数学建模思想在高中数学中的运用探析，本文主要内容关键词为：探析论文,建模论文,学中论文,思想论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学建模思想是近二十多年来高中数学教学的一个重点内容，其在一定时间段内为提高高中数学教学质量，促进教师专业水平的提升发挥了很大的作用所谓数学建模的确切含义尚无定论，但专家们比较趋于一致的看法就是将实际问题中事物的内在联系与变化抽象成数学语言，构建适当的数学关系（如公式、函数、方程或图形），使原来的问题情境转化为易于解决的数学问题的一种数学思想.用于解决实际问题时要注意两个步骤：一是建模（建立数学模型），二是解模（运用有关知识求解数学模型）.从教学实践来看，我们注意到在已有的统计成果中，对于通过建模思想结合课程改革思路且取得明显研究成果的相对较少.这说明就目前高中数学教学实际来看，我们仍然有进一步思考两者之间的关系，并应力图将两者更好地结合起来，以求对教学质量的提高有一个促进作用. 一、数学建模的作用 高中数学课程新标准要求把数学文化内容与各模块的内容有机结合，数学建模是其中十分重要的一部分.作为基础教育阶段，我们更应该重视学生的数学应用意识的早期培养，应该通过各种各样的形式来增强学生的应用意识，提高他们将数学理论知识结合实际生活的能力，进而激发他们学习数学的兴趣和热情.数学建模是对实际问题本质属性进行抽象而又简洁刻画的数学符号、数学式子、程序或图形，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略.而应用各种知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型的过程，我们称之为数学建模.它的灵魂是数学的运用. 二、掌握常见的数学模型 高考数学试题中应用问题经常出现，出于“立意”和对实际问题的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，题目所涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉及经济、环保、能源、健康等社会现象.因此，要加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的重视. 数学模型是指对于现实世界的某一特定问题，为了达到某个特定的目的，在做了一些必要的假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，运用数学中的各种基本概念以及相应的知识，以现实原型作为背景而抽象出来的量与量之间的关系，并应用相应知识解决它. 1.二次函数模型 例 （2009福州八中）某造船公司年造船量是20艘，已知造船X艘的产值函数为R(X)=3700x+
（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+5000（单位：万元），又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）. （Ⅰ）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：利润=产值成本） （Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （Ⅲ）求边际利润函数MP（x）单调递减时x的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ 解析：此题是一元二次函数模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，建立关系求解.
2.分段函数型 例 （2009福建省）已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元.据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润(
)万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润0.9595万元.为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？ 解：设利润为y，则有
解析：本题为分段函数模型.分段函数学生很容易判断.因为题目会有很明显的印迹，让学生知道此类题的函数关系是分段的.学生根据题中所给的条件，写出取值范围不同相应的函数关系. 3.三角函数型 例 某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t）.下面是某日水深的数据：
经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asinwt+b的图象.（1）试根据以上数据求出函数y=f（t）的近似表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留多少时间（忽进出港所需的时间） 解析：题中直接给出了具体的数学模型，因此可直接采用表中的数据进行解答.
此为三角函数模型.三角函数模型常与物理知识中的电压、电流、简谐振动等知识结合到一块来出题，单纯的数学问题不是很多，学生要对问题有所了解.解决实际问题要以三角函数的性质为先，通过三角函数的性质解决. 4.指数、对数型函数 例 现有某种细胞100个，其中有占总数的
细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过
个？ （参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301） 解：细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：
例 有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量.现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合，用
，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），g（0）表示湖水污染初始质量分数. （1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数； （2）分析
时，湖水的污染程度如何. 解析：此为指数、对数型函数的实际问题，这类问题考察的几率较大.学生在解决问题的同时，需要掌握底数0＜a＜1，a＞1两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别. 5.数列模型 例 （2012·湖南高考）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为
万元.
（2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.
例 某市2010年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2010年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
例 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（以今年为第一年）的利润为
万元（n为正整数）.
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 解析：数列作为特殊的函数，在中学数学中占有相当重要的位置.涉及实际应用的问题广泛而多样，诸如银行信贷、生产产品的增长率、分期付款等题型，考查的概率最大.在解决实际应用问题时，应该认准问题是什么数列（等差数列、等比数列），要深刻理解问题的实际背景和语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学问题，使关系明朗化、标准化，以便于建立正确的关系，然后用等差数列、等比数列知识求解. 6.古典概型 例：口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中白球、红球各3只.从中一次随机摸出2只球，试求： （1）2只球都是白球的概率； （2）2只球中恰有一只白球的概率； （3）2只球中至少有一只白球的概率； （4）2只球同色的概率. 解：给3只白球编号为1，2，3，3只红球编号为4，5，6，则从袋中一次随机摸到2只球的所有可能有15种. （1）2只球都是白球的情况只有：（1，2）、（1，3）、（2，3）三种，所求概率为
. （2）2只球中恰有一只白球的情况有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，4），（2，5）（2，6），（3，4），（3，5），（3，6）共9种，所求概率为
. （3）“2只球中至少有一只白球的”的对立事件是“2只球都是红球”，“2只球都是红球”的概率为
，所以“2只球中至少有一只白球的”概率为
. （4）“2只球同色”的对立事件是“2只球1白1红”，也就是“2只球中恰有一只白球”，由（2）的解答可知，所求概率为
例 （1）一骰子先后掷两次分别得到点数m，n作为点P（m，n）的坐标，则点P落在圆
内的概率为________. （2）满足
的实数m，n作为点P（m，n）的坐标，则点P落在圆内的概率为________.
解析：概率问题的关键在于分清概率类型，明确该种类型题的特征及解决问题的方法.
通过以上的分析，我们大致了解建模问题的常见情况，具体的讲，数学模型方法的操作程序大致上为：这些步骤用框图表示：
那么，怎样选择数学模型分析解决实际问题呢？ 数学应用问题形式多样，解法灵活，在应用题的各种题型中，主要有如下三种方法： （1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入数据，问题即可获解. （2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较 （3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据题中的数据进行描点，作出散点图，通过观察这些点的位置，确定所需要用的数学模型. 也就是说解决数学实际应用问题，需要通过观察、分析、将问题抽象出来，再纳入某数学模型中去处理.这就对教师在平时的教学提出更高的要求，教学中着重培养下面一些能力：分析观察、画图、列表、归类及快速阅读理解、整理数据的能力；正确选择自变量，建立函数模型的能力.并能根据函数性质，图象的作用，抓住某些量之间的相等关系列出函数式，求解函数模型. 我们要承认学生获得这种能力的需要一个漫长的过程，这需要教师在教学中有意识地将把数学建模的思想方法贯穿在教学的始终，同时也要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯.
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