基于考试研究的教学分析——对小学数学教师的教学启示，本文主要内容关键词为：启示论文,数学教师论文,小学论文,考试论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
北京某著名中学初中部主管校长曾举过这样一个例子。
面对这个式子，来申请就读的小学毕业生几乎都能做对，从而表现出他们似乎基本相当的数学功底。然而，当把上式转化一下，有趣的结果发生了。
这时，所有来申请就读的小学毕业生中仅仅有不到20%的学生能顺利答对，学生数学学习的差异显著地表现出来。后来，我在不少学生中做同样的实验，结果大致相同。很多学生想都不想，面对式②随手就写出答案“3”。
仔细分辨一下，不难发现：式①和式②的形式、数字甚至答案基本没有差异，无非就是把式①括号外的24拆成了2×3×4。但就是这个小小的变化，使80%多的学生“迷失方向”。问题出在哪里？
上面这道题只是纯粹的计算题。如果按当前新课程“学生活中的数学”的要求，一旦将各种数学概念、原理、公式应用于生活情境中去求解，那么学生的表现则会更加五花八门。面对如此结果，教师不禁哀叹：为什么换个情境学生就不会做了呢？
于是，为避免上述结果发生，题海战术、穷尽各种可能性，甚至怪题、新题，成为众多教师的重要对策。这就是代价！但同样的问题是：这样的代价是否值得？
所以，面对教师“苦恼”考试、“痛恨”考试，将教学中的不如意和不合理“顺理成章”地归罪于考试的现状时，我的建议是：考试到底蕴涵着怎样的奥秘？有效应付考试的教学应具有怎样的特征？好好思考并研究这些问题，以理性和科学指导自己的观念和行为，而不是以感觉或情绪主导自己，也许才是最明智的做法。
一、考试的奥秘
作为评价的主要方式，考试在相关学术领域中也被称为测验或测量，是一门同样具有理论背景、科学方法的严谨学科。教师通常看到的且关注的是那张布满数字、写满问题的考卷，而鲜以研究的思路来探讨考卷的来源与构成。
任何一份好的考卷的形成首先都要考虑其功能，即测验目的。如，是选拔测试还是水平测试？这就决定了此次考试是常模参照还是标准参照。前者意味着区分度是非常重要的指标，其重心在于通过此次考试将不同程度的考生进行明确区分；后者则不同，通过率则是更为重要的指标，其重心在于揭示有多少人达标，而并不关心达标者或者未达标者在全体被试中的排名如何。高考就是非常典型的选拔测试，而交通规则考试或者英语考级则是典型的水平考试。
任何一份好的考卷的形成都基于一定的理论结构，在具体的学科命题工作中习惯将之称为双向细目表。科学的命题程序一定是先有双向细目表，再有具体的题目，而不是相反的。双向细目表的形成首先要符合本次考试目的的要求。其次，双向细目表通常反映出本次考试的立意。如，是知识立意，还是能力立意？如果是前者，那么通常横坐标就是题型的设计、难度的要求、所占分数的比例等（见下表），纵坐标通常为考查的内容范围；如果是后者，纵坐标不变，而横坐标则会主要用来表征能力的构成，辅助于上述其他指标。（在下表表头中增加“能力水平”一栏）
知识立意的双向细目表举例（部分）
考查内容 题型分值预计难度
领域知识要素
空间与图形
统计与概率
数学实践活动
这其中最大的挑战在于对数学能力的解读，以及对应于这些能力用来考查的内容有哪些。回答这样的问题，就不是能否出一道好题那样简单，不仅需要对小学生能力的发展规律有所把握，而且需要对六年12册教材中的知识脉络有着整体把握，即：将散在每册书、每单元的各知识点用某特定的联系串起来，最终实现整体把握。
北京市某区小学数学教研活动中，组织者曾请所有在座的骨干教师出题组成一份考卷。大家争先恐后地拿出自己经验中最好的题目，最终集思广益拟出了一套自以为非常理想的考卷。接着，组织者请所有在座的教师每人认真做一遍，然后再对照教材的整体脉络进行分析，看看会发现什么。
结果，所有的教师都发现：做完这套题目用去的时间远超出考试规定的时间，而且题目相当灵活，总体偏难。同时，在与教材作整体脉络对照时发现，有些重要且有价值的内容却没有体现在这份考卷中，而这些内容往往是基础部分。
为什么把一道道大家公认的好题组合在一起，反而并不能构成一份好的考卷呢？
致命的原因就在于，出题前缺乏一份反映整体架构设计思路的双向细目表！双向细目表就好比一张规划设计图纸。当我们盖大楼或者进行室内装修的时候，如果没有提前画出这张规划设计图纸，那么，当每个人把自认为必需的或者好的东西统统加上去的时候，这样没有章法的结果最后产生的效果可想而知！而钱，一点儿也不会少花。
如果教师不认真研究并把握考试内容的整体架构，而是从单题的角度进行逐题分析，然后紧紧抓住自认为的好题一遍遍拼命练习的话，结果很可能是力没少出，效果未必好。如果教师能整体把握考试的架构，通常都会发现很多基础知识是非常重要的。基础知识，不但容易出现在送分题目中，而且通过将其进行“变式”，或赋予其丰富的情境因素，同样可以转化为灵活多样的能力考核题目。而这两部分加在一起，就构成了考卷的绝大部分。
所以，对考试进行科学化的研究越多，就会发现数学的基础知识往往是最重要的，而不是那些偏题、难题。这本身不但是对数学知识演变过程的映射，而且也符合教材由易到难、由简到繁的编写脉络。
一份好的考卷，应杜绝生搬硬套的题目，新课程改革对此更是作出了明确的要求。曾有教师出过这样的练习题：小明去买自行车，售货员对他说：“这辆自行车的价钱是旁边这个洗衣机价钱（4836元）的
的一半。”那么，自行车是多少钱？从数学逻辑上，这道题目没有什么问题，而且似乎贴近了学生的生活实际。学生解答也没有问题，能基本把握住教师的考点。有趣的是，课下随机访谈学生的时候，学生毫不客气地讲：这根本不可能发生，都是老师编的。你想想看，去商店买东西，售货员不赶紧告诉你价格，还让你站在那里猜呀、算呀，那叫有病！
可见，这种生搬硬套的题目，不仅没有让学生体会到生活中处处有数学，学数学是用来解决生活中的问题的，还可能为学生未来的不负责任的行为做出“榜样”，完全背离了科学的精神！
细究深思，最终一定会发现：考试的这些奥秘并不是真的不可预知。事实上，考试是科学化教学观的直观反映，考试和教学之间是内在统一的，而不是相互对立的。
二、考试与教学
揭秘考试，仍为促进教学。只有遵循考试中的“潜规则”改进教学，才能真正提升教学效率，也才能最终考出好成绩。
考试对教学的启示一：数学教学的重点在于基础知识，尤其是概念和起始课。
回顾前文式①和式②的计算，考查的同样是分数乘法的分配律，所不同的是式①为标准格式，式②作为变式，将括号外的一个数转换为一组数连乘的形式。当学生基本概念不清的时候，面对稍具灵活性的变式挑战时，通常就会出现思维混乱或混淆的结果。
而在实际的教学中，我们看到对于起始课尤其是概念课的处理，很多教师都偏草率。追问起来，则认为没什么可讲的。一般都是通过简单的例题，揭示出概念的主要内容，然后通过做练习让学生掌握即可。其实不然，以下面一位特级教师的“分数的基本性质”课堂设计为例（参见图1）。
图1
教师首先引导学生回顾与建立除法和分数的关系，之后通过类比联想，学生根据除法的商不变规律，猜测得出分数的基本性质为：分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的值不变。这时，教师就请学生用学过的方法分小组进行论证。很快学生就举出多样化的例子证明上述猜想成立。
但教师慧眼识症，抛出第一个追问：请再读这句话，猜想中说的可是“数”，而不是“整数”。可我看到你们举的所有例子都是“整数”。迄今为止，除了“整数”，我们还学过什么“数”？以它们为例，猜想也成立吗？
随着学生对问题的再次解决，教师又抛出第二个追问：翻开书，我们看到书中分数的基本性质的描述中，还有前半句“在一个分数里”。请问：迄今为止，我们一共学过哪几种分数？可我看到你们举的例子都是“真分数”。那么对于“假分数”和“带分数”，这句话也成立吗？
在学生再次论证之后，教师又抛出第三个追问：在猜想论证中，既需要“证真”，也需要“证伪”。证伪，则只需举出一个反例，就可证明假设不成立。那么，请思考问题：(1)“性质”描述要求分子、分母“同时”乘或除以，如果“不同时”会怎么样？(2)迄今为止，除了乘、除，我们还学过加、减。如果把“同时乘或除以”改成“同时加或减”，又会如何？(3)“性质”中要求“不为0的数”，如果“为0”会怎样？
……
试问：如果每节概念课或起始课都能经过这样的“追问”和锤炼，考试又如何难得倒学生？
考试对教学的启示二：数学教学的难点在于整体把握。
如前所述，一份好的考卷要有理论结构，这个结构的形成离不开对教材的整体把握！而在现实教学中，多数教师备课仍主要停留在“课时”备课的层面，鲜有“单元”备课，更别提“整册”备课乃至“全套”备课。
曾就人教版教材一年级上册第8单元“认识钟表”的内容，和一线教师一起进行备课。就一课时的备课而言，教师的设计已相当精巧了。不经意间，我追问一个问题：这个教学内容是否可以放到第4单元或者放到第9单元来讲，而不是第8单元？单看授课教师的表情，我就知道教师根本没有作这样的思考。而追问这个问题的本质在于：怎样通过这节课的学习将这学期的相关知识串起来，形成“知识链”，而不是总在给学生一个个零散的“知识点”！事实上，当这部分知识还涉及跨领域的综合知识时，以这样的思考来备课，所给出的不仅是“知识链”，还有可能结成“知识网”！
我期望，教师在备课时，都从这样的角度来想一想，那么每节课的内容就会更加丰富、深刻而充满灵活性，也将有利于学生顺利应对考试中的综合性考题。
我还追问了第二个问题：小学六年中关于时间的教学一共出现了几次？都在哪个年级哪册教材？其前后的关系如何？每部分内容出现之前的铺垫知识是什么？之后的应用领域是什么？相信，能迅速而清晰回答出这些问题的教师凤毛麟角，他们也必然是小学数学教师中的佼佼者！追问这些问题的本质就在于：当教师在授课中遇到复杂多样的生成性问题的时候，到底向哪个方向引领！而这种不仅能够跨单元，还能跨年级来统领教材或学科知识的教师，其专业功底的深厚，使其对小学毕业考试的感觉如探囊取物一般。
对于一个单元知识的整体把握，同样也是教师需要经常思考的问题。尤其要把握好起始课和后续课之间的关系。曾有教师讲人教版四年级上册“平行四边形”这一内容时，仍以自己惯有的思路来进行独立化的设计。这时，我引领教师思考一个问题：为什么要把平行四边形这一内容放到这个单元来讲，它和前面内容的关系何在？翻开书本就可以看到，这一单元的第一课时是“垂直与平行”。于是，我们就能看到：垂直与平行，是空间与图形中最基本、最典型的两种线与线之间的特殊关系。而平行四边形也好，后续的梯形也好，是这种关系集中体现的两个经典范例。也就是说，讲平行四边形，不是为讲平行四边形而讲平行四边形，而是对垂直和平行这两种线与线之间关系的应用。基于这样的从识，那么课的导入和课中主体部分讨论话题的角度就会有很大的不同。
所以，书越读越薄，不是我们忘了，或者书页被撕去，而是因为我们找到了其中的关联，用最简洁的方式将之有效地串起来，以最小的空间容纳了最多的内容其奥秘就在于整体把握！这是当前对一线教师最直接也最重要的挑战。
考试对教学的启示三：数学教学的本质在于思维训练：变式和情境化。
谁都承认：知识是教不完的。这句话体现在考试中就是：考题是做不完的。但仍有那么多的教师飞蛾扑火，明知不可为而为之，不但自己为，还带着一批又一批的学生和他们一起为，不可谓不惨烈，也不可谓不悲哀。
面对教师这种矛盾的心理和行为，真的就没有解决方案了吗？
除了前面给出的考试对教学的两大启示为教学指南外，我想，数学教学还是有其特定的窍门。避免题海战术又想获得好成绩的诀窍就在于：跳出具体的题目，看题目背后的本质——考查的基础知识及其被包装后的变化！也就是说，如果一个学生在拿到考题的一刹那，就能读出“这道题目在考什么”，那么，这次考试对这个学生来讲就比较有把握了。
基础知识部分我已在考试对教学的启示一中作了较多的探讨，这里主要分析变化部分，也就是考试中的失分题部分。
把所有的数学题放在一起分析就会发现，数学考试中的变化，主要表现为两大形式：一是对基础知识本身做各种变式的变身。如，前面式②和式①之间的关系，旨在混淆视听、扰乱学生，重在考查学生透过现象抓本质的能力；另一种则是将基础知识应用到某种特定的问题情境中。于是，数学的变量和数学变量之间的关系就被包装起来，需要学生能够通过信息采择，找出蕴涵的数学变量，并且判断哪些变量与这个问题的解决有关，哪些无关，之后在这些有效变量之间建立合理的联系（或关系），这就是数学建模的过程。如下面的一道题。
下面是一辆卡车运一次砂石的运行图，根据信息回答问题。
图2
(1)学校距离砂石场有多远？
(2)从砂石场返回到学校的平均速度是多少？
在我看来，无论是日常教学，还是毕业前的复习准备，具体的知识学习仅仅是个载体，而对于学生的思维训练才是关键！对学生的思维训练通常表现为：以某个具体的知识内容为基础，进行各个角度的“变式”追问，或者进行多样化情境应用练习。前述“分数的基本性质”一课的设计中就有很多“变式”思维训练的妙笔之作。需要关注的是，科学的思维训练不但能设计出多样化的变式或情境，而且对这些变式或情境的层次有着清晰而准确的把握，从而使得学生避免陷入“为变而变”“为情境而情境”的同水平重复的误区中。
而关于小学阶段学生思维发展的特点，及思维的深刻性、独创性、灵活性、批判性和敏捷性，这五大思维品质在数学教学中的具体体现与应用，更是数学教师非常有必要修习的功课。这里不再赘述。
考试对教学的启示四：数学教学的艺术在于因材施教。
评价是为了促进发展，这句话给许多教师和学生新的希望。然而在教育现实中，这句话却恰恰最难做到。根本原因在于：教师鲜于对考试结果作学生个体水平上的信息挖掘。也就是说，很少有教师对班级里的每一位学生都作试卷分析，关于学生学习的特点、学习的差异等许多丰富而重要的信息，基本被淹没在总分、班级平均分、排名等几个总体指标中了。
事实上，每个学生的学习现状如何，如，哪些内容掌握得好，哪些内容掌握得不好，哪方面的能力强，哪方面的能力弱，以及学习的特征表现为“基础扎实型”“灵活应变型”“均衡型”还是“双差型”等，这些有助于学生改进的信息，都可以根据双向细目表，对应某项具体指标，把学生在相应题目上的得分除以对应分值，直接得出该生的表现，或再与群体的得分状况进行比较后，得出该生的表现。（如图3）
图3
这就是对考试结果中信息挖掘的过程。如果挖掘到位，对于下一步如何促进学生学习的改进与提高自然可以做到有的放矢。那么，学生摆脱无谓的题海而进行有针对性的训练、复习或者知识的查漏补缺，就成为可能。
因材施教是教育的最高境界，这就是考试中的“因材施教”！
所以，我们常常看到，用心做教育的教师从不在乎以量取胜，而是永远乐于深入剖析每件经历过的事情，期望从最小的付出中获得最大的收益。这大概也应了那句话：细节决定成败！教育需要“精品意识”，考试及考试成绩的分析同样离不开“精品意识”。所以，同样经历一次考试，或者同样做了一次练习，在不同的教师手中就会产生出相差几个数量级的效果！
因此，不要简单地抱怨或者痛恨考试，而是要抛开那些想当然的不合理观念，鼓励自己遵循科学精神，以科学的方法、研究的视角，沉下心来认真研究考试，然后从中再次解读数学教学的终极追求与无限魅力！