2005年高考数学最具影响力的热门题型例析，本文主要内容关键词为：题型论文,最具影响力论文,热门论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
由于今年全国有15个省、市实行自主命题，加之今年数学《考试大纲》取消了各种题型在试卷中所占分值的限定，各地的高考数学试题在试卷结构、考试内容等方面呈现出各自的特色，大量涉及社会变革进程和国计民生的热门问题纷纷在试题中崭露头角。这些问题既对考生研究问题的本质、寻求合适的解题工具、梳理解题程序等方面的能力进行考察、提出挑战，也为考生展现其创新意识、发挥创造能力创设了广阔的空间。
下面从今年全国各地的高考数学试题中撷取数例，对其考察重点、知识交汇情况、解题思想方法和策略等作简要分析。
热点问题一：旅游观光
随着我国人民生活水平的不断提高，利用节假日外出旅游观光已成为广大人民群众，尤其是青少年生活中喜闻乐见、不可或缺的重要组成部分，今年高考试题以新颖的旅游观光作为材料的试题成为亮点。
例1 （05年湖南文20题）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的。
（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率。
解 某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为
。由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等。
（Ⅰ）从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组有
种分法，每组选择不同的景区，共有3!种选法，3个景区都有部门选择可能出现的结果数为
的概率为：
附图
例2 （05年湖南理18题）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没游览的景点数之差的绝对值。
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
附图
点评 以上两题主要重点考察了等可能事件、相互独立事件的概率的计算以及随机变量的分布列及其数学期望、含参数的二次函数的单调性等知识以及灵活运用概率知识和分类讨论、数形结合等数学基本思想方法分析、解决实际问题的能力。
热门问题二：竞技体育与游戏
体育竞赛与游戏是广大城乡青少年关注和熟悉的社会生活内容，同学们不仅对于各种体育赛事具有浓厚的兴趣，而且对赛事的按照、记分、裁判等规则都比较熟悉，据此编拟的高考试题深受大家喜欢，对激发同学们学习数学的兴趣十分有利。
例3 （05年全国第2套文18、理19题）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6。本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜。设各局比赛相互间没有影响，求
（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；
（Ⅱ）本场比赛乙队以3∶2取胜的概率（精确到0.001。以上两问题文科做理科不做）；
（Ⅲ）令ξ为本场比赛的局数，求ξ的分布列和数学期望Eξ（理科做文科不做）。
解 单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4。
（Ⅰ）设“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜两局”为事件B，“前三局比赛甲队领先”为事件C，则C=A+B且A、B互斥，而：
附图
所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.648；
（Ⅱ）设“本场比赛乙队以3∶2取胜”为事件D，若本场比赛乙队以3∶2取胜，则前四局双方应以2∶2战平且乙队必须在决胜局第五局获胜。所以本场比赛乙队以3∶2取胜的概率为：
（Ⅲ）比赛三局结束有两种情况：甲队胜三局或乙队胜三局，因而：P（ξ＝3）=0.63+0.43=0.28；
比赛四局结束有两种情况：前三局甲队胜两局，第四局甲队胜；或前三局乙队胜两局，第四局乙队胜，因而：
；
比赛五局结束有两种情况：前三局甲、乙两队各胜两局，第五局甲队胜或乙队胜，因而：
。所以ξ的分布列为：ξ
3
4
5P
0.28
0.3744
0.3456
ξ的数学期望Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=4.0656。
例4 （05年江西文、理19题）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，议定投掷硬币的次数达到9次时，或在此之前某人已赢得所有卡片时游戏终止。
（Ⅰ）求投掷硬币的次数不大于7时游戏终止的概率。（文科做理科不做）
（Ⅱ）设ξ表示游戏终止时投掷硬币的次数，求ξ的取值范围；
（Ⅲ）求ξ的数学期望Eξ。（Ⅱ、Ⅲ理科做文科不做）。
【解答】（略、请同学们自己解答）
【点评】今年的高考试题中类似涉及体育竞赛和游戏的试题还有不少，如福建文、理18题，江苏20题，浙江理19题，北京理17题等。这些试题大都主要集中考察相互独立事件和互斥事件发生概率的计算和随机变量的分布列及其数学期望等知识。
热门问题三：住房改革
住房改革，尤其是正确解决城乡广大中低收入人口中低价房的住房问题，是广大老百姓密切关注的社会生活敏感问题。今年的高考试题在引领同学们密切关注社会生活热点问题方面也作出了积极而有益的探索和尝试。
例5 （05年上海文、理20题）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。那么，到哪一年底
（Ⅰ）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（Ⅱ）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
附图
附图
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6。
所以到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%。
热门问题四：生产、经营管理与投资风险估计、效益预测
我国正在经历从计划经济时期向市场经济时期过渡的社会主义初级阶段的关键时期，作为生活在这一关键历史时期的当代青年学生，对于生产、经营管理与投资风险估计、投资效益预测等耳熟能详的现代企业生产、经营管理理念是应该具备的基本社会生活常识和基本社会生活意识。今年的高考试题同样在这方面也作出了积极而有益的探索和尝试。
例6 （05年辽宁理20题）某工厂生产甲、乙两种产品。每种产品都是经过第1和第2两道工序加工而成。两道工序的加工结果相互独立。每道工序的加工结果均有A、B两个等级。对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果都为A级的概率如表一所示。分别求生产出的甲、乙两种产品为一等品的概率
；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ，η分别表示一件产品的利润，在（Ⅰ）的条件下，求ξ，η的分布列和Eξ，Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示。该工厂有工人40名，可用资金60万元。设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（Ⅱ）的条件下，求x、y为何值时Z=xEξ＋yEη最大？最大值是多少？（解答时需给出图示）
附图
（Ⅱ）随机变量ξ，η的分布列分别是
附图
随机变量ξ，η的数学期望分别是ξ
5
2.5
η
2.5
1.5P
0.68
0.32
P
0.6
0.4Eξ＝5×0.68+2.5×0.32=4.2,Eη＝2.5×0.6+1.5×0.4=2.1；
（Ⅲ）由已知得：
附图
目标函数为：
Z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y，
作出可行域如图所示：
附图
作直线：4.2x+2.1y=0，将其向直线上方平移到l的位置时，直线经过可行域上的M点且与原点O的距离最大，此时Z=4.2x+2.1y取得最大值。解方程组
附图
点评 今年的高考试题中类似该题涉及生产、经营管理与投资风险估计、投资效益预测等现代企业生产、经营管理理念的试题还有天津理15题、湖南文10题、湖南理11题等，主要重点考察同学们对数据、信息采集、整理的能力以及综合运用概率、随机变量的分布列和数学期望、线性规划等知识和数形结合、分类讨论等数学基本思想方法分析、解决问题的能力。
热门问题五：资源合理开发利用
我国是一个人均资源严重匮乏的发展中农业大国，怎样合理开发利用资源——尤其是对不可再生性资源的合理开发利用，保护我们赖以生存的环境是我国实现可持续发展必须长期坚持的一项基本国策。这一基本国策必须深入到每一国家公民心中，近年来全国高考命题在这方面作了不少积极的改革探索和尝试，有着非常强烈的体现，取得了十分可喜的改革效果。
例7 （05年湖南理20题）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用
表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且
。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与
成正比，这些比例系数依次为正常数a,b,c。
附图
附图
【点评】正确解答此题不仅需要较强的数学建模能力以及综合运用函数、方程、不等式、数学归纳法等重要的数学基础知识分析、解决社会生活实际问题的能力，而且对考生由归纳到发现、由特殊到一般、由猜想到证明等探索创造能力、创新意识等都提出了较高的要求。较充分地体现了《考试大纲》关于“注重学科的内在联系和知识的综合性”，“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使考查达到必要的深度”的命题改革思想。
综上可见，今年全国各地的高考数学试题在引领同学们关注生产实践和社会生活中的数学问题，逐步培养关心身边的数学问题，养成善于从实际问题中筛选有用的信息和数据，注意抓住社会现实中运用数学知识加以解决的普遍性问题和社会热点问题，开展讨论、研究其数量关系或数形关系，建立数学模型，进而解决社会生活实际问题的思维习惯和学习习惯，不断提高数学应用意识，从而提高数学实践能力和应用能力等方面确实充分发挥了“高考指挥棒”良好的导向作用，值得我们在复习中引起高度的重视，刻意加强这方面的专项训练。