重庆市兼善中学 404100
摘 要：二次方程区间根原理是中学教学中的重点，其在数学解题中发挥着重要的作用。因此，数学教师应将这一原理的具体运用向学生进行有效的讲解，并进行发散练习，从而利于学生解决二次方程涉及到根的范围或是交点问题。
关键词：二次方程 区间 根 运用
在实数范围内，大家知道用判别式△=b2-4ac来判定一个一元二次方程ax2+bx+c=0 根的情况问题是非常熟悉和凑效的。但此法是用于解决x∈R,一旦根x受限制条件，或告诉其根在一定范围内，或函数图象在某一区间内有几个交点等问题就应在此基础上考虑区间根原理。下面仅用几个实例来研究区间根原理的运用与发散。
问题一：已知f(x)=x2+ax+a-1=0有一正一负的两实数根，试求实数a的取值范围。
分析：对于此题方程有两实数根，确实△≥０，但有一正一负的两实数根，还应考虑其两根x1x2<0,解得a<1。这种办法可行是由于此题根从零分界；故考虑其根的特殊性，告诉了根的范围，画图(如图1)研究，通过数形结合只须考虑：f(0)<0,解得a<1。
问题二：已知关于x的方程7x2-(m+13)x+m2-m-2=0有两实数根α、β满足0<α<1,1<β<2,求实数m的取值范围。
分析：此题仍然告诉了方程的根的范围，若再用判别式“△=b2-4ac”来研究，其附加条件就难找了。若画图(如图2)研究，通过数形结合，研究其端点值，设f(x)=7x2-(m+13)x+m2-m-2，则需f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,解之得m∈(-2,-1)∪(3,4)。
问题三：已知集合A={x|x2+ax+3-a≤0},B=[-2,2],若AB，求实数a的取值范围。
分析：（1）若A=φ时，则需满足条件△=a2-4(3-a)＜0-6＜a＜2。（2）若A≠φ时即a≥2或a≤-6时，则对A中x2+ax+3-a=0的两根x1,x2满足：-2＜x1，x2＜2，即告诉根的范围。画图(如图3)研究，通过数形结合，研究其端点值，设f(x)=x2+ax+3-a，则需f(-2)≥0，f(2)≥0，△≥0，-2＜轴x=- ＜2解之得2≤a≤ 。
综上（1）、（2）知a∈（-6， ］。
通过以上，凡是二次方程涉及到根的范围时，或方程的根在一定的区间内有解时，就应考虑用下面的办法，本文称之为区间根原理。即找条件限制其图必这样画，使其满足题意。其条件简单，就是其端点值的情况。
结论：若二次函数开口向上，端点值若全部大于或等于0时，则需考虑“△”及对称轴限制在区间内（如问题三）；若端点值一旦出现了有小于0的值时就不考虑“△”及对称轴（如问题一、二）；当开口向下时将其变形为开口向上便可或结论相反。
运用此原理，就可以解决其类似的找条件限制其图象像这样画，解决类似的相关问题。
发散1：求y= 的值域。
分析：由已知隐藏着x≥0，则y＝ ，于是设 x+1=t（t≥1）有t2-yt+2=0（t≥0）在［1，+∞）上有解，则需f(1)<0,或f(1)≥0，△≥0， ≥1解之y≥2 2。
发散2：已知函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2,若关于x的方程f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上恰有两个相异的实根，求实数的范围。
分析（常规法）：由已知f（x）=x2+x+a得x+1-a=ln(1+x)2=2ln(1+x)在区间[0,2]上恰有两个相异的实根，令x+1=t,则lnt= - 在[1,3]上恰有两个相异的实根。再令f(t)= - ，g(t)=lnt,求导g`（t）= ,令g`（t）= = ，得t0=2∈［1,3］，作直线y= t+b,当过切点（2，ln2）时b=ln2-1；当过(1,0)时b=- ，当过(3,ln3)时b=ln3- 。画草图可知在[1,3]上恰有两个相异的实根只需ln3- ≤- ≤ln2-1，∴2-2ln2<a≤3-3ln3。此法可行但麻烦些。
联系区间根原理，找条件限制图象，就可这样：令g(x)=ln(1+x)2-x-1+a,则g`（x）=-1,令g`（x）=-1=0x=1，分析知g(x)有最大值,要g(x)在区间[0,2]上恰有两个相异的实根，则须g(1)>0,g(0)≤0,g(2)≤02-2ln2<a≤3-3ln3。
发散3：若线段y=x+1(0<x<3)与抛物线y=-x2+(m+2)x+m-1有两个不同的交点，求m的取值范围（注：此问题留给读者研究）。
通过以上探讨，合理运用区间根原理解决同类问题，通过数形结合找条件限制图象在一个区间上满足条件，实质上是对二次函数运用判别式解决不了时的一个补充，对解决二次方程涉及到根的范围或交点的问题时带来十分方便的一个原理。
参考文献
[1]李培根 吴葵 探究二次方程区间根的分布问题[J].读写算，教师版，2015，(5)，102-103。
[2]鄢七正 二次方程区间根的探究[J].理科考试研究，高中版，2006，(8)，16-17。
论文作者:陈怀礼
论文发表刊物:《教育学文摘》2017年8月总第237期
论文发表时间:2017/7/24
标签：区间论文; 实数论文; 相异论文; 实根论文; 原理论文; 条件论文; 判别式论文; 《教育学文摘》2017年8月总第237期论文;