量词模态逻辑的代数语义学（Ⅳ，下）——关于含Barcan公式的非正规模态系统情形，本文主要内容关键词为：语义学论文,量词论文,模态论文,代数论文,公式论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
§4。包含对称公理之另外6个系统以及一个递增系统列。我们称
为对称公理（σ）。
首先有下述定理：
定理6。设U＝〈W，Q，R，D，V〉为一模型结构，则当R在W—Q上为对称的时（σ）在U上有效。
证。设U为对称的，i.e.，关系R在W—Q上为对称的。（1 ）考虑任一w∈W—Q今证（*） V（（σ），w）＝1，亦即
，此处用到V（□T，w）＝1对任何w∈W—Q。设V（A，w）＝0，则（*）显然成立。故设（* *） V（A，w）＝1。今证V（□◇A，w）＝1，即对任何w′∈W，只要wRw′即有V（◇A，w′）＝1。分两情形：i）若w′∈Q，则显然后一等式成立；ii）w′∈W—Q，则因R在W—Q上为对称，可知有w′Rw，故由（* *）即知V（◇A，w′）＝1。
（2）设w∈Q，则因V（□T，w）＝0，可知（*）仍成立。证毕。
以下我们用E2（S），E3（S），EB，E5，S2（S）及S3（S）分别记添加公理（σ）于E2，E3，ET，E4，S2和S3所得系统，并用E2-（S）*，E3-（S）*，EB*，E5*，S2（S）*及S3（S）*分别记E2-（S）+BF，E3-（S）+BF，EB+BF，E5+BF，S2-（S）+BF和S3-（S）+BF。则有
定理7（Kripke型语义完全性定理）。 若φ为
当且仅当对任何对称、
认知（对称、传递、认知，封闭、对称、认知、封闭、对称、传递、认知）模型结构U，φ均在U上有效。
由E2[,n]我们亦可引进E2[,n]（S）为在E2[,n] 中加入对称公理（σ）而得的系统列；同时亦可以由E3[,1]而引进添加公理（σ）之系统E3[,1]（S）。显然有E2[,0]（S）＝E2（S），E2[,1]（S）＝S2（ S），E3[,1]（S）＝S3（S）。且如E2[,n]一样，E2[,n]（S） 亦为一严格递增之非正规模态系统序列且有UE2[,n]（S）＝B,n∈ω，此处B为熟知之Brouwer系统（见[1]）。
命E2[,n]-（S）*表E2[,n]－（S）+BF，E3[,1]－（S）*＝E3[,1]－（S）+BF。不难明白E2[,n]－（S）*＝｛E2（S）*，□[n]T；MP，
有效的（相应地，E3[,1]-（S）*有效的），i.e.,φ在任何对称、认知（相应地，对称、传递、认知）模型结构上均为n－弱有效的（相应地，弱有效的）。
公式φ在任何S*（＝E2-（S）*）模型结构上均有效。要证├E2(S)*φ。若不然则将有～φ为E2-（S）*无矛盾的。于是～φ将可扩大为E2-（S）*极大无矛盾集Γ[,0]。 分两种情形：（一）设Γ[,0]中不含形如□Ψ的公式，则可考虑§2 中提出的S* 模型结构U[,0]＝
（*）├E2[,n](S)*φ（或├E3[,1](S)*φ），n≥1，则φ必在任何对称、认知（对称、传递、认知）模型结构U上n—弱有效（弱有效）。事实上由上面描述过的定理4′知有
即φ为E2-(S)*(E3-(S)*)n —弱有效的（弱有效的），即φ在任何对称、认知（对称、传递、认知）模型结构上n—弱有效（弱有效）。
定理9为n=1时的定理8（因为S2-(S)*＝E2[,1](S)*而S3－(S) * ＝E3[,1](S)*）。但为了证明此事尚须用到带公理（σ）的定理3， 不妨叫做定理3′；而为了仿定理3以证定理3′，须用到如下之
其证明见附录。§5。上述诸系统的代数语义学。
叫做一个D2*（E2*；E3*；ET*；E4*；对称）一代数，若iii）P1＝1，此处1为＜K；∪，∩， —＞中的幺元 （最大元）（（iv）a≤Pa对一切a∈K；iv）且v）P（Pa－P0）＝Pa对一切a∈K，此处0表＜K；∪，∩，—＞中的零元（最小元）；iv）且vi）PP0＝P0；iv）且vii）PPa＝Pa对一切a∈K；viii）a—P0≤NPa对一切a∈K）。
E2*-代数又叫做e*-代数；E3*-代数又叫做传递e*-代数；ET*-代数又叫做封闭e*-代数；E4*-代数又叫做封闭、传递e*-代数。
本定理相当于[10]中之定理4。后一定理在[10]中未详细证明，而是指出可以仿照H.Rasiowa的一篇文章中之第120—124页上对S4*的证明那样进行论证。该文即H.Rasiowa,Fund.Math.,38(1951),99—126。本文对定理10的证明亦作同样处置，兹不赘。
设X为一个E2*-代数（相应地，X′为一个E3*-代数），亦即，X 为一个e*-代数（X′为一个传递e*-代数）。又设D为一可数集，D=｛d[,i]ㄧi∈ω｝。则有
下面考虑带有对称公理（σ）的诸非正规量词模态系统的代数语义。采用前面的记号，我们用S*记系统E2-(S)*，E3-(S)*，EB*和E5*之一，则依次有S*—代数为对称e*代数，对称、传递e*代数，对称、封闭e*代数和对称、封闭、传递e*代数。显然上述定理10对以上四个系统仍旧成立，只须注意，由定义2中的条件viii），对任何非空个体域D及任何对称代数X有
因为在对称代数X中有
a－P0≤NPa对一切a∈X成立。
本文主要目的即在证明上述扩大了的定理10和定理11之逆定理仍成立。换言之，我们要证明该两定理中所论及的含Barcan公式的非正规量词模态系统均为代数语义完全的。证明的思想同于吕等文[10]，而后者主要依据Lemmon文[4，7]中由模型结构U构作代数U[+] 的想法和高[11]中由代数语义向关系语义转化的方法。
考虑模型结构U＝[+]＝＜W，Q，R，D，V＞。此处W，Q，R，D， V之意义同前，不赘。由U我们构作一代数U[+]如下：
U[+]＝〈2[W]；∪，∩，—，P〉
定理12。设S*表示C2*，D2*，E2*，E3*，ET*，E4*以及E2-(S)*，E3-(S)*，EB*，E5*之一。那么若模型结构U＝＜W，Q，R，D，V＞为S*结构则U[+]为S*—代数。
证。以E5*＝E4(S)*＝E4-(S)+BF为例证明之。设U为E5*-模型结构，则U为认知的（因E5*有公理（ε）），传递的和封闭的（因E5* 有公理（τγ））和对称的（因E5*有公理（σ））。
综上可知U[+]为一E5*代数。证毕。
现在我们来证明E3*的典范模型结构Uc是传递的，亦即关系Rc为传递的。为此我们考虑由Uc得到的模态代数U[,c][+]：
U[,c]＝＜2[Wc]；∪，∩，-，P〉此处P定义为
因Uc为E3*-模型结构，由定理12知Uc[+]为E3*-代数。
因由Lemmon[7]第196页上之引理知有
故在Uc[+]上有
设U=＜W,Q,R,D,V＞为一S*-模型结构，U[+]=<2[w]；∪，∩，—，P>为由U导出的S*-代数，则可定义一个相应的S*-代数模型
定理13。设S*为上一定理中讨论到的十个系统之一。又设U=＜W,Q,R,D,V＞为任一S*-模型结构，U[+]为由U导出的S*模态代数。
为上面定义的值格为U[+]的代数模型。则有
定理成立。类似地可证明如下之
定理证毕。
证。设φ在一切S*代数模型上有效，则特别地，φ在以由任何S*模型结构U所导出的S*模态代数U[+]为值格的任何代数M[,a]上有效，从而由定理13及§2末尾之推论2，以及定理7可知必有
。定理证毕。
。 则├s2*(s3*,s2-(s)*,s3-(s)*)φ。
证。设U=＜W,Q,R,D,V＞为任意E2*（相应地，E3*,E2-(S)*,E3-(S)*）模型结构，U[+]为由U导出之e*（相应地，传递e*，对称e*， 对称传递e*）模态代数。设
为任何以D为个体域，U[+] 为值格之代数模型且有
证毕。
对任何认知（对称认知）模型结构均为n—弱有效的。从而由推论4及定理8知有
├E2[,n]*＜E2[,n](S)*＞φ。定理证毕。
附录
定义3。一模型结构U=
（i） W[,x]=｛yㄧxR*yVy=x｝;
（ii） Q[,x]=W[,x]∩Q;
（iii）R[,x]=｛＜y,z＞ㄧyRz&.y,z∈W[,r]｝;
（iv） V[,x](x[,i])=V(x[,i]=d[,i]不变，对i∈ω。而
V[,x]-(P[,j][(n)]=｛＜d[,i][,1],…,d[,i][,n],w＞ㄧ
（二）设B=～C且已证（*）在B为C时成立。则有V[,a]( ～C,W)=1iff V[,a](C,W)=0 iffV(C,W)=0&W∈W[,a]iff V(～C,w）＝1&W∈W[,a]。可知在此情形（*）成立。
（五）B=(x)C(x)。已知对任何w∈W[,a]有（* *） V(x/d)(C(x),w)=V[,a](x/d)(C(x),w),此处V[(x/d)]表示这样的指派，它除了对个体变元x赋予D中元素d 外对其余一切变元及谓词字母P[,j][(n)]等的指派与V完全一样，V[,a] [ (x/d)有类似意义。 由于对任何d∈D(**)均成立可知（*）对B为（x） C（x ）亦成立。 至此我们便证明了对A的任何子公式B，（*）均成立。特别有
V（A,a）＝V[,a]（A,a）。由假设V(A,a)=0。故V[,a](A,a)=0。从而引理得证。
显然U[,e]，U[,5]均是E2*（E2（S）*）模型结构， 而且二者均为连通的。
引理6。设
成立。若A在一个认知（对称认知）模型结构U=
证。若A在认知（对称认知）模型结构U＝
证。若A在U[,e]上可驳，则有V[,e]（A,a）=0，今证V[,5]（A,a）=V[,e]（A,a）=0从而A在U[,5]上可驳。为了证明该等式， 我们用归纳法证明对A的任何子公式B均有
（*） V[,e]（B,a）=V[,5]（B,a）。
（一）设B=P[,j][(n)(x[,i][,1],…,x[,i][,n])，则有V[,e](P[,j][(n)](x[,i][,1],…,x[,i][,n]),a)=1 iff＜V[,e](x[,i],[1]…,V[,e](x[,i][,n],a＞= （三）当B＝（x）C（x）时，（*）成立可仿引理5中相应情形一样证明，此处从略。于是引理得证。 ┤ 最后遂得 证。设该推理式之结论不真，今证前提亦不真。设不然则结论不真而前提真，由推论2（相应地，定理7）推知有一认知（相应地，对称认知）模型结构U，使得A在U上可驳从而由引理6可知A在U[,e]上可驳，再由引理7知A在U[,5]上亦可驳，今证此事不真。事实上由于U[,5]为认知（对称认知）模型结构故由上推理式之前提及定理1（定理7）知必有 责任编辑注：《量词模态逻辑的代数语义学》（Ⅳ，上）一文见本专题 1999年第2期42～50页。
从而A在U[,5]上有效。矛盾。命题得证。