凸显迁移能力的教学设计个案——“从问题到方程”教学实录与设计说明，本文主要内容关键词为：个案论文,方程论文,教学设计论文,能力论文,教学实录论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教学内容
苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册“4.1从问题到方程”。
内容解析
方程是连接代数式与函数的桥梁，是初中代数中重要的内容之一。其本质是通过构建含有未知数和已知数的等式，打开它们之间的通道，从而达到解决问题的目的。用方程解决问题的教学要点，不是它的类型，也不是列表法、图示法等具体的方法分析，而是寻求含有未知量和已知量的相等关系。从这个角度来看，“从问题到方程”就是把实际问题转化为数学问题（方程问题），即将未知数引进等式，再通过解方程解决问题。
本节内容为方程的起点，学生在小学数学学习过程中已经接触过方程的一些知识，对此内容并不陌生。关键是要让学生清楚为什么要用方程来解决问题？小学算术不可以吗？为什么要换个角度来研究？
教学目标
(1)通过《鸡兔同笼》的解法探究，构建算术方法向方程方法的转化活动，自然衔接中、小学数学知识。
(2)通过对以“秋游”为主题的系列问题的探究，初步会用方程表达数量间的相等关系，初步感受方程是刻画现实世界的有效模型。
(3)通过对《鸡兔同笼》问题、以“秋游”为主题的系列问题、“方程与天平”的问题分析，体验在生活中学数学、用数学的价值，感受学数学的乐趣。
教学重点
体验方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，用方程表达数量间的相等关系。
教学难点
从实际问题中建立方程模型。
教学实录
1.趣题再解
(1)趣题引入
《鸡兔同笼》是我国古代著名趣题之一，大约在1500年前，我国古代一部较为普及的算书《孙子算经》就记载了这个有趣的问题。它还曾经漂洋过海传到日本等国。请看题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
(2)探索算术解法
问题1 请同学们回忆一下，在小学阶段是怎么解决这个问题的？
：把兔子的足砍去一半，则有35×2=70（只）足，那么被砍去的足有94-70=24（只），故有24÷2=12（只）兔子。
师：噢，你是运用假设把兔子的足砍去一半的方法来解决的。这个方法很好，大数学家孙子就是用这种方法来解决该问题的，我们就把它称之为“砍足法”。（板书：砍足法。）
：我受解法的启发，想出如下解法：假设让兔子全“起立”，那么鸡、兔共有35×2=70（只）足，而实际多了94-70=24（只）足，故有24÷2=12（只）兔子。
师：的想法颇具“拟人”的味道，这是一种创新，而且更具人性化，很有研究价值。我们可将此方法称为“兔立法”。（板书：兔立法。）
：老师，我是这样想的，兔有4只足，鸡有2只足，这样对鸡是否有些不公平？不过我又想，兔子没有翅膀，而鸡有2只翅膀，这样一想，也能算是公平了，和谐了。我们如果把鸡的两只翅膀也算足的话，那么就有35×4=140（只）足，这就说明鸡有140-94=46（只）翅膀，故原来有46÷2=23（只）鸡。
师：的方法是假设将鸡的2只翅膀也算作足，让鸡与兔和谐共生。因此，我们可将此方法称之为“公平法”（板书：公平法）。事实上，这种解决问题的方法，数学家张景中院士给青少年讲数学时早就运用了，看来具有数学家的潜质噢！
(3)引入方程解法
问题2 上述解决问题的方法主要运用的是小学数学知识，请同学们考虑一下，这几种方法有什么共同点？
：我认为上述解决问题的方法虽然不尽相同，但是它们都是在假设的基础上进行的。
师：的回答很好，从上述的解法中，我们体验到了假设思维的妙处。虽然有些事情并没有发生，但我们可以在想象中假设它发生了，于是出现了合乎解决问题的情境，从而获得问题的答案。故上述解法，其实质就是“假设法”。
问题3 能否沿着假设法的思路，通过用字母表示未知数的方法来解决该问题？
：假设鸡有x只，则兔有(35-x)只。根据鸡兔共有94只足，就有2x+4(35-x)=94。剩下的问题就变成求x的纯数学问题了。
师：的思路非常清晰，他将小学阶段学习的“假设法”迁移到我们初中数学中。今天我们就来研究——从问题到方程。（板书：从问题到方程。）
2.主题式探究
师：秋天是个收获的季节，学校准备组织部分同学去秋游。小明是秋游活动的负责人，你们能帮他解决下面的问题吗？请看题：
问题4 学校组织七年级94名三好学生到玄武湖划船秋游，共用船35条，若每条大船可以坐4人，每条小船可以坐2人，如果小船有x条，那么可得方程一
：因为坐大船的总人数+坐小船的总人数=94，于是有方程4(35-x)+2x=94。
师：俗话说，兵马未动，粮草先行。现决定为秋游活动准备水果，你们能帮小明当好这个后勤部长吗？请看题：
问题5 用94元钱买苹果和橘子共35千克，已知苹果4元每千克，橘子2元每千克。如果买了x千克橘子，那么可得方程＿＿。
：由于苹果的总价钱+橘子的总价钱=94，则有方程4(35-x)+2x=94。
师：当秋游回来，学校正举行球赛，有一个有关球赛的问题需要小明解决，你们能帮小明解决吗？
问题6 某排球队参加排球联赛，胜一场得4分，负一场得2分，该队赛了35场，共得94分。问：该队负了多少场（用方程表示）?
：胜的场数×4+负的场数×2=94。
解：设该队负x场，那么胜(35-x)场，可得方程2x+4(35-x)=94。
师：看完球赛，回到教室，小华向小明请教了两道习题，你们能帮小明解决吗？
问题7 已知师傅每小时做4个零件，徒弟每小时做2个零件。现师、徒二人在35小时内完成94个零件的加工任务。那么徒弟做了多长时间（用方程表示）?
：根据徒弟做的零件总数+师傅做的零件总数=94，可以列出方程。
解：设徒弟做了t小时，
则有2t+4(35-t)=94。
3.变式体验
(1)变式训练
问题8 在一次电脑知识竞赛中共有20道题。对于每道题，答对得5分，答错或不答扣3分，邓民同学得到84分，则他答对多少道题（用方程表示）?
：我可以根据答对的得分—答错或不答的扣分=84，列出方程。
解：设答对x道题，那么答错或不答(20-x)道题，有5x-3(20-x)=84。
(2)体验平台
师：我想刚才的秋游活动同学们不仅愉快地和小明度过了一个美好的秋日，而且还学会了用方程去解决实际问题的方法。下面让我们一起再体验一下用方程去解决问题。
（学生练习课本第92页试一试、练一练。）
(3)心灵升华
师：现实生活中充满了大量的相等关系，方程的思想无处不在，现在就让我们再去感受一下方程的思想。
如图1所示天平，可以得到的方程为：x+2=10。
图1
如下页图2所示天平，可以得到什么方程？
心灵感悟：方程是解决实际问题中相等数量关系的有效模型。
图2
4.仿真中考
师：看来同学们今天对方程的相关知识学得不错，下面通过两道中考题，让同学们了解一下中考对这部分知识的要求，提前感受一下中考。
(1)（2007年江苏·徐州卷）某通讯运营商的短信收费如下：发送网内信息每条0.1元，发送网际信息每条0.15元。该通讯运营商小王某月发送以上两种短信共计150条，依照该收费标准共支出短信费用19元。若设小王该月发送网内短信z条，则可得方程＿＿。
(2)（2008年浙江·台州卷）四川“5·12”大地震后，灾区急需帐篷。某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该项企业捐助甲种帐篷x顶，则可得方程＿＿。
5.合作交流
师：请同桌间根据老师提供的情境自己出题、交换答题、相互评价。
参考情境：鸡兔同笼类型问题、购物问题、球赛问题……
（要求：只列出方程，不要求解答。）
6.反思小结。
师：通过本节课的学习，同学们对方程的相关知识又有什么新的理解呢？
：用方程解决问题的方法好像是一种创设法。
：从“问题到方程”的关键：建立含有未知数的方程。
：从“问题到方程”的实质：方程是解决实际问题中相等数量关系的有效模型。
：从“问题到方程”的思想：实际问题
数学问题方程模型。
：从“问题到方程”的方法：实际问题数学问题确立等量关系设未知数列方程。
……
7.课后延伸
“新鸡兔同笼问题”：已知每千克五角硬币价值132元，每千克一元硬币价值165元，现有总重量为2千克的硬币，总数共计462枚，问其中一元和五角的硬币分别有多少枚？
教学设计说明
本节课的教学设计紧紧围绕“方法迁移”“知识迁移”来展开。通过引导学生经历从小学算术（算法）到中学数学（方程）的探索历程，来体现“方法迁移”；通过对同一模型2x+4(35-x)=94的不同背景的呈现，来体现“知识迁移”。这样设计主要是让学生经历将实际问题数学化的过程，体验用方程的模型来解决实际问题的过程，让学生初步感受用方程解决实际问题与小学算术方法相比既简单又深刻，让学生体验方程是解决实际问题的有效工具，它具有省时省力之功效。
1.关于教学目标的落实
首先，教学中通过“砍足法”“兔立法”“公平法”等解法迁移，激发了学生对数学的美好情感，一开始就将知识与情感有机地整合到课堂教学之中；其次，通过不同问题的“解法归一”，让学生深度思考，思维迁移，使学生充分认识“方程是刻画现实生活中相等关系的有效模型”，体验在生活中学数学、用数学的价值，再一次保证“方法与过程”“情感、态度与价值观”等目标的有效落实。具体地讲，在以“秋游”为主题的系列问题探究中，着重落实“知识与技能”目标，在对《鸡兔同笼》问题的解法探究中，着重落实“过程与方法”目标，在对“方程与天平”问题的分析中，着重落实“情感态度与价值观”的目标。当然，三维目标是不可分割的有机统一体，它的落实贯穿在教学设计的全过程中。
2.关于教学过程的设计
教学过程是课堂教学设计的核心。教学任务、教学目标、教学对象的分析，教学媒体的选择，课堂教学结构的选择组合等，都将在教学过程中得到体现。课堂教学要求我们关注学生的主动参与，让学生在观察、分析、讨论、探究中，在情感的体验中，进行有效迁移。在这样的理念下，教学的过程呈现主题或网状思考状态，教学诸因素不是沿着“教”这条单线前行，而是在“学”与“教”的交错中，按照教学目标、教学任务动态前行。本节课的教学过程设计有如下特点：
(1)情境导入——遵循从“最近发展区”出发。
每节课的开始，是师生建立情感的第一座桥梁，也是经营整个课堂气氛的一个重要环节。导入环节应当做好两个方面的工作：一是在上课开始，运用新颖的刺激和引人入胜的活动，引导学生把注意力转移到新的学习课题，引起学生对课题的关注，使学生的心理活动集中于要掌握的内容；二是利用学生熟知的素材，把它作为“引子”过渡，找到新知识与学生原有知识经验的“切合点”，将新知识通过“同化”或“顺应”迁移到已形成的知识结构中，从而达到学习新知识的目的。
本节课的情境创设，没有使用课本中提供的“天平情境”，而采用古代《鸡兔同笼》作为问题情境，主要基于以下几个方面的考虑：一是从学生“最近发展区”出发，通过对《鸡兔同笼》的趣题再解活动，来激发学生学习数学的兴趣，唤起学生的求知欲；二是通过“砍足法”“兔立法”“公平法”的解法归一，得到解决问题的本质是一种思想，即假设思想，通过这样的过程，培养学生的迁移能力；三是通过将假设法迁移到用方程方法解决问题，为学生提供非常自然流畅的思维场景（通过教师的提问：能否沿着假设法的思路，通过用字母表示未知数来解决该问题呢），为学生迁移能力的发展作有效的铺垫。
(2)主题式探究——坚持凸显问题的本质。
主题式探究是围绕某一中心问题展开“形散神不散”的探究迁移活动。在主题式探究中，问题是核心，没有问题就没有探究，更没有有效的思维迁移。
本节课的主题式探究活动，通过对《鸡兔同笼》问题探究形成的基础，巧妙地选择学生即将进行的“秋游”主题活动（上这节课时正值学校准备组织秋游活动），使学生倍感亲切，增强了学生的探究欲望。
具体的探究活动，一是通过对同一模型2x+4(35-x)=94来展开知识迁移，让学生体验“同一个方程模型可表述不同的问题背景”。首先，问题背景为秋游活动中的“用船情况”；然后，将问题背景迁移到秋游活动中协助“后勤部长”工作；接着，将问题背景迁移到秋游结束后的球赛中；最后，将问题背景迁移到帮助小明解决小华提出的问题。让学生感受生活中无处没有“从问题到方程”，进一步增强学生对学习此知识的必要性的认识。设计这些不同背景的迁移，一是让学生充分认识到方程的实用性，二是让学生感受到方程的本质美。
二是设计变式训练，给出异于方程2x+4(35-x)=94的问题（其模型为：5x-3(20-x)=84），主要是让学生形成“不同的方程可以表述不同背景”的经验，并在此后安排练习，让学生有更多的体验。
(3)心灵升华——意在将知识内化为积极的情感。
学习的目的不仅仅是让学生学习具体的知识，还要让学生从知识中获取迁移的方法，使学生会学，使学生获得积极的情感体验，对知识形成正向迁移的能力。
本节课通过“趣题再解”“主题式探究”“变式体验”等环节，让学生体验用方程去解决问题的快乐。然后在此基础上指出，方程的思想无处不在，无处不有。这时学生已具备了知识的横向迁移能力，此时让学生去感悟“方程与天平”的联系，那么学生对天平的认识，必然是不仅仅停留在小学那种简单的在“形”中“看”，而是在“数”中“思”，即由感性思维迁移到理性思维，有力地落实了《数学课程标准》提出“螺旋式上升”的要求。
(4)巩固练习——考虑强化练习的内推力。
学生对知识和技能的掌握不是一蹴而就的，即使是学生已经理解了的内容，如不及时巩固也会遗忘，不适当练习也难以达到熟练的程度。因此，强化巩固是课堂教学不可缺少的环节。
本节课的练习安排了两个方面：一是课本中的练习题，主要是让学生进一步在“做”中“学”，“练”中“思”；二是让学生将视角迁移到中考试题的解答上，让学生感受中考，增加学习的自信心。
(5)小结反思——基于提升学生思维。
好的课堂教学，不仅应当引人入胜，还应有发人深思、余味无穷的小结反思。课堂小结不仅仅是对教学内容进行梳理，归纳总结，理清知识脉络，还要促进知识的拓展、延伸和迁移，以便实现提升学生思维的目的。
正是基于上述思考，本节课的设计要求学生通过对学习过程的小结和反思，得到用方程解决问题的关键、实质、思想和方法，并让学生探究“新鸡兔同笼问题”，再次激发学生的学习热情，鼓励探索创新。