复杂性：从“三”说起，本文主要内容关键词为：复杂性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N030
文献标识码：A
1 日常生活中的“三”现象
在中国各种成语、俗语以及一些文献中的语句中，以“三”为字头或包含“三”的成语、俗语或说法很多，如果和现代科学联系起来看，则有很深的科学意蕴和哲学内涵。
我们先看几个：“三人成众”、“三人成虎”、“三思而行”、“三个皮匠，顶个诸葛亮”，类似的还有“三人一条心，黄土变成金”，“三个婆姨一台戏”。与上面反义的有“一个和尚挑水吃，两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃”；“三人当家，七扯八拉”。另外，圣人和智者也有许多关于“三”的说法。例如，孔子曰：“三人行，必有我师”。老子曰：“三生万物”。
再有，汉字里也有一些由三个相同的字相叠而成的字，如“众”、“品”、“晶”、“磊”、“犇”“森”等，这些成语、俗语和约定俗成的一些关于三的用法，以及这些三个相同的字相叠加的字的原意和引申之意义，平常谁也没有注意它们蕴含了什么，人们对此已经司空见惯。但是，仔细琢磨和推敲，这些字词和语句造的还颇有道理。试问，我们是否能够把其中的“三”改成“二”或更大的数呢？
三口为“品”，表明两口就品不出味儿来，例如品茶，第一口是“淡”、第二口是“清”，到第三口才“色”“香”“味”俱全；如喝酒，要“酒过三巡”，才知道酒的意义；三日［光亮］为“晶”，反映了晶体的亮度；三石成“磊”［垒］，两石则无法垒砌起要垒的墙；三牛成“犇”［奔］，两牛则既不成群，也不成奔；所谓“三木成林”，二木不行，这是因为，我们无论从什么角度看成三角形排列的“三木”，都至少可以看到两棵树以上，不在同一直线上的三点（木，俯视）成为一个面，而两点成一线。再说“三足鼎立”，鼎：古代青铜制炊具，一般为三足。成语“三足鼎立”是以鼎之形状来形容三方对峙。试想，除了人，器具两足如何鼎立？
“三思而行”改为“二思而行”行吗？从内容看，二思还不够周全；那么，改为“多思而行”？则内容上显得疑惑过分，语法上显得累赘。为什么单说“三个婆姨一台戏”，而不说“两个婆姨一台戏”呢？两个婆姨说着说着，就会没有话题，而三个婆姨才有说不完的话语；那么为什么不说四，四则显得多余，有一个婆姨总是会有插不上嘴的时候，从理论上看，三是多的最小个数，或者是多的最小因子。人们说“三五成群”，就是因为“三”是“群”的最小数目，是群的最小约定的要素。“三人成众”的含义即是如此。而“三人为虎”则从贬义的角度反映了由单个人的话语到有三人重复则使人不得不信的传播威力。（注：“三人成虎”成语源于《韩非子·内储说上》：庞恭与太子质于邯郸，谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”曰：“不信。”“二人言市有虎，王信之乎？”曰：“不信。”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之。”庞恭曰：“夫市之无虎也明矣，然而三人言而成虎……”。）
孔子的“三人行，必有我师”的说法比较好理解，如果是二人行，那除了“我”，就是另行的同行者，说他必是我师，则有些勉强。
阿恩海姆在《视觉思维》中指出，在童话故事里，如果讲到最小的兄弟如何战胜敌手、最后取得成功，其兄弟的总数目必定是3个，因为2个哥哥的数目是展示小弟英雄行为的最合适的数目，如果出现4个兄弟，则显得多余；如果是两个兄弟，就会造成一种封闭的和对称的组合，而这种组合展示的是两种极端行为之间的对比，如善与恶、愚蠢和聪明之间的对比等等；三位一体之所以需要（人或成分）3个，主要是为了再现一种交织关系而不是一种对比关系。
事实上，在中国古典四大名著中，惟有《三国演义》是从全局上描述我国政治、军事格局演变中的一个阶段，它在同类题材中也是最成功的一部小说，其原因正是在于曹魏、刘蜀、孙吴三分天下，构成一种复杂而清晰的局面。相对而言，《东周列国》则过于杂乱，《前后汉演义》则失之简单。
当存在甲、乙、丙三方时，彼此关系便交织在一起，甲与乙合作共同反对丙，或甲与丙合作共同反对乙，或甲与乙相斗，丙坐收渔利，反之亦然；或甲与乙表面合作，却都设法暗中与丙勾结，反之亦然；或甲欲图谋丙与乙，表面貌似公正，暗中却拉一方打一方，千方百计挑拨乙和丙的关系，反之亦然。在这种格局中，任何一方都处于前狼后虎的境地，谁都不敢轻举妄动或倾巢而动；与此同时，任何一方都有许多可供选择的策略，而且可以随机改变策略，昔日的对手转眼间便可成为“牢不可破”的盟友或“誓不两立”的敌人。目前，不少学者都认识到，全球的政治、经济为什么如此风云变幻，正是因为世界已经是一个复杂的三极世界。
在日常生活中，第三者插足是令人头痛的事情，因为第三者的出现使得整个关系变得格外复杂。小说家深知此理，他们不惜笔墨或者说故意浪费笔墨去构造主人公的三角恋爱关系，当人们被那些一波三折、悲喜交错的情节所吸引时，数字3的充分运用，财源已经滚滚流入小说家的腰包，欣喜之后他们还会写出“三步曲”来。
2 “三生万物”与“周期三导致混沌”
最妙的说法是老子的“三生万物”，最难解的也是老子的这个说法。为什么老子单单数到三时，说“三生万物”，不说“二生万物”，也不说“四生万物”呢？在老子生活的年代，人们数数的能力早已经超过了十，为什么会到“三”就生“万物”了呢？（注：据杜石然等编著《中国科学技术史稿》（上，科学出版社，1982.70），中国商代的陶文和甲骨文已经表明，那时的中国人已经有和现代人一样的“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等十三个计数单位来记十万以内的任何自然数”。另外，中国古代在春秋战国之前已经产生算筹，而《老子》中就已经有了这样的词句：“善计者不用筹策”。而老子约出生在战国和先秦时期（见《中国大百科全书》光盘1.1版卷1《哲学.老子条目（王明撰）》1990.）。）有人说，三在古代就代表多，因此三生万物就不奇怪了。但是，三为多，在语法上“三生万物”岂不变成了“多生万物”？这在逻辑上是说不过去的。当然，最正统的关于老子的“道生一，一生二，二生三，三生万物”的中国哲学的解释是，“一为道，或一为元气，二为阴阳，三指阴阳二气互相作用而产生的和气”。[1]“一”指“道”肯定有问题，因为那样老子的话就变成了“道生道”；当然，这个说法的根据是因为老子在另一处说过，“有物混成，先天地生。寂兮寥兮，独立而不改，周行而不殆，可以为天地母。吾不知其名，字之曰道，强为之名曰大”。[1]“一”指“元气”也解释得牵强，因为“一生二”就变成了“元气生阴阳二气”，这在语言上多少有些别扭。当然在《论衡·谈天篇》说：元气未分，浑沌为一。把元气解释为混沌，然后再把浑沌（混沌）解释为一，则通得多了。
而从现代科学的角度看，老子慧眼，从“三”一下飞跃到“万”，这个说法与当代非线性科学的理论观点不谋而合，这真是有点儿奇怪。它恰恰点明了“三”所特有的涵容万有、生化万物、勾连混沌与万物、形成演化转折点的意义。因为在今天，“三”代表着非线性作用的最小要素数目。在数学上，两个要素的作用是一种线性作用。线性作用在原则上是无法产生放大、涨落和涌现现象的。我们知道，科学上的“非线性”相比“线性”应该至少存在这样的两个差别：1)体系状态不满足均匀性和叠加性；2)对几近相同的初始状态条件，体系可有完全不同类型的运动或完全不同的运动结局。而如果世界只有线性相互作用，那么世界就不会发展得丰富多彩，变化万千。换句话说，“二”不能生万物。这个结论是非线性科学的结论，而非线性科学是20世纪才崭露头角的科学，两千年前的老子怎么会意识到这个问题的重要性，并且得出这么重要的结论呢？老子的智慧真是令人赞叹不已。从“三”一下飞跃到“万”，而不是从其他的数跃升到“万”，这是老子一种完全无意识的一种修辞上的说法呢？还是老子真的认识到“三”这个数的独特性，认识了“三”所特有的涵容万有、生化万物、为万物之初、演化转折点的意义了呢？然而，无论如何，呈现在我们面前的、在波普尔世界三的意义上的白纸黑字写明了的，是老子的“三生万物”。在这里，“三”联系宇宙之初和万物之始的演化含义顿时跃然纸上。
三的重要性还在科学上得到了越来越多的印证。甚至老子的“三生万物”也得到了现代科学的解释。在20世纪60～70年代，美国数学家约克和他的博士生李天岩共同发现了“周期三蕴含混沌”的（理论）现象。[2]他们通过对下面的一个迭代函数
的迭代性质的研究，发现了当出现三个周期的时候，任何周期就都可能出现。换句话说，只要有周期三，就可能产生任何的不同周期，这不就是老子的“三生万物”的现代版本吗？
关于这个“三生万物”我们要稍为多说一点。上面的函数很早就在生物界的领域里出现了，它是一个非常重要的模型，通常被称为“Logistic Model”，又被称为虫口方程，是一个对虫子的世代演化进行简化研究的抽象模型。关于这个函数的迭代，现在已是举世皆知。但是在20世纪60年代，生物学家们对这个方程的性质并不完全清楚。数学家李天岩和约克通过气象学家洛伦兹的文章（关于大气混沌的研究）发现了在这个迭代方程中的后来被命名为“Li-Yorke定理”的迭代演化规律。当r较小时如果
。[3]
这种现象本身，许多科学家都曾经发现过，但他们都无法解释，连当时生物学界著名的May R教授也无法解释这个现象，其中大多数人想象这也许只是计算上的误差所造成的吧。的确，在计算上，微分方程的解的轨道上出现非常不规则而混乱的现象，常常被认为是计算方式上的问题，或是计算上的误差。因此而时常埋没了一些开创性的工作。而李天岩和约克，在气象学研究以及生物学研究的那些智者启发下，发现了其中蕴藏的“数学”规律。
图1 迭代产生的混沌
今天我们知道，当r大于某一数值时，迭代的数
：[4]
δ称为Feigenbaum普适常数。注意：这里的比例式也涉及序列的任意三个量。若是用Li-Yroke定理来解释，这种不规则的混乱现象并不是计算方式的问题，或是计算上的误差所导致的结果。事实上这些混乱现象存在于函数它自己本身的特性。这个混沌现象，不是人为计算上的错误或误差所造成的，而是“大自然的旨意”，函数本身是对自然界的一种映射，函数本身具有的“周期三则任何周期都出现”的性质，是不是也反映了自然界的“三生万物”呢？
3 “三”与复杂性
不仅仅有“周期三则混沌”这一现象，实际上，几乎凡是能够具有放大效应的事情，都和“三”有关。“三”是非线性和复杂性的重要标志。
牛顿建立力学体系后，对天体运动的研究进入新的历史阶段，天体力学正式诞生。牛顿创立的微积分是天体力学的数学基础。微分方程的积分描述了行星运行的轨道。于是，就可以根据运行规律，从某个初始状态出发，确定系统过去和未来的状态。正因如此，拉普拉斯乐观地说，不需要上帝的假设，只要知道初始状态和动力，他就能知道未来的一切。
如果太阳系中只有太阳和地球（这就叫二体问题），那么地球在太阳的引力作用下只能沿着椭圆形轨道运行，地球的运动只能依赖于与太阳的平方距离。从数学上说，二体问题是可积的，可用相对简单的数学方程描述，我们可以得到它的精确解。因此，如果太阳系只有二体，我们就能永远精确地预见这个系统任何时候的未来状态。“二体的运动是周期的：它一而再，再而三地重复下去……这立即证明地球不会冲撞太阳，或游到无穷远处去。……周期性给你一个装在稳定性上的很有用的把手。”[5]也就是说，二体的运动是周期性的，因而是稳定的、简单的、线性的。
然而，三体问题并非二体的简单外推，它发生了质的转变。就像我们前面说到人际关系时的两人则合，三人则分的现象一样，斯图加特说：“同样，在天体力学中，二体相互作用性态良好，三体相互作用却多灾多难”。[5]至于更多的天体，则只能望天兴叹了！由于太阳系中有许多天体，需研究这些天体在万有引力作用下的运动规律。这就是天体力学中的N体问题。19世纪的数学家已经知道，N体问题属于不可积的难题，只能近似求解。三体问题是N体问题中最著名的特殊问题。法国数学家庞加莱对此做了深入的研究，并在1889年以著名的《论三体问题和动力学方程》获得了瑞典国王奥斯卡二世颁发的奖金。近300年来，经过许多第一流的数学家、天文学家的艰苦努力，虽然取得了一些成果，但问题仍然悬而未决。除了继续研究一般解之外，还需要研究一些特殊的三体问题。例如，针对太阳系内的小天体，提供了限制性三体问题，所讨论的三个天体中，有一个天体的质量与其它两个的相比小得可以忽略不计，这样的三体问题就叫做限制性三体问题。庞加莱的研究就是这样一个问题。他一开始就指出，这个问题尽管看起来很简单，却不能用一般的分析方法来解决。为了解决这个问题，他创立了一种新的定性而非定量的方法，用它来研究运动方程。尽管他在著作中没有指出太阳系会解体，但是他证实了由3个天体构成的系统就可能是不稳定的，在双曲点附近存在着无限复杂的“栅栏结构”。他的发现表明，即使像限制性三体这样简单的系统，也会产生极其复杂的行为。实际上，这就是我们今天所说的混沌。斯图加特说：“庞加莱在他的相交叶栅网（如今称为同宿栅栏）中，注视着混沌的足迹。”[5]从二体到三体，并不仅仅是多一体的问题，而是彻底发生了质变，从简单、稳定的系统立即变成了复杂、混沌的系统。由此可见，三是混沌的起点，是系统的一个临界点。
在基本粒子的微观领域，三也是一个有趣的临界点。日本物理学家汤川秀树能够发现新的粒子，探得其中的规律，并且还获得诺贝尔奖，据说就得益于庄子所讲的那个关于混沌皇帝的故事。[6]他把北方的皇帝倏当成一种基本粒子，把南方的皇帝忽当成另一个基本粒子，再把中央的皇帝混沌当作另一个基本粒子，这三个粒子在没有相遇前，它们什么事情也没有发生，但一旦三种不同的粒子相遇于混沌之地，发生了碰撞，那就什么事情都会发生。而这个世界，这个世界中的物质，其实是三种基本粒子自由碰撞随机产生出来的多种样式。它们基本没有固定的形式，也没有什么固定的碰撞方式，之所以最后会用这种方式而不用那种方式，会碰撞出这种新物质而不是那种新物质，完全是混沌的结果，没有多少道理可讲。简单的3种粒子碰到一起就产生混沌，而4个、5个粒子或更多个碰到一起，就会产生更大的混沌。在这里，3也是混沌的边缘。
分形理论是复杂性研究的一种几何理论，它以其研究对象的复杂和图像美丽而格外引人注目，已经成为理解各个学科内复杂性的新语言和新工具。[7]在分形理论中，分形学者创造了以往传统数学和其他科学截然不同的方法。通过这些方法，人们不仅了解了以往被认为是“病态”或“非正常”的复杂性图样，而且能够通过这些方法和一些简单规则产生复杂性的样式，通过计算机模拟产生复杂极致的分形图样。其中最出名的是科赫(Koch)曲线和康托尔(Cantor)点集图形，而这些图形恰恰与3密切相关。
先说康托尔点集。取一线段[0,1]，称为初始元，将其三等分，即各线段的长度为原线段的1/3。取走中间一段，保留两侧的两段。将留下的两段分别再三等分，并取走中间一段，保留两侧的其余两段。照此继续地分割、取走下去，留下的线段越来越多，而其长度则越来越短，最终就分割成长度为无限短的无穷多个点，这些保留下来的分布开来的点组成所谓的三分康托尔点集（见图2）[8]。随着线段分为无穷多段，不仅每段的长度为零，其总长度也为零。这种三分点集，比原来的一维线段的维数少，而比零维的点的维数又多，经计算，它的维数为0.6309……。这就是为什么传统几何学把它当作怪物的原因，实际上，它就是一个最早构造出来的最简单的分形。它已经是非线性、复杂性的图形了。我们也可以同理构造出四分集、五分集等等，但不能是二分集。在这里三又是一个关键数字，是走向分形的关节点。
图2 康托集合
科赫曲线是一种具有相似结构的弯弯曲曲的线段。它的构造过程如下：
。如果将上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。图3所示是分别构造一次、二次和三次以后的图形。这条曲线具有无限的长度，但并占有有限的面积。用这种方法，还可以构造出科赫雪花图形（图4）[9]。一条有限长度的直线，经上述方法的反复操作，变成了长度无限、面积有限的曲线，这在传统几何学看来也是一个怪物。但实际上，它也是一条构造方法最简单的分形图形。在这里，数字“三”又是一个关键的数字。它是有限线段走向无限曲线，简单线段变成复杂图形的关键步骤。
图3 科赫曲线构造过程
图4 科赫雪花
难怪有人说，“3”是领先于一切自然数的物理意义，“3”不仅是系统走向混沌的第一关节点，而且本身就蕴涵着混沌，也是自然界“造就”混沌的基数。作为“无穷多”和生成演化意义的“3”，或许可以作为一个重要的宇宙常数，从而划定牛顿力学适用的第三个边界，并赋予中国古代“三生万物”的道家思想以现代科学的诠释。[10]
致谢：感谢我的导师沈小峰老师，我去看望他时，给了我这个有趣的题目，而后我和我的博士生黄欣荣共同完成了这篇文章，因此这个工作实际上凝聚了师生三代的思想和观点。作者之一吴彤谨记。
收稿日期：2003-06-18