论内隐性数学课程资源，本文主要内容关键词为：隐性论文,数学课程论文,资源论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》将数学课程资源界定为：“数学课程资源是指用于教与学的各种资源.主要包括文本资源——如教科书、教师用书，教与学的辅助用书、教学挂图等；信息技术资源——如网络、数学软件、多媒体光盘等；社会教育资源——如教育与学科专家，图书馆、少年宫、博物馆，报纸杂志、电视广播等；环境与工具——如日常生活环境中的数学信息，用于操作的学具与工具，数学实验室等；生成性资源——如教学活动中提出的问题、学生的作品、学生学习过程中出现的问题、课堂实录等.”[1]这种对课程资源的界定，是从外显性层面描述的，包括文本资源、社会教育资源、信息技术资源、社会教育资源、环境与工具、生成性资源等所有元素，都是外显的事实，课程资源的开发就是依据特定的教学内容选择恰当的资源用于教学中.然而，数学学科的特殊性负载着特殊的课程资源——内隐性的课程资源，这种课程资源并没有在课程标准中给予描述和定义.事实上，这种内隐的课程资源是客观存在的，而且在提升学生数学素养、发展学生数学思维和实践能力、培养学生情感等方面，有不可替代的作用和功能.
一、数学内隐性课程资源的内涵
按照课程资源的功能特点分类，课程资源包含两种形式：形成课程要素的来源（素材性资源）；实施课程的一些直接或间接的条件（条件性资源）[2].素材性资源的特点是作用于课程，并且能够成为课程的素材或来源；条件性资源的特点则是作用于课程，但并不构成课程的素材、来源，但它又在很大程度上制约着课程的实施范围和水平.
将素材性资源和条件性资源从外显性和内隐性两个维度进行透视，可以分为外显素材性资源、外显条件性资源、内隐素材性资源、内隐条件性资源.[3]外显素材性资源主要指以文字、语言、符号、图形、图表等在教材或媒体上显示的知识，反映的是外显的、静态的结果型知识.外显条件性资源指课程实施的人力、物力和财力资源，主要涉及设施、媒介和环境.例如，图书馆、博物馆、大众传播系统、网络、校内外教师资源等均属于外显条件性资源.这两类资源就是课程标准中描述的课程资源.本文主要探讨内隐性的数学课程资源.
内隐性数学课程资源包括内隐素材性资源和内隐条件性资源.内隐素材性资源是指不以文本形式显性表述的，潜藏于显性知识深层的隐性知识，具体地说，包括数学知识的文化元素、数学知识的过程元素、数学知识的逻辑元素、数学知识的背景元素等.内隐素材性资源是一种客观存在的知识，它是被显性知识所包裹的知识内核.内隐条件性资源主要指教师根据对素材性课程资源的理解，结合外显条件性资源构建的一种适宜于学生学习的课堂环境，包括构建能够使学生智力和非智力因素共同参与学习的情境，采用灵活多样的教学组织形式，对课堂节奏的准确把握，营造平等的课堂对话氛围，对学生的行为作出恰当评价，使用有效的方式提出问题等.
二、数学内隐性课程资源的基本要素分析
（一）数学知识的文化元素
数学既是科学又是一种文化.将数学作为一种文化理解，有两方面的依据.其一，就广义的文化分类而言，任何科学都属于文化的一部分.数学在推动科学技术和社会发展的同时，也为人类的思想宝库留下了珍贵的遗产.事实上，数学作为一种文化，是对单纯把数学理解为科学的拓广.数学文化包括数学知识、数学思想方法、数学精神、数学信念、数学价值观和数学审美.作为课程资源，数学知识是一种外显性课程资源，其余的均为内隐性课程资源.数学知识是人们认识客观世界的物质成果，是科学劳动的果实和产品，负载着数学方法和数学精神，是数学文化的基础.数学思想方法最能体现数学思维的过程和品质，是数学文化最主要的现实表现.数学精神、数学信念是数学家共同体在追求真理、逼进真理的科学活动中，将数学思想方法内化后所形成的独特的精神气质，是数学文化的核心和精髓.数学价值观是人们对数学本体功能和外在功能的认识，是人们对数学的价值判断.数学审美是一种理性的精神，这种精神促使人们去探求和确立知识深刻、完美的内涵.其二，数学文化向社会渗透而生成其他亚文化，数学及其转化后的技术渗透到社会文化的各子系统后表现出强大的文化功能，并给社会带来了重大的社会效益和经济效益.
作为课程资源的重要组成部分，数学文化主要是内隐性课程资源，其中几个重要元素是教学中必须开发和利用的.
1.数学思想方法
如果说问题是数学的心脏，那么思想方法则是数学的灵魂.数学思想方法如同血液一样流淌在数学这个活体中，支撑着数学理论的生成和发展.数学知识的产生、数学问题的解决、数学理论的应用都会受到思想的诱导和方法的制约.思想与方法的关系表现在：思想潜于深层，方法浮于表面；思想更具普适性，方法更具针对性；思想是一类方法的抽象和浓缩，方法是一种思想在不同情境中的具体表现形式；思想对个体思维发展具有延展性和迁移性，方法表现出更多的是功利性和实用性.方法与思想相互依存，方法往往依附于思想，如演绎方法依据公理化思想；换元法、参数法、变换法等是映射即化归思想的体现；配方法、恒等变形贯穿着等价思想；用样本数据估计总体数据的方法是统计推断思想的支撑.值得强调的是，正是因为数学方法更倾向于外显性，更具有实用性和可操作性，数学思想则偏于内隐性且实用性不易彰显，在教学实践中广大教师就更偏重于对数学方法特别是解题方法的钟爱而忽视对数学思想的揭示.作为内隐性课程资源，对数学思想方法的理解应当是整体的、复合的，不能只讲“用”而不讲“理”，否则将失去一种重要的课程资源.
2.数学价值观
“数学是打开科学大门的钥匙，是科学的语言，是思维的工具，是理性的艺术，是工程技术的基础，数学可以促进人类思想的解放.”[4]数学的价值是多维的、全向的，在促进人的发展和推动社会进步两个方面都起着十分重要的作用.所谓数学价值观是指人们对数学价值的认同和信奉，全面的数学价值观就是形成对上述六种数学价值认同的信念.教师能够将融科学价值观和人文价值观于一体的数学价值观贯通到教学过程中，使学生潜移默化地感悟从而形成全面的数学价值取向，就是对这种内隐性课程资源的有效开发.
3.数学精神
数学家追求科学真理的坚定不移信念、为探求真理而不畏艰难的意志品格表现出来的就是数学精神.数学精神是庄重的、严肃的、令人景仰的，它贯穿于数学历史的长河中.数学史是挖掘数学精神的矿藏，教学中将数学史的叙事与数学知识的发现过程相互关照，将证伪逻辑与证实逻辑相互映衬，使学生在学习数学知识的过程中领略数学精神内核，并将数学精神融入自己的学习之中，形成顽强的学习意志和百折不挠的学习精神，这是开发数学精神这种内隐性课程资源的意义所在.
4.数学美
数学文化的美学观是构成数学文化的重要内容.数学美的实质表现为理性精神和结构美.[5]在价值追求方面，数学审美是引导人们追求尽善尽美的数学真理的一种理性精神；在表现形式上，数学美是以数学语言呈现出来的以秩序、和谐、对称、奇异、简洁等为主要内容的结构美.数学审美可以陶冶情操，数学美作为评价标准还是推动数学发展的一种源动力.在教学中，引导学生欣赏数学知识结果的结构美，并以结构美为评判标准引导学生自我探究新的数学知识，是开发数学美这种内隐性课程资源的两项主要工作.
（二）数学知识的过程元素
绝对主义数学观把数学视为绝对真理，认为作为数学家创造的人类思维结晶，数学理论一旦形成就是放之四海而皆准的真理，这种真理性不会因为地域不同、时代变迁而改变.由此导致一种观念，数学知识是结果性的、产品性的，是一种外显的、静态的表现形式，反映在教育领域，教师的任务就是从知识库中提取知识传递给学生，学生的任务是准确无误地接受客观知识，表现出的是一种典型的“结果型”教学范式.从课程资源角度分析，结果形式的数学知识就是外显性素材性资源，即结果型教学模式开发的只是单一的外显素材性资源.
可误主义数学观把数学视为相对真理，数学的真理性受到自身结构与逻辑起点的制约.可误主义采用动态的观点看待数学，认为数学由问题、语言、方法、命题组成：数学产生于问题，问题要用数学语言描述，用数学语言建构的数学模型要用恰当的方法去解决，最终形成由命题组成的理论体系，这是一个流动的过程.反映在教学上，以这种观念为基础建立的教学范式是“过程型”的，教师的任务不仅要使学生掌握结果性知识，更重要的工作是要将问题、语言、方法、命题这一条逻辑链清晰地展示出来，让学生经历知识的产生过程，体验知识的深层数学思想方法.以动态数学观认识课程资源就会发现许多内隐性资源依附在过程之中，有过程就有体验，有体验就会形成经验，我们把体验过程而形成经验的知识称为过程性知识.过程性知识是一种内隐性数学课程资源，它是学生形成“数学活动经验”的基础.
首先，从知识的产生过程方面分析.数学知识有严谨的逻辑体系，因此概念、命题的产生总有其缘由和存在的合理性.数学概念的产生受两种力量的驱动，一是对一类事物本质属性的概括，使研究个别对象的属性转向研究一类对象的属性，使研究过程简化、研究结果更具有普适性；二是为新知识的产生和推动知识的发展提供支点，如为了进一步揭示对象的本质需要引入新的概念，为了解决问题引入新的概念等.命题由若干概念构成，命题的产生主要有两种方式：猜想和逻辑推理.其中从猜想到形成命题是一个去伪存真的过程，这个过程主要以证伪和证实为主要手段，通过不断地证伪、修正、证实的循环阶段来实现.数学教材往往只是展示确定的概念、命题这些外显性课程资源，而不论述概念、命题产生的理由，掩盖了内隐性课程资源.把概念产生的缘由、命题发现的过程作为教学的基本内容，可以使学生经历知识形成的过程，掌握证伪而不仅仅是证实的方法.教学应当是一种由知识的不确定性到知识确定性的渐进过程.知识的不确定性阶段是指提出问题和判断问题，证伪在这一阶段扮演着重要角色；知识的确定性阶段是对知识的确认，证实在这一阶段起着重要作用.
其次，从知识的发展过程方面分析.概念、命题产生后形成结果性知识，这些结果性知识一方面可以作为新知识产生的起点，另一方面又可以作为工具用于解决数学问题或现实生活中的问题.在教学中教师应当揭示知识的这些功能，有效地开发这类内隐性课程资源.通过展现知识的发展过程，可以使学生体悟知识发展的动因，包括数学学科的内部因素和促进知识发展的外部因素，领会蕴含在知识中的数学思想方法，感受数学的结构美，形成命题变式的意识和能力，体会数学应用的广泛性，积累解决问题的认知策略和元认知知识，形成自我监控的意识和习惯.
（三）数学知识的背景元素
数学知识的背景元素主要有两个来源：现实生活背景和其他学科知识背景.一般说来，这两种背景大多不会以明确形式展现在教材里面，因而是一种内隐性课程资源.一个数学概念或命题，其现实背景与学生的生活密切相关，将现实背景融入到课堂教学中，使其作为学习知识的“先行组织者”，有助于学生利用生活经验去同化知识、理解知识，同时可以使他们在心理上消除数学的“冰冷性”，感知数学的现实性.数学概念、命题或数学模型，也有可能与物理学、化学、生物学等其他科学相联系，或者是科学知识的数学模型，或者是数学作为工具在其他学科中的应用.开发这类课程资源，会增强学生对数学知识应用性的理解，有助于他们对数学价值的多方位认识.
开发数学知识背景元素，除了要能够厘清一个概念或命题的背景之外，更重要的是要能够辨别和选择背景.一个数学概念或命题的背景往往不是唯一的，它们可能有多种背景，教师要能够对这种多维背景进行辨认，从中选择最适合的材料为课堂所用，不贴切甚至与课题无关的背景材料充斥在课堂中可能会冲淡主题，其效果是华而不实、适得其反，达不到帮助学生建构知识的目的.
（四）数学知识的逻辑元素
数学知识的逻辑元素是指渗透在数学知识中的逻辑知识.数学知识与逻辑知识是不可分割的，逻辑支撑着数学理论体系.从课程表现形式看，知识是外显的，逻辑是内隐的.概念的内涵、外延，概念的分类，判断，判断的分类，三段论的格与式，逻辑量词，命题演算等，这些纯粹逻辑的知识也不会直接展示在数学教材中，然而又蕴含在教学内容中.例如，“如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形”，用数学语言去描述：四边形ABCD中，（AB∥CD）∧（AB=CD）→ABCD是平行四边形.这里蕴含了：这是一个假言命题，是一个复合的蕴含式命题.显然，这就是隐含在知识内部的逻辑知识，学生习得这些逻辑知识是在学习数学的过程中潜移默化地实现的.教学中开发这种内隐性课程资源，并不是要将形式逻辑知识变成外显的课程资源进行讲授，即不是要学生专门地学习逻辑知识，而是指教师在进行教学设计时要做到心中有数，思考一些问题，如本节课的内容中涉及哪些逻辑知识？学生在学习新知识时可能会遇到哪些逻辑方面理解上的困难？为帮助学生克服理解障碍，应当采用什么有效的教学策略？等等.事实上，造成学生学习数学困难的原因可能不是因为对知识理解的困难，而是对逻辑理解的困难.开发数学知识逻辑元素就是要在逻辑方面扫清学生学习障碍，促进学生逻辑思维能力的发展.
（五）数学教学的环境元素
数学教学的环境元素是内隐条件性资源，教师在课堂教学中构建一种能够促进学生学习的优良环境，就是对这种内隐性课程资源的开发.
情境学习理论认为，意义和身份都是在互动中建构的，而这种建构受到更广泛的情境脉络的影响.情境既可以是有现实生活背景的，也可以是学生已经学习过的数学知识；既可以是物理的，也可以是社会的.情境学习理论的基本含义在于：思维和学习只有在特定的情境中才有意义，不存在非情境的学习；人类的学习离不开实践共同体，这种共同体是知识建构的孵化箱，也是人们对话的平台；认知与行动不可分，学习是个体与他人、工具和物理世界互动的辩证过程.[6]情境学习理论充分揭示了学习对环境的依存关系，由此也阐释了内隐条件性资源在学习中的重要作用.
内隐条件性资源的开发是多方位的.例如，为学生构建镶嵌于知识背景中的问题情境，这种情境是物化层面的，要求生动、真实，同时又不游离于教学目标之外；建立师生平等对话的情境，教师应尊重学生的人格，合理评价学生对问题的看法，吸纳学生的正确观点；建立师生互动、生生互动的情境，组织学习共同体，营造一种知识建构的社会化情境；根据不同的教学内容，采用灵活多样的教学组织形式，采用独立思考与合作学习相结合、个别指导与集中对话相结合的方式进行教学；对课堂节奏的准确把握，兼顾不同学习能力的学生共同受益，建立有效的教学秩序；讲究提问的质量，尊重个体差异，使用有效的方式提出问题，特别注重提出诱导学生智力与非智力因素参与学习的问题；对学生回答问题、解答练习题、提出个人想法和观点、小组交流等学习行为作出恰当评价，营造激发学生学习积极性的氛围.
三、数学课程资源与三维目标的关系
《基础教育课程改革纲要（试行）》把课程目标界定为三个维度：知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观.值得强调的是，义务教育数学课程标准将三维目标分解为四个方面：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度，这种分解把“过程与方法”贯穿在“知识技能”“数学思考”“问题解决”中去，即将“过程性目标”渗透到知识技能、数学思考和问题解决中，应当说，这种处理在一定程度上体现了数学学科的特点.
将课程目标与课程资源相联系，可以看出外显性课程资源与内隐性课程资源对课程目标的作用是有差别的，两类课程资源在实现三维目标方面有自己独特的功能.
（一）外显性课程资源是实现第一维目标的基础
无论是外显素材性资源还是外显条件性资源，都有可视化、客观化特性.素材性资源是学生学习的主要内容，条件性资源是保证学习的外部硬件，两者都可以在教学中直接利用.
现代认知心理学把知识分为陈述性知识和程序性知识.陈述性知识是指存在的事实性知识，是人所知道的有关事物状况的知识.程序性知识是指人怎样做事的知识，即由完成一件事所规定的程序、步骤及策略等组成的知识.简言之，陈述性知识是关于“是什么”的知识，程序性知识是关于“怎么办”的知识.与此对照，课程标准中提出的“知识与技能”就是指陈述性知识和程序性知识，都属于知识范畴，而且具有外显性特征.两类知识作为结果，是人类思维的结晶，是社会建构的产物.
陈述性知识依靠理解、建构习得，掌握基础知识就是个体把客观的知识转化为主观知识并且将自己的主观理解与知识客观性趋于一致的结果.程序性知识依靠模仿、练习，在问题解决中习得，形成技能就是在理解陈述性知识的基础上将其转化为程序性知识的过程.两种知识的获取，必然依托客观知识这个实体.同时，学习成效又受外显条件性资源的制约，外显条件性资源挖掘充分、利用恰当，就会促进学生的有效学习，反之则阻碍学习.因此，外显性课程资源是实现“知识与技能”目标的基础.
（二）内隐性课程资源是实现第二、三维目标的基础
内隐性课程资源的开发直接影响“过程与方法”目标的实现.过程性知识与数学思想方法密切相关.过程性知识由过程性体验转化而来，体验知识的产生过程、知识的发展过程、知识的结果过程、知识的应用过程，这些过程本身就伴随着各种数学思想方法，也包含着数学活动.过程、方法、活动三位一体，学生在过程中参与活动，在活动中领略方法，从而发展个体的数学活动经验，生成经验性知识.就数学教学而言，如果在教学中不去挖掘内隐性课程资源，必将影响到“数学思考”和“问题解决”这双重目标的实现.“数学思考”指在面临各种情境（包括非数学问题）时，能够从数学的角度去思考问题，能够发现其中所存在的数学现象并运用数学的知识与方法去解决问题.“问题解决”是指学生通过观察、思考、猜测、交流、推理等思维过程解决与数学相关的问题.显然，没有先前对数学活动的感性认识和理性思考，没有形成一定的数学活动经验，即使学生掌握了扎实的基础知识，有娴熟的基本技能，也不可能达到实质意义的“数学思考”和“问题解决”.
内隐性课程资源的开发直接影响“情感态度与价值观”目标的实现.数学知识背景的揭示，可以使枯燥的数学回归生活，使抽象的数学根植于经验，唤起学生的好奇心和未知欲；数学思想方法和数学精神的彰显，可以使学生形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度；过程性知识的展示，可以产生数学家探求真理的思维历史与学生学习知识之间的直接对话效应，使学生体会数学家对问题的思考过程，养成探究问题的意识和习惯，形成认真勤奋、独立思考、反思质疑的品质，同时又能够在自己探求问题的过程中获得成功的乐趣；数学价值观的渗透，是对数学本体论的解析和对数学认识论的说理，能够使学生全方位地了解数学，体会数学的价值.
课程资源开发和合理利用与有效教学紧密关联.有效的教学不仅需要“突破教科书内容和难度的制约，跨越一本教材的教与学，跨越课堂教学的时空限制，从课堂内延伸到课堂之外，从有限的教学空间拓展到无限的自然社会，传统的教科书等课堂媒介也要拓展到现代的信息媒介”[7]，更重要的是要深入挖掘学科自身的内隐性课程资源，这是实现有效教学的关键，也是在实践层面践行课程改革行动的使然.
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