；(3 )保险费缴纳是公平的，即被保险人应缴付的保险费与其投保的风险成正比。
本文正是探讨了k级“无赔款优待系统”；提出一种如何估测被保险人的最优门槛值的 方法。(所谓门槛值，就是指对投保了具有多级无赔款优待保险的被保险人，当他在一 保单年度损失额小于此值时，将不要求索赔更有利，否则，被保险人将要求索赔。)然 后考虑被保险人的门槛值给出时，保险人如何设计最优“无赔款优待系统”的策略，即 设计各年优待数额值(折扣值)，使保险人的现金流达到最大。
一、基本假设与定义
本文假设被保险人每年都必须投保，并在同一保险公司参加保险(不考虑退保)。且假 设每年损失随机变量X[,1],X[,2],X[,3],…独立同分布，其共同的分布函数为F(x)，密 度函数为f(x)。且设新参加保险的被保险人在第一年所缴的保费为π，若此被保险人连 续i年无索赔发生时，则第i + 1年初应缴的保费为π - d[,i]，1≤i≤k - 1；当被保险人连续有k年无索赔时，称被保险人进入无赔款优待系统，以后每年收到的保险费折扣值d，即每年应缴的保费为r-d；直到发生索赔为止；若该被保险人要求索赔，则下一年投保时当作重新投保处理。定义其他参量如下：
π：新投保的被保险人年缴保费，假设为年初缴费。
d[,i](d[,i ]＜d[,i + 1]，1≤i≤k - 1)：第i + 1年保费的折扣值，若连续i年无索赔。
d：第k + 1年及以后每年的保险资折扣值，若连续k年无索赔。
X：每年的损失随机变量，假设在年末发生。
x：每年的损失实际值，即随机变量X的取值。
μ = EX：每年的平均损失。
v = 1/(1 + r)：每年的贴现因子，其中r为年利息率。
A[,i]；i = 0，1，…，k：在前i年无索赔条件下，被保险人未来平均费用(包括保费 与自留损失)现值。
B[,i]；i = 0，1，…，k：前i年无索赔条件下，保险人的未来平均现金流的现值。
x[,i]；i = 0，1，…，k：前i年无索赔条件下，被保险人在第i + 1年的最优门槛值 。
注意：当i≥k时，与k状态相同。
由此建立的基本模型为：被保险人在第一年初缴付保费π，若被保险人连续i年无索赔 ，则在下一年只需缴纳保费若π - d[,i]。被保险人已连续k年无索赔，则说被保险人进入无赔款优待系统，以后每年只需缴保费为π - d，直到发生索赔为止。本文假设被保险人的每年损失为独立同分布的随机变量X，且损失在年末发生。在每年年末，损失发生后，当损失取值为x时，保险人将决定决定是否要求索赔，其i状态(已连续i年无索赔)的最优门槛值为x[,i]，即当损失值x小于x[,i]时，被保险人为了得到将来更多的保费折扣，将决定放弃本保险年度的索赔，即将损失值x自留。
二、被保险人的最优门槛值
决定被保险人的最优门槛值，即考虑被保险人在损失已经发生的情况下，损失值x对于 被保险人来说要求索赔与放弃索赔无差异，即将来的保险费及与自留损失总和在此刻的 平均现值相等，由此决定的损失值x即是被保险人的最优门槛值。
记A(x)[,i，c]为被保险人在前i年连续无索赔的情况下，当第i + 1年发生损失x时， 被保险人要求索赔时的未来平均费用现值(包括保险费与自留损失)。记A(x)[,i，nc]为 被保险人在前i年无索赔的情况下，在第i + 1年的损失为x，被保险人不要求索赔时的 未来平均费用现值。则有：
三、保险人的最优决策
(一)最优折扣值
与前面假设相同，考虑一个新的被保险人，即状态i = 0，被保险人平均未来费用(包 括保险费与自留损失)现值为A[,0]；保险人平均未来现金流现值为B[,0]，由于保险人 与被保险人共同承担将来被保险人的所有损失(不考虑保险成本、管理费用等)，则：
从直观上看，当门槛值越小时，保险人收到的保费越多，但被保险人要求的索赔也越 多；当门槛值越大时，保险人收到的保费较少，但同时赔付也越小，因此存在一组门槛 值使得保险人的现金流现值达到最大，此解释可用简单的数学进行证明。