基于多元表征的平方差公式教学研究，本文主要内容关键词为：表征论文,教学研究论文,公式论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出 在认知心理学领域中，表征的意义是指在对象不显现的情况下，替代这个对象的任何符号或符号集[1].在数学教育领域，数学表征从本质上说，是指能反复替代某一数学学习对象的任何符号或符号集，可区分为外在表征和内在表征，即以语言、文字、图形、符号、具体物、活动或实际情境等反映数学学习对象的外在形式和存在于个体头脑里而无法直接观察的心理活动的表征[2].一般地，根据认知心理学和教育心理学领域中对多元表征的定义：同一学习对象用叙述性表征和描绘性表征的多种形式表现出来[3][4].同时，在数学教育领域数学多元表征的定义基本与认知心理学和教育心理学领域中一致.因此，数学多元表征应该是指同一数学学习对象所具有的多种表征形式. 数学多元表征能够具体形象地凸显一个数学学习对象的多元属性，运用多元表征学习有助于加深学生对学习对象的理解[5].同时，学习者通过学习在不同表征之间进行转换和转译，有助于学习者对知识进行完整建构.初中阶段是学生思维从具体的直接经验发展到抽象演绎的关键时期，是对数学多元表征进行深入理解的关键节点.因此，运用多元表征学习的视角探索平方差公式的教学，对于提高学生对平方差公式的理解，发展学生的数学思维能力，都有积极的研究价值. 平方差公式作为一个数学命题，不少研究者已对平方差的教学进行了探讨，但大多是基于经验的教学设计、或对公式的变形、几何背景、应用等作探讨，鲜见有运用多元表征元素的系统研究.本文试图在新课程标准的背景下，基于多元表征学习的视角探讨平方差公式学习中的多元表征教学设计. 二、平方差公式的内容 “平方差公式”是初中阶段学生学习的第一个乘法公式，是初中数学教学的核心内容.从数学本质上看它是具有特殊形式的多项式的乘法，从教育规律上看它是一般到特殊的认知规律的典型范例，是进一步学习完全平方公式、因式分解等相关代数运算的重要知识基础.同时，平方差公式的推导是初中运用推理方法进行恒等式变形的开端，因此对于平方差公式的学习过程可以成为一个“模板”，成为学生以后学习其他公式的参照. 一般地，在平方差教学中需让学生经历探索公式的全过程，理解公式的结构特征及几何意义，并能灵活运用公式进行简单的运算.其中理解公式的特殊结构特征是难点，不少学生在运用公式运算时容易出现以下错误：（1）符号不正确，如
；（2）系数没有平方，如
.分析其错误原因，主要在于学生在学习过程中没有理解平方差公式的结构特征以及字母所代表的含义.因此，基于多元表征的视角来设计平方差公式的教学时，应该从应用几何图形帮助学生体会公式的意义、创设多种表征促使学生掌握平方差公式的结构特征等方面着手，促进学生自我探究各种表征间的内在联系，从而领会平方差公式的实质，发展学生的思维能力. 三、平方差公式的多元表征 （乘法的）平方差公式具有丰富的表征形式，在教学中，教师需要合理设计各种表征，有意识地应用不同的表征形式，比如[6]. （1）语言表征：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.学生通过学习用准确的数学语言表述公式，不仅有助于学生理解平方差公式，还有助于加强学生的数学化语言的修养及表达交流能力. （2）符号表征：
.数学教学不能止于具体经验，而要形成概念就必须向抽象发展，符号表征具有高度抽象性的特点.平方差公式的结构特征是教学的重难点，而符号表征是突破该难点的重要辅助工具 （3）操作表征：分别取值计算（a+b）（a-b）和
的值，通过对比结果发现两个代数式关系.通过一系列表格或填空题的形式让学生进行运算，观察题目之间的共性，发现规律并猜想出平方差公式，从而为学生提供具体和易于理解的直接经验. （4）情境表征：从前，有一个狡猾的农林主，把一片边长为a的正方形土地租给王老汉.第二年，他对王老汉说：“我把这块地的一边减少5米，另一边增长5米，继续租给你，租金不变，你觉得怎么样？”王老汉一听，觉得自己没有吃亏，就同意了.回到家中，王老汉把这事说给邻居们听，邻居们都说他吃亏了，王老汉仔细一想，果然是吃亏了，急忙去找农林主讲理.同学们，王老汉怎么确定自己吃亏了呢？学习了本节的知识，你就会发现其中的奥秘. 通过创设生活情境，让学生经历知识的形成与应用的过程，既能增强学生学好公式的兴趣和信心，又能为平方差公式的图形表征做好出现铺垫. （5）图形表征：用几何图形的面积表示代数恒等式，主要体现了数形结合的数学思想. ①构造长方形： 如图1，一个边长为a的正方形，在左下角剪下边长为b的小正方形，则阴影部分的面积为
.如果沿虚线部分剪开阴影部分重新进行拼接，则可构造成长方形（如图2），图2中的长方形面积正好为（a+b）（a-b）.
也可用另一种剖分法构造出长方形：如图3，同样是一个边长为a的正方形，剪下边长为b的小正方形，则阴影部分的面积为
.如果图3中的阴影部分剪成4个小长方形重新进行拼接，也可构造出长方形（如图4），图4中的长方形的面积正好为（a+b）（a-b）.
②构造梯形： 如图5，一个边长为a的正方形，在左下角剪下边长为b的小正方形，则阴影部分的面积为
如果沿虚线部分剪开阴影部分重新进行拼接，则可构造出梯形（如图6），图6中的梯形面积正好为（a+b）（a-b）.
运用剖分法证明平方差公式的方式除了以上三种，还可以通过构造平行四边形、三角形等其他几何图形来证明. （6）模型表征：通过用□和○表示数、单项式或多项式，帮助学生理解公式
中a和b的真正意义，更快地理解公式的结构特征.
（7）图示表征：简洁明了地揭示了平方差公式的结构特征，
四、平方差公式学习的教学思考 学生学会数学的主要标志就是会对各种表征进行系统内的转换和系统间的转译.[7]然而在数学知识的应用活动中，学生往往在多元表征的各种形式之间转化不够灵活，不能顺利找出完成当前任务的较为合适的表征，而且系统内或系统间表征的转化或转译并不是自然发生的，这就要求教师在教学中要多引导学生进行多元表征的转化和转译，帮助学生建立各种表征之间的联系.因此，在平方差公式的教学中，如何设计运用它的多元表征来突破教学难点值得深入探讨. 1.合理选择多元表征形式 虽然平方差公式有多种表征形式，但是学生在一堂课的教学中能够承受的信息量是有限的，要求掌握的信息元素太多反而会增加学生的理解困难，因此在教学中就要根据学生的实际情况选择合理的表征. 例如，在平方差公式的引入阶段，应根据学生的实际认知水平来进行合理地选择.有的班级教学适合用操作表征来引入公式的探究，从而激发学生的学习兴趣；有的班级适合使用情境表征激发学生兴趣；也有整体认知水平较高的班级可选择用几何图形表征或引入平方差公式. 再如，在运用几何的形式表示平方差公式意义时，至少有三种以上拼接方式可以选择，但不需要把每一种方式都详细讲解.教师使用图形表征的目的在于说明可以用几何图形表示平方差公式，以及可以用面积表示代数恒等式.只要达到了上述教学目的，选择学生最容易理解的拼接方式即可，没有必要在课堂上对其他拼接方式作过多讲解. 2.促进表征的“内化” 不同的学习者在学习和解决问题中偏好不同的表征，教师在教学过程中要注意照顾学习者的认知差异，尽量让学习者用他偏好的表征作为理解数学、运用数学的工具同时，鉴于学生“自我产生”的表征和规范的表征之间存在着一定的偏差，教师应帮助学习者在自己的表征和规范的表征之间建立联系，更重要的是给机会让学习者构建自己的表征，促进表征的“内化”. 3.优化表征组合方式 学生学习的难点在于不能在各种表征之间进行灵活的转译或转换.研究表明，信息打包策略能够促进多元表征间的转译和转换.信息打包是指进行数学教学设计时，尽量将数学教学设计成信息组块或“信息包”.[8]信息包中若同时包含两类本质不同的表征，将增大转译或转换的机率.因此，我们在设计平方差公式教学时，可以把它的多元表征形式设计成信息包. 例如，可以将平方差公式的“信息包”设计为：“几何表征+符号表征”、“操作表征+符号表征+几何表征”、“情境表征+操作表征+图示表征+几何表征”等等. 4.合理安排表征出现的顺序 各种表征出现的不同顺序会影响学习者对学习对象的理解.有些公式的教学适合先出现情境表征，有些公式的教学适合先安排操作表征，有些公式适合用图形表征来帮助学生理解公式.即使是同一个“信息包”，在进行公式教学时，教师也要根据学习者的认知水平和教学内容选择表征出现的顺序. 归纳平方差公式的一般教学设计和人教版教材的内容呈现顺序，基本为“操作表征、符号表征、几何表征”.按照这样的呈现顺序，在使用操作表征时表面让学生参与了公式的“探究”过程，实质上已经给出了平方差公式，而学生参与的活动只是证明公式是正确的.虽然随后给出了平方差公式的几何意义，但是学生已经产生了“先入为主”的思维，很难再去深入思考公式的产生，从而造成学生没有理解平方差公式的特殊结构特征，在实际应用公式的过程中依然错误连连.因此，可考虑将呈现顺序调整为“几何表征、操作表征、符号表征”. 5.注意表征认知的强化 平方差公式作为初中生学习的第一个乘法公式，由于在此之前从未接触过此类知识点的学习，因此不可能一次就完成整个认知过程.教师需要采取一些强化措施，帮助学生加深对平方差公式的理解.可采用的方法有：①课堂教学完成后的习题设计要尽量让学生可以有选择地使用适合自己的表征来帮助思考；②设置公式和问题的变式，使学生有机会用不同的表征进行转译，打破学生的定势思维，让学生琢磨选择反映表征内容的最佳表征形式；③在讲授完平方差公式后作一次知识点所涉及的表征的梳理，帮助学生形成表征认知体系.
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