胡 毅 四川省阆中中学 637400
摘 要：数形结合思想是高中数学最基本也最重要的思想方法之一，“数”与“形”的结合使许多抽象的问题直观形象化，不仅培养了学生们的思维能力和数学素养，更大大激发了他们学习数学的兴趣。本文论述了该思想在高中数学中的应用。
关键词：高中数学 数形结合思想 应用
所谓的数形结合思想，顾名思义，一般来说是指数字和图形之间的某些一对一的联系。简要地概括说来，这种数形结合思想说的是把非具体的数学语言、数量之间的联系和直接可以观察到的几何形状、方位关系等联系到一起，利用数学解读形状和利用形状帮助理解数学的方法，让比较繁琐的问题变得比较简单，让不是很具体的问题进行具象的描述，用这样的方式来让解决问题的方式变得更加简单。在高中数学教学中要注意应用这种数字和图形相结合的解答问题的思想，不仅可以让数学问题用图形的方式就能解决，还能够把几何问题转变成为代数问题。这样就能够让高中学生在数学的学习过程中突破屏障，从而达到解答数学问题的目的。
一、数形结合思想在高中数学中的具体应用
1.在集合中的应用。
一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
比如说在一个班级中有学生48名，每个人都必须参加一个小组，参加数、理、化小组的学生数量分别是28人、25人以及15人，同时参加数学和物理小组的有8个人，同时参加数学和化学小组的有6个人，同时参加物理和化学小组的有7个人，那么，同时参加数理化的有几个人？在解题的时候，我们可以通过圆A（数）、B（理）、C（化）来进行人数的表示，如图所示，那么三个圆相交的部分便是参加数理化小组的人数。我们用n来进行集合元素的表示，那么n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩B)-n(A∩C）+n(A∩B∩C)=48, 即28+25+15-8-6-7+n(A∩B∩C)=48。
通过问题的解答我们能够发现，同时参加数理化小组的人数为1。
2.在函数与方程中的应用。
方程的解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化。其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图像的交点个数即为方程解的个数。而准确合理地作出满足题意的图像是解决这类问题的前提。
例如，已知方程|x2+4x+3|=m有4个根，求实数m的取值范围。
分析：此题并不涉及方程的具体值，只求根的个数，而求方程根的个数问题可以转化为求两条曲线交点个数问题来解决。方程|x2+4x+3|=m根的个数问题就是y=x2-4x+3=（x-2)2-1与函数y=m图像的交点个数。作出抛物线y=x2-4x+3=（x-2)2-1的图像，将x轴下方的图像沿x轴翻折上去，得到y=|x2+4x+3|的图像，再作直线y=m，如图所示，由图像可以看出，当0<m<1时，两函数图像有4交点，故m的取值范围是(0,1)。
3.在解析几何中的应用。
在解析几何中，借助直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图像的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。
例如：如果实数x、y满足等式（x-2)2+y2=3，那么 的最大值是（ ）。
A.B.C.D. 3
分析：等式（x-2）2+y2=3有明显的几何意义，它表示坐标在平面上以（2，0）为圆心、r= 3为半径的圆。而 =则表示圆上的点（x,y)与坐标原点（0，0）的连线的斜率。如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆心、以 3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值。如图，当点A在第一象限且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan60°= 3，答案D。
二、结语
以上实例，简单分析了“数形结合”思想在集合、函数、解析几何数列、三角中的相关应用，将一些数学问题利用“数形结合”的方法去解决，可以化难为易，形象直观，更易于理解，可以大大简化运算，提高解题速度与正确率。因此在教学中，教师要合理、灵活地使用数形结合的方法，展现数形结合的魅力，降低学生的学习难度，充分体现学生的主体性，从而激发学习兴趣和提高学习效率、发展智力与技能，培养学生的数学思想与思维，更好地促进学生的数学学习，以大面积提高高中数学教学质量，推进新课程改革的进行。
参考文献
[1]张秋林 中学数学中数形结合初探[J].学周刊.2011，(09)。
[2]钱建良 张菁 例说数形结合思想的应用[J].中学生数学，2014年，09期。
[3]陈大伟 高中数学教学中数形结合法的运用探讨[J].中国校外教育，2014，(S1)。
论文作者:胡 毅
论文发表刊物:《中小学教育》2015年6月总第209期供稿
论文发表时间:2015/7/8
标签：数学论文; 思想论文; 方程论文; 图像论文; 交点论文; 个数论文; 小组论文; 《中小学教育》2015年6月总第209期供稿论文;