用系统理论观点研究数学教学——ICME9论文评介之三，本文主要内容关键词为：之三论文,数学教学论文,观点论文,理论论文,论文论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
来自英国牛津Brookes大学心理学系的T·能斯（Terezinha Nunes）是在第九届国际数学教育大会（ICME9）上作60 分钟大会报告的唯一的女士，她的报告《数学教学如何发展学生的推理系统》（How mathematicsteaching develops pupils' reasoning systems ）是这样来立论的：“近年来的理论研究把建构主义和社会建构主义对立起来。在本文，我却认为：若用系统理论的方法审视皮亚杰的建构主义与维科斯基的社会建构主义，则他们是贯通的，他们能帮助我们理解学生推理系统的发展，这一系统源于思维者（皮亚杰的贡献）与思维工具（维科斯基的贡献）的变化。”
1 通过加法运算阐明什么是推理系统
为了说明这一问题，能斯列举了前苏联心理学家Luria的例子。Luria认为：所有较高级的智力功能都是由功能系统来执行， 而不是由某个特定器官来执行。要达到一个不变的目标，可以有变化的多种作用机制来执行，这就是功能系统。Luria以“记忆”为例：要记住某物， 可以通过复述，或者在绳子上打结，或者是写下来（写的方式可以用铅笔、钢笔、左手、右手，甚至用脚），这个功能系统是通过多种不同的作用机制来完成“记忆”这个目标的。
即使是最基本的数学活动，比如加法，也是由功能系统来完成的，事实上并没有专门的器官用于加法。能斯举了这样一个例：玛丽有5 颗糖，她的祖母再给她3颗，她现有多少颗糖？ 学生可以通过多种不同的作用机制寻找答案。他可以先伸出5个指头，然后再伸出3个，并把所有的数出来；他也可以仅伸出3个指头，然后直接从5数起，这个学生也可以不用手指而记起一个加法事实，5＋3；若是一个相当大的数字，那他可能决定使用计算器。这些可变的作用机制就导致了加法问题不变的结果。
能斯认为，在教育活动中，“当一个作用机制被新的作用机制所取代时，这个系统就发生了变化。”如上例，学生的推理系统所采取的原则是一一对应的：一个指头代表一颗糖，一个计数单词附加在一个指头上，最后的计数单词即为糖果的数字。“而当学生独自用单词‘5 ’代替5个指头时，这个系统就变化了：一个单词同时代表所有的5颗糖，而不是一个指头代表一颗糖。这个小小的变化对推理系统却产生着重大的影响：虽然手指数目有限，但数字单词却可以无限扩展，原来有着严格限制的推理系统现在变得有力了，是因为其限制因工具的变化而消除。”
从使用指头到使用计数词的这个变化是否是简单的呢？能斯认为并非如此，“因为它需要对组织推理系统原则的提炼”，能斯本人的研究表明，计数词作为对应的提炼，它对于学生理解数字系统是新的原则，但学生要掌握它却不是简单的。她指出：皮亚杰和维科斯基都认为：数字概念的建构（这个数字超越了可见的一一对应）包含着行为的内化和一个较长的过程。教师把新的作用机制提供给学生时，学生必须改变原来的推理原则最终形成新的作用机制。”
2 用系统理论分析乘法推理
当一个新的作用机制纳入推理系统时，该系统是否总是朝着更好的方面发展呢？能斯用乘法的例子否定了这一观点并把推理系统的认识引向深入。能斯从皮亚杰关于乘法的推理始于学生使用“一对多”的对应的认识出发，指出：“当解决问题的工具是手指头和其它操作手段时，学生能够在较早年龄阶段使用‘一对多’的对应来解决乘法问题。”他列举了Komilaki（1999）所进行的一个实验：
4个房间的每间有3只兔子，所有的兔子将在一个大房间吃食，某孩子的任务是把确切数量的食物团放在这个大房间以便每只兔子都有一个食物团。在这个孩子面前只是一排4间房子，但是没有兔子。 Komilaki观察到，67％的5岁孩子和所有的6岁和7岁的孩子都能得到正确答案。5岁、6岁的孩子采用了两种方法；一种是建立食物团和房间之间的对应（每间房子前放3个，然后将其收集起来）； 另一种是计算（对每间房数3次确定出兔子数，然后拿出同样数目的食物团）。7岁的孩子能够通过对应或算法（已学习了乘法表）解决此问题。这一实验表明：年龄较小者并没有因未学乘法表而不能用对应解决乘法问题。
能斯用学校外解决问题的多种情形说明：“通过对应来推理能够为解决乘法问题创造有力的系统。”比如：孩子们在街上买东西，工匠按比例图计算墙的尺寸，渔夫依据所捕量计算加工出的海鲜量，农民计算出拖车的容积等，所有这些推理主要通过对应。能斯例举了一个有说服力的例：一个渔夫被告知，每捕到18千克某种虾可以生产3 千克去壳的虾，若某顾客想买2千克去壳虾，那该为他捕多少千克这种虾呢？ 渔夫是这样推理的：1.5千克去壳的相当于9千克未去壳的，且0.5 千克去壳的相当于3千克未去壳的，则未去壳的这种虾应是9＋3＝12千克。 能斯认为：“他使用对应非常清晰：一定量的未加工品对应于相应量加工后的产品，通过每一变化中执行相同的操作来完成计算：假如一个被2 等分，另一个也被2等分。”能斯得出结论：“在校外， 人们通过使用新的工具——比例法的算法代替操作手段形成解决乘法问题更容易地创造出功能的推理方法。”
能斯进一步指出，在提炼推理原则方面，校内学生并不比校外的人更成功。“分析孩子问题解决策略的研究表明：比例法策略势不可挡地为学生所喜爱。”
3 关于发展学生推理系统的教学方式
能斯认为：“运用系统理论分析乘法推理有助于阐明校内、校外学习的进步性和局限性。我想这也有助于提出发展学生推理系统的好的教学方式的更为清楚的假说。”她认为，建构主义与社会建构主义提出了两种路径，他们不是排斥的，而是渗透、互补的，两者的起点是相同的：学生的对应推理。研究又表明，加法和乘法推理是以不同原则为基础的：乘法推理与两个变量间不变比率相联系，而加法推理与“部分—整体”关联中的不变量相联系。能斯认为：假如给学生提供新的表示（学生可结合自己的对应推理来使用这种表示）来教授乘法，比把乘法作为同一数字的加法组合来教授将更好，这里一个重要的问题是，什么样的教学才能更好地实现提炼呢？
能斯从两个方面提出了关于这一问题的假说。其一，是基于皮亚杰建构主义的，即：“学生把教给他们的东西同化为自己对乘法情形的理解方式。乘法算法作为工具使用能够被同化。”一个具体的教学措施是通过处理“集中数量”（intensive quantities）的概念来完成，教师应该创立丰富的集中数量的情景，学生必须考虑到这数量中的两个变量的联系才能成功解决问题（如，用同样数量的钱在甲商店买了一大箱爆米花，而在乙商店买了一小箱爆米花，甲商店比乙商店贵吗？在英国的实验表明：6岁学生仅仅10％，7岁学生仅仅30％作出正确解答）；其二，是基于维科斯基的社会建构主义的，即：“维科斯基理论表明，学会使用符号系统是一个社会过程，在课堂上，教师可以把学生的注意力引导到比例法或者功能的联系（当然，也包括两者）。那么，一个教学策略是允许学生使用对应方法来解决一个问题，然后把他的注意力集中在相同情形下的乘法操作对象。”能斯指出，基于上述假说的教学计划虽已提出一些，但仍未有清晰的证据表明其有效性。
4 应该更深入地研究学生的学习
能斯的报告最后没有提出一个结论性的研究成果，而是提出了一个需进一步探究的进程：“为确保在课堂上建立有力的推理系统，必须研究：哪些原则对于系统运转是必须的？教师能引入到推理系统中多样化的作用机制或工具是什么？以及我们期望完成何种变化类型？”“假如我们能够理解学生在推理组织中所采用的原则？就能够检测出他们需要什么提炼，并且研究出在课堂上促进这些提炼的方式。”
能斯上述观点集中于一个核心点：“理解和认识学生”，这即是问题的关键所在。事实上，关于学生在学习过程中（也包括学习前）真实思想的研究正是现代心理学中最为热门的研究课题。从能斯的报告中可以得知，那怕是像加法或乘法这样简单的推理系统都是开放的。其间所使用的算法也是多样化的，由学生自立或自发采用的推理不能说都是不合理或不可取的。能斯将皮亚杰和维科斯基的理论观点融入系统观中，使我们对问题的认识有了一个更新的视角，它给我们的启示是多方面的。比如：怎样看待现实情景在认识中的作用，如何关注学生在学习同一内容时认识上的差异性及认知策略的多样性？如何评价学生在学习前或学习中所形成的“非标准观念”（或“朴素观念”）的合理性？怎样认识基于生活的“民俗数学”的价值和局限？如何把握好教学活动规范性的尺度，以引导“非标准观念”向“标准观念”转变？如何看待具体与形式建构之间的关系？等等。
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