基于PCK的数学习题教学设计，本文主要内容关键词为：教学设计论文,习题论文,数学论文,PCK论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教学设计时面对的问题是：教什么？怎么教？这是教师的学科知识与教学知识；当然还有更深层次的问题：怎样教更有效？这就是教师的学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge，简称PCK），是“教师个人教学经验、教师学科内容知识和教育学的特殊整合”[1].PCK理论为有效教学的实施提供了理论上的支持与操作上的指导，以下笔者将通过一个习题教学的案例，解析PCK理论在具体教学设计中的应用.
一、教学背景说明
在近期的高三教学中，涉及下面两道习题.
这是学生课后练习中的问题，从学生的解答情况看，基本不存在解题方法的问题，但有部分学生因计算失误导致解答错误.出现这种情况的原因主要有两个，一是笔者任教班级学生整体水平不错，并且前期训练中已接触到一些定点、定值的问题，有一定的解题经验积累；而是由于粗心、失误、运算能力差等因素，运算错误难以彻底消除.
综合以上情况，笔者在设计教学时，把习题教学的目标定位于深化学生对问题本质的认识，形成解答此类数学问题的高观点，从而有效地规避技术性失误.据此，以PCK理论为指导，制定教学策略，辅之以多媒体教学手段，展开探究发现之旅，有效调动了学生的积极思维，实现了立足学生立场的知识转化.
二、教学过程简述
（一）源于课本，根植教材
师：通过题1的解答，我们可以发现圆具有这样的性质：存在两个定点，使得圆上任意一点到这两个定点的距离之比为常数（定值）.如果对题1进行逆向思考，即为：平面上到两个定点的距离之比为常数的动点的轨迹是圆.这个命题正确吗？研究过这样的问题吗？
（展示题3及解答）
题3 （苏教版选修2-1第2章第2.6.2节例2）求平面内到两个定点A，B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程.
师：这是课本中的例题，我们在学习曲线的方程时进行过研究，据此可以认为题1是课本例题变式.现在换个角度重新审视题3，这个轨迹表示什么曲线？
生：动点的轨迹是圆.
师：如果我们把题3中的“比值为2”改为“比值为3”或比值为其他不等于1的正实数，所求动点的轨迹表示什么曲线？为什么？
生：从题3解答过程看，只要这个比值是不等于1的常数，所求动点轨迹仍然是圆，这是因为所求方程是二次方程，且
项与
项的系数一定相等.
师：回答得非常好！比较题1与题3，我们可以发现这两个问题的条件与结论涉及几个共同的特征：一个定圆，两个定点，一个定值，这样的圆称作阿波罗尼斯圆.我们猜想，阿波罗尼斯圆中一定有与这些特征有关的性质有待挖掘，下面我们就进行探究.
（二）探究发现，精彩纷呈
师：请同学们根据题1与题3中条件与结论的有关数据，计算圆心到两个定点的距离，并与圆的半径R进行比较，有什么发现吗？
学生很容易发现圆心到两个定点的距离之积等于半径的平方，这个发现立刻调动了学生的思维活动，创设了积极的教学情境.
师：这个发现能否推广到一般情况呢？为了解决这个问题，我们先看下面的动画演示.
师：请同学们根据观察情况进行总结.
学生总结出如下性质.
师：很好！这个探究让我们对阿波罗尼斯圆的认识又深入了一层，有了这个认识，今后我们再遇到类似题1的问题时，就可以立刻给出问题的答案了.事实上，还有一些与阿波罗尼斯圆有关的性质，下面我们继续探究.
演示2 （几何画板）在演示1的基础上，过点K作AB的垂线，T是直线上的一个动点，过T作圆的两条切线，切点分别为M，N，连结MN，观察当T在直线上运动时直线MN的变化特点.
师：直线MN的变化具有什么特点？你能得到什么结论？
学生总结出如下性质.
性质2 已知圆C的半径为R，AB是圆C的一条直径，S，K是直线AB上位于点C同侧的两个定点，且满足CS·CK=
，过点K作直线l与直线AB垂直，T为l上的动点，直线TM，TN分别与圆C相切于点M，N，则直线MN过定点S.
师：根据性质2，你能很快得到题2的答案吗？
演示3 （几何画板）在演示1的基础上，过点K作AB的重线l，T是直线l上的一个动点，直线TA，TB分别与圆C交于另外两点M，N，连结MN，观察当T在直线上运动时直线MN的变化特点.
师：你能就此演示提出一个数学问题并解决这个问题吗？
学生总结出如下性质.
性质3 已知圆C的半径为R，AB是圆C的一条直径，S，K是直线AB上位于点C同侧的两个定点，且满足CS·CK=，过点K作直线l与直线AB垂直，T为l上的动点，直线TA，TB分别与圆C交于另外两点M，N，则直线MN过定点S.
师：现在我们再来重新审视题1与题2.如果说，原来我们只是感觉到这两个问题在结构形式上相似，现在我们就可以发现，这两个问题的背景实质都是相同的，都可以归结到阿波罗尼斯圆中.
（三）变换拓展，链接高考
经过以上探究，学生对阿波罗尼斯圆有了深刻的认识，此时教师巧妙变换问题的背景形式，继续演绎课堂的精彩.
师：根据性质3，你能得到下面题4中定点的坐标吗？
师：今后再遇到这类习题，你能知道自己的解答有无错误吗？
学生经过上面的学习探究，已对问题本质有了清楚的认识，可以立刻确定定点的坐标，一旦解答出现失误，就能很快发现问题，纠正错误.
师：请看下面题5，你能很快得到答案吗？为什么？
（1）（2）略；
（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一个定点（其坐标与m无关）.
这个问题会让学生有似曾相识的感觉，稍作思考，就会很快发现问题的本质.教师综合学生的讨论总结如下.
最后，引导学生对本课相关内容进行回顾总结，布置学生课后完成有关性质的证明.
三、基于PCK的教学分析
（1）在PCK的层级结构模型中，教师的学科知识处于PCK金字塔结构的最底层[2]，是教师PCK的基础，也是实施有效教学的前提.
教师是数学学习活动的组织者.本课教学中，教师已先于学生进行了相关的探究，认识到题1与题2不仅“形似”，而且“质同”，都可以统一到阿波罗尼斯圆中，对教材与高考试题也有深度的了解.正因为有了这些认识、经验与材料准备，才能在教学的内容与目标的确定方面准确定位，并在教学过程中及时引领探究方向.
（2）依据P.L.格罗斯曼教授对学科教学知识（PCK）组成部分的划分，“特定主题教学策略和呈现的知识”是PCK的构成之一[1].也就是说，对于某些教学内容，需要制定特殊的策略实施教学，才能获得好的教学效果.
本课教学中，与阿波罗尼斯圆有关的概念性质是源于课本而高于课本的.在新课教学中，因为必修教材与选修教材的教学顺序关系，无需拓展，但在复习教学中，却很有学习探究的必要，这也是本教学内容的特别之处.因此教学的重点也与常规的习题教学有所不同，不是解法探讨，也不是进行模式化训练，而是对问题本质的认识与规律的发现，这也是本课教学中最有价值的知识.
如何实现这样的教学要求？这就需要制定特定的教学策略.首先是设计问题教学的路线图，通过5个问题的串联构成教学的主线，特别是几何画板的动态演示，可以让数学探究活动变得直观形象.课堂上的即时作图演示，让学生经历数学问题的产生与规律的发现过程，让学生感受到数学问题的奇妙，从而更加积极主动地投入到学习中.可以这样说，几何画板的运用，与其说是一种教学手段，更是本课教学最有效的策略.
（3）PCK的核心内涵在于立足学生立场，实现知识的转化[3]，对学生深入透彻的理解是实施有效教学的关键.
教学设计从学生已有的经验水平出发.笔者任教班级学生整体水平较高，正是基于这种学情认识，本课的教学设计体现了容量大、节奏快的特点.从这个意义上讲，教学过程中的轻重、详略等处理绝不是教师的主观行为，学情才是决定性因素.
教学内容符合学生的学习需要.从本课教学内容看，对于解析几何中的定点、定值问题，一般都是转化为代数恒等式问题处理，学生并不陌生.因此，让学生认识问题的本质，发现数学的规律，从而有效地规避技术性错误，这才是学生需要的知识.
教学活动也是学生的有效活动.近年来的课堂教学出现了一些教学活动形式的变化，如课堂上的小组讨论、学生的小黑板展示、让学生讲课等.这些现象的确反映了教师观念的改变，但是简单地把这些活动理解成有效教学活动，似乎还有不妥.笔者理解的学生的有效活动是指学生思维方面的积极活动.本课教学中，通过问题串自始至终都在为学生创设问题情境，几何画板的动态演示更是对学生进行思维启迪，还有可以观察到的学生思维活动时的情感态度表露，这应该是对有效教学的最好诠释了.
综上，有效教学的实施，需要教师有充足的学科知识和熟练的技术手段，对学生的认知水平和认知方式有充分的了解，对教学方法与教学方式进行优化与整合等，这就是教师的学科教学知识.