多元表征理论下的教学设计——以人教B版“组合”教学设计为例，本文主要内容关键词为：教学设计论文,组合论文,表征论文,为例论文,人教论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
表征又称心理表征或知识表征，是指信息或知识在心理活动中的表现和记载的方式.这种表征既是对客观事物的反映，又是心理活动进一步加工的过程，因此说表征是认知心理学的核心概念之一.数学概念教学是数学教学十分重要的一项内容.对概念的“心理表征”（mental representation，也称“内在表征”，internal representation）获得了人们越来越多的关注，这方面的研究经历了由“外”到“内”、由“一”到“多”、由主要集中于“了解学生”到“努力促进学生的发展”的重要转变.相对于单一表征理论.多元表征理论更加强调数学概念心理表征的多元性.强调概念表征不同方向的相互渗透和必要补充.多元表征理论突出强调了数学概念的心理表征的多层次和多角度，而这种多层次、多角度的剖析对于概念的理解都具有非常重要的意义.
从数学概念学习的心理过程来看，数学概念具有抽象性、多元性、层次性和系统性等基本特征.由于学生对这些性质的处理和表征方式不同，将直接展示出他在头脑中对于这一信息是如何加工和表征的.因此根据表征理论，教师在教学中应十分重视如何使学生在这一过程中更好地发挥主体作用.同时，教师还应根据学生认识活动的个体特殊性，关注每名学生在学习过程中的真实思维活动，为此，要利用数学概念表征形式的多样性，灵活地向学生提供物理的、可观察的行为或对象，如文字、图形、图表和符号等各种呈现，创设出一种多元变化的教学情境，引发学生的数学思考，给学生提供探索数学规律、发现数学本质的机会，使学生的自主探究式学习成为可能并得到落实，学生的数学学习兴趣可以被更有效地激发，教学活动也能开展得更加生动活泼而富有成效.根据这一理论，本节课具体教学设计如下.
一、教学内容分析
1.教材分析及前后联系
“组合”这节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2-3（选修）》（人教B版）第一章第三节的内容.排列、组合是数学基础知识的重要组成部分之一，它在解决实际问题、科学技术的研究以及今后的学习中，都有广泛的应用；同时，排列、组合又是一种重要的数学方法，这种方法与学生前面已经学过的那些方法如数和式的运算、函数的研究、方程和不等式的解等都有所区别，较之其他内容具有更抽象的特点，方法性更强，这对于训练学生的思想方法、提高学生分析问题的能力都有重要的意义.排列、组合的方法，对数学的其他分支如概率论、数理统计、组合数学的发展，起着重要的作用，它应用于计算机科学、编码理论、试验设计等许多处理离散对象的数学领域.组合这节内容，既可以让学生对前面学过的基本原理和排列知识有一个再认识的过程，又是推导二项式定理以及计算等可能事件概率的一个重要工具，因此它在本章中又具有承上启下的作用.
2.教材的重点和难点
根据以上分析及这节课的内容特点，本节课的重点确定为：组合和组合数的概念、组合数公式的推导及其简单应用.
学生虽然已经学过了计数基本原理及排列，但在理解了组合及组合数的概念后，对于排列与组合的关系并不是十分清楚，并且，由于在组合问题中，元素之间没有顺序之分，也就不能和排列一样，用分步的方法推导其计算公式，因此，将一个排列问题转化为一个先组合、再全排列的问题，成为问题的关键，所以，组合数公式的推导就成为本节课的难点.
二、教学目标分析
（1）正确理解组合、组合数的概念，能区分排列与组合问题；掌握组合数计算公式的简单应用.
（2）经历探索排列和组合异同的过程，掌握类比的学习方法；体验和感受从特殊到一般的思维方式以及转化的数学思想；提高应用所学知识解决实际问题的能力.
（3）体验比较和探索的乐趣；感受数学是与生活密切联系的一种人类文化，从而形成发现数学内在美的观念.
三、教学方法分析
1.教法设计
根据学生对事物的认识是从特殊到一般的认知规律，利用数学概念表征的多元性，采取比较探究的教学方法.引导学生得到组合、组合数的概念，并理解排列与组合的区别与联系，使学生清楚地认识到，一个排列问题的解决，可以化归为一个先组合，再全排列的问题，从而顺理成章地得到排列数与组合数之间的关系，并推导组合数公式，在这里体现转化的数学思想方法.
2.信息技术应用
采用多媒体投影，直观、清晰地反映排列与组合的对比关系.
3.学法指导和学生活动
让学生通过与排列进行对比，用“比较”的方法来学习组合；除了让学生回答提问、板演外，还将注重引导学生对问题进行分析和思考，培养学生的理性思维.
四、学情分析
学生已经学习过分类、分步计数原理，排列知识，初步掌握了“分类”、“分步”思想.已有了一定的抽象、逻辑思维能力，教师引导学生主动迁移、转化，进而培养学生的发散思维能力.曾经经历过若干概念探究的过程.
五、教学过程
1.实例引入
中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过单循环决出冠亚军.
（1）列出所有冠亚军的可能情况；
（2）列出所有各场比赛的双方.
（复习思考、比较，提出问题）.
上面两个问题有什么共同点和区别？
共同点：都是从4个不同的元素中取2个.
区别：问题（1）与顺序有关；问题（2）与顺序无关.
【设计意图】数学概念通常反映一类事物的本质属性，而概念的形成又是人对外在经验或活动思考的表征.恰当的生活实例是对抽象概念的物理表征，这种表征既能帮助学生认识概念的发生过程，又能帮助学生理解概念的本质属性.
2.组合概念及深刻理解
组合概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
从n个不同元素中任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中任意取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示.
（1）组合与排列概念的主要区别是什么？
（2）1，2，3和3，1，2是相同的组合吗？
（3）什么样的两个组合叫相同的组合？
3.辨析实例，巩固概念
判断下列问题是组合还是排列：
（1）设集合A=｛a，b，c，d｝，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？
（2）10个人互相通信一次，共写了多少封信？
（3）10个人见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？
（4）北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
【设计意图】数学概念是感官对外界经验活动的再加工.概念的形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物共同的本质属性的过程.这里利用概念表征的多元性，强化组合概念的特点，加深理解.
4.建立公式，应用概念
（1）四支球队，举行单循环赛，获得冠、亚军的可能有多少种？
（2）四支球队，举行单循环赛，共需多少场比赛？
一般地，从n个不同元素中取出m个元素的排列，总可以分两步来完成：
第一步：先取出m个元素，根据组合数的定义有
种方法；第二步：再将这m个元素全排列，有m！种方法；
根据分步计数原理，得到对应的排列数与组合数的关系，进而得到组合数计算公式.
从n个不同元素中取出m个元素的排列数：
【设计意图】获得一个数学概念的过程通常是以线性方式从动作表征过渡到图象表征，最后到直接对数学符号进行思维的操作.这里借助符号、图表和语言等多种不同的表征方式，引导学生辨析概念的本质属性与非本质属性，进一步加深学生对概念的理解.
5.解决问题，巩固概念
例1 （1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
例2 空间10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余无三点共线，四点共面，问以这些点为顶点，共可构成多少个四面体？
（方法2）从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的方法数为：
【设计意图】数学概念的抽象性表明概念的表征过程必须要经历一个按层次递进的过程，通过不断地深入概括和表征，才能形成优良的概念体系，掌握概念的本质；概念表征的多元性和多层次性表明不同的表征形式在一定程度上反映了个体对概念的不同理解.
6.拓展应用，深化概念
从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合某种条件的选法种数有多少种？
（1）请同学们根据自己的理解编出这个“某种”条件；
（2）请根据同学编出的条件给出求解过程及答案.
【设计意图】思想升华，通过观察、发现，找出共性，加深对概念的理解；总结，应用，通过新旧事物之间的联系，以旧推新；类比迁移思想；培养学生的发散思维能力.而学生们在概念表征过程中展示的不同形式，刚好在一定程度上反映了个体对概念理解的不同程度.
7.数学文化链接
介绍有关排列组合的历史文化，以及其所发挥的重大作用.
【设计意图】数学课程标准倡导有价值的数学和有意义的学习，这段数学文化通过著名的世界难题——“四色问题”的解决，介绍了组合在生活中的应用，激发了学生们学习数学的热情.
多元表征理论指出，变化是认识的一种手段，其根本目的在于通过变化与对照帮助学生更好地认识其中的不变因素，也即是概念或问题的本质.同时应当注意培养学生思维的整合性和灵活性.据此本节课的设计中，围绕组合的概念，组合与排列的关系，组合数公式的建立，精心设计，层层深入，充分调动学生的思维，利用探索性问题、开放性问题等培育学生思维的广阔性、深刻性与灵活性.
整个教学活动中，始终把理解数学、理解学生、理解教学作为基本原则.有的放矢，既要遵循数学的特点和规律，又要充分发挥学生的主观能动性.只有把二者有机结合起来，才能使我们的教学质量和教学效益最大化.