高中生数学“归纳推理”能力的微型调查，本文主要内容关键词为：归纳论文,能力论文,数学论文,高中生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
从数学发展史上看，每一个重要数学事实的发现，除演绎推理外，还大量地依赖于合情推理，如哥德巴赫猜想、费马猜想、四色问题等都是通过归纳推理提出猜想，再经过演绎推理得以证明的.可见，“归纳推理”不仅重要，而且十分必要.2004年秋，在广东省、山东省、海南省、宁夏回族自治区率先实施的新一轮高中课程改革已将“归纳推理”纳入高中数学的教学内容，实施几年来学生的“归纳推理”能力如何呢？笔者于2011年4月对广州市番禺区部分高中学生进行了一次微型调查，情况如下.
一、调查目的
了解广州市番禺区高中生数学“归纳推理”能力的现状，探索高中数学教学如何有效提高学生“归纳推理”能力的途径与方法.
二、调查对象
广州市番禺区三所普通高中学校学生.其中高一学生150人，高二学生150人（其中，男生150人，女生150人）.
三、调查方式
本次调查的学生是分别在2011年4月8日、15日、22日下午从这三所学校随机选取出来的.采取当场发卷，40分钟后当场收回的形式.其间，还对部分学生进行了访谈.三所学校共发出调查问卷300份，收回300份，回收率达100%.
四、调查结果
从对“归纳推理”的认识及“归纳推理”能力方面设置了5个问题进行问卷调查，并对问卷调查结果统计如右表所示.
还对部分学生进行了访谈，从定性与定量两个角度在以下几个方面进行分析.
（一）学生对“归纳推理”的态度分析
从表1知，有66%的学生认为数学“归纳推理”对于高中生来说是重要或十分重要，但是对于“归纳推理”为何重要；通过访谈了解到，不少学生都只给出一个方面的理由“因为教材中有该内容或高考中会出现”，并没有深刻认识到归纳推理能力的重要性；有近30%的学生对归纳推理缺乏理解.事实上，在初中甚至小学都有涉及归纳的方法，可见，当前教学中虽大部分教师能注意“归纳推理”的教学，但仍有不少教师对“归纳推理”的渗透不够深入，不重视知识产生过程中的合情推理，习惯采取传统的灌输式，从而影响了学生对“归纳推理”的态度和认识，也影响了学生“归纳推理”能力的发展与提高.
（二）学生“归纳推理”能力分析
（1）根据表中数据，采用独立性检验的方法可知，假设高一、高二学生与问题答对无关，由观测值公式计算知，只有第3题（1）与（2）的观测值k＞10.828，其余各题观测值k＜2.706，即第3题答对与高一、高二有非常显著的关系，而其余各题答对与高一、高二没有关系.这是因为高二学生已经学习了排列组合的知识，对于第3题可以利用组合公式来解，而高一学生没有学习“组合”知识，只能采取归纳推理，其实是解题所用知识差异造成的.因此该题在解答上存在显著差异，除第3题外，其余考查归纳推理能力的3道（第2题、4题、5题）题目，高一、高二学生答题的差异不大，男女生答题情况差异也不大.即说明随着年龄增长“归纳推理”能力提高不大，“归纳推理”能力与性别没有明显关系.
（2）从统计数据还可看出：正确回答问卷后4道题中的3道题的只占43%，正确回答4道题的只占29%，大部分学生只能正确回答2道题.说明学生的“归纳推理”能力有待进一步提高.
（3）学生对“归纳推理”结论检验或证明环节表现出显著差异.一部分学生根本不知道如何进行检验，如第2题，近15%的学生猜想错误而自己不能发现，能进行验证或证明的学生，其方法也有所不同，主要的几种方法如下.
方法1：30%的学生采取观察发现，并用列表方式探索规律，得出n个正方形需要3n+1根火柴棒.
检验时，将所得结果3n+1对特殊情形进行检验，n=1，2，3，4，…时都成立，因此，有很大把握说归纳的结论没有错.
方法2：20%的学生采取以下的归纳推理：
1个正方形需要4根火柴棒，2个正方形需要2×4-1根火柴棒，3个正方形需要3×4-2根火柴棒，4个正方形需要4×4-3根火柴棒……n个正方形需要4n-（n-1）根火柴棒，即n个正方形需要3n+1根火柴棒.
检验时，将所得结果3n+1对特殊情形进行检验，n=1，2，3，4，…时都成立，因此，有很大把握说归纳的结论没有错.
使用以上两种方法的学生掌握了验证的最基本方法，即将一般结论在特殊情况中进行检验，如果发现有不正确的，说明归纳结论不正确；如果对于几种特殊情形都成立，表明结论的可靠性程度较高.
方法3：15%的学生分析得出：每增加一个正方形则要增加3根火柴棒，而1个正方形需要四根火柴棒，则n个正方形需要3n+1根火柴棒.
方法4：有10%的学生采取如下方法得出结论：
设n个正方形需f（n）根火柴棒，由于f（2）-f（1）=3，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n-1）=3，将以上诸式相加得f（n）-f（1）=3（n-1）.
由于f（1）=4，则f（n）=3n+1.
方法5：还有20%的学生发现n（n=1，2，3，4，…）个正方形需要的火柴棒数组成等差数列，由等差数列的通项公式即得n个正方形需要3n+1根火柴棒.
使用方法3、方法4、方法5的学生巧妙地将归纳与演绎融为一体，使所得结论更可靠.
从学生的答题来看，运用方法1、方法2的学生占62%，能使用方法3、方法4、方法5的学生一共不足20%，说明大部分学生在使用归纳推理时，没有很好地将演绎推理的思想融入其中，而是将归纳与演绎割裂开来.从这点来看，学生将“合情推理”与“演绎推理”结合起来思考问题的能力尚需加强.
（4）学生“归纳推理”能力差异大.一部分学生缺乏归纳的意识，遇到问题不能自觉地使用归纳推理进行探索.如第5题有25%的学生不知如何处理，不能从特殊情况出发找出它们蕴涵的共同属性.这是归纳的难点，也是学生的弱点.从第5题的答题情况来看，表现出以下水平：
水平1：有15%的学生不能用归纳推理的思想来分析问题.即不能从简单情形开始，将归纳推理自觉运用到解决问题的过程中.原因是本题没有像其他题目一样逐步设问，需要学生自觉运用归纳推理的思想去探索.
水平2：有15%的学生能用归纳的思想来分析，但不能归纳出结果，找不到隐含其中的变中之不变的规律.这类学生能写出2条直线最多将平面分成4个区域，3条直线最多将平面分成7个区域，对4条及以上直线，由于图形复杂，学生理不顺，从而不能探索出来.表明学生的演绎推理能力不能满足归纳的要求，从而，对小数量的归纳缺乏坚实基础，不能寻找规律.
水平3：一部分学生能用归纳推理进行探索：
1条直线最多将平面分成的区域数为2=1+1；
2条直线最多将平面分成的区域数为4=1+1+2：
3条直线最多将平面分成的区域数为7=1+1+2+3：
还有学生按如下规律进行探索：
1条直线最多将平面分成的区域数为2；
2条直线最多将平面分成的区域数为4=2+2；
3条直线最多将平面分成的区域数为7=4+3=2+2+3；
4条直线最多将平面分成的区域数为11=2+2+3+4；
以上两种方法，应属同一水平，在归纳结果时很巧妙地寻找到规律，虽方法不同，但殊途同归.
水平4：通过探索发现：n条直线将平面最多分成的区域数f（n）与n-1条直线将平面最多分成的区域数f（n-1）的关系为f（n）-f（n-1）=n，然后得出f（2）-f（1）=2，则f（2）=2+f（1），而f（3）-f（2）=3，则f（3）=3+2+f（1）.
水平3、水平4的学生能够将归纳推理与演绎推理结合使用得出结论，表现出较强的推理能力.笔者对这些学生进行访谈时，提出了一个问题：n条直线将平面最多分成的区域数f（n）与n-1条直线将平面最多分成的区域数f（n-1）的关系为f（n）-f（n-1）=n，这一结论可靠吗？对此问题出现了三种回答：
第一种回答是：还没想过，这是个事实性结论，无需再加说明.
第二种回答是：确信结论正确，因为将一些具体数字代入所得都符合题意.
第三种回答是：第n条直线必与前n-1条直线都相交时，才能得到最多的区域，其交点数为n-1，且不重合，这n-1个交点将第n条直线分成n段，每一段又将原来的一个区域分成两个，这样，n条线段就在原来的基础上增加了n个区域，亦即n条直线将平面最多分成的区域数f（n）与n-1条直线将平面最多分成的区域数f（n-1）的关系为f（n）-f（n-1）=n.
以上三类学生的回答，表现三个不同的水平.
第一类回答者不知道结论f（n）-f（n-1）=n是通过归纳推理得出的，认为这是显然的事实；第二类回答者能认识到结论的不可靠性，并能用具体的数字代入检验，懂得归纳推理结论的或然性以及结论可靠性的检验方法；第三类回答者能从几何角度给出很好的诠释，并用演绎推理的方法给出证明.
从以上访谈可看出，即使是优秀学生，在对归纳推理的认识上也存在一定的模糊.
五、教学启示
通过对学生“归纳推理”能力的调查可知，当前高中生数学“归纳推理”能力差异大，主要是受教师教学的影响.笔者认为，只有在数学教学中有意识地渗透“归纳推理”思想，才能提高学生的“归纳推理”能力，在渗透“归纳推理”教学中要把握好以下两点：
（1）构建“归纳推理”教学模式，推进“归纳推理”教学常态化.
“归纳推理”作为一种重要的思想方法，应引起教师的高度重视，不仅仅将教材的“归纳推理”一节内容上好，更重要的是将其思想渗透在日常的教学中.为此，笔者通过对案例的研究与分析，结合有关教育理论构建出“归纳推理”教学模式的结构为：
（2）既教猜想又教证明，归纳与演绎协调发展.
由于归纳推理的结论具有或然性，所得的结论不一定正确，因此，在教学中要防止学生出现以下问题：
其一，学生归纳推理的基础工作（即对具体情形的研究）出现错误，导致猜想结论错误.
其二，对结论的猜想要到多个特例中去概括、发现规律，特例要多些.如问“平面内n条直线最多将平面分成多少个区域”，有些学生从n=1，最多分成2个区域；从n=2，最多分成4个区域，就简单得出平面内n条直线最多将平面分成2n个区域的错误结论.也就是说，归纳的基础要坚实，这样再概括共性时会少出错误.
其三，要严格按照归纳推理的基本步骤，归纳的结果要验证，并尽量用演绎推理的方式给出证明；凡没有证明者，都不能肯定结论是正确的.凡猜想都要证明或举反例证伪，通过证明使学生的归纳与演绎能力得到同步发展.