浙江省杭州市萧山区新塘小学 311200
摘 要:数学知识之间具有紧密的联系性,在小学数学教学中,对于数学新知的教学要基于整体视角,这样学生才会充分感知数学知识产生的背景,才能让他们经历数学探究的过程,从而促进他们数学核心素养的提升。基于此背景,对人教版小学数学五年级上册第二单元中《用数对确定位置》一课的教学进行了探究,分析了这一课教学容易碰到的问题,并在此基础上提出了激活原有认知,引发认知冲突;引导数学探究,解读“数对”密码;渗透数学思想,理解“数对”内涵的教学策略,希望能够达到一定的借鉴意义。
关键词:整体视角 数学探究 《用数对确定位置》
《用数对确定位置》是人教版小学数学五年级上册第二单元中的教学内容。小学生在学习这一内容之前,已经能够基于数轴准确把握点和数之间的一一对应关系,只要可以明确起点、方向以及顺序,就能够借助数表示某一点在直线上的具体位置,这种位置确定是基于一维空间的。笛卡尔的坐标系是对在二维空间上点的位置确定的有效方法,这一节课的重要教学目标就是使学生了解并掌握如何才能够用数对确定具体的位置,并基于此体验数与形之间的关联,发展空间观念。在教学这一内容时,究竟应该通过哪些问题切入帮助学生更准确地掌握相关的数学知识,发展他们的空间观念呢?
一、教学中容易遇到的问题
教材中所展示的情境来自于学生熟悉的场景——班级座位图,在教学这一内容时,教师经常会遇两个问题:其一,基于教材内容遵循“数学规定”展开教学。在实际教学过程中,一些教师会将关键节点停留在用数对表示点的位置这一内容上,或者通过数对找寻相对应的点,这样的教学紧扣了数学核心知识,但是死板化地用教材教必然会让学生的学习充满单调和枯燥,也不存在进一步发掘这一内容的数学意义。其二,根据教材中所展示的座位图可以了解其所面向的对象是所有的学生,通过坐标学生也可以确定自己的位置以及其他同学的位置,然而一旦坐标的起点和方向发生改变,或者和课本中的内容出现不一致,必然会出现空间转换,导致学习出现困难。在这一过程中,如果教师结合教材中的例题,也容易和现实中的座位发生混淆,这些都不利于达成教学目标。
二、对问题的分析
用数确定位置基于空间的角度分析,大致可以分为以下三个层次:第一层次为用数表示数轴上一个点的位置;第二层次是用数表示平面直角坐标系中点的位置;第三层次则是用数表示空间直角坐标系中点的位置。因此,这一节课的教学对于学生对这一块知识的学习具有承前启后的地位。
通过仔细研读教材可以发现,情境图中所呈现的内容是为了引导学生借助数对确定位置,并且在后面通过大量的练习帮助学生深入理解,这一些练习中既包括数对中数的运算所引发的图形位置的改变,也包括图形位置所引发的形的改变等等。简单地说,实际上就是由于“数”的变化而引发“形”的变化,因此,在教学中要借助横向的方式对教学内容进行拓展,当学生能够借助数对表示位置之后,就可以将平面图形放置于平面直角坐标系中,以引发学生的深入探究。这样学生才能够充分体会到数的规律性的变化,同时也能够了解基于此理解其所引发的形的规律性变化,初步体会数形结合这一思想。
三、基于整体视角的教学探索
对于“用数对确定位置”这一内容而言,其关键目标在于引导学生基于数对准确表达具体的位置,同时还要探寻其后所潜藏的意蕴,使学生可以自主架构知识之间的关联,体会到数学思想方法的必要以及重要,这样既有助于提升学生的合理推理能力,也能够帮助学生透过事物表象深入事物结构。如果数学知识之间缺少关联,那么,必然会导致知识的零散化;如果学习数学知识不涉及数学思想,那么所有的定理规定都是冰冷的;如果数学学习背后缺少相应的数学方法,对学生而言,这种学习只能是沉重的负担;如果在事物表象之下难以发现事物的本质结构,表象只是毫无意义的存在形式。基于上述思考,我认为在本课的教学中,可以对教材进行创造性运用,充分利用数学情境引导学生体会这一内容,并结合丰富的体验感知数与形的变化,感知二者之间的关联,要通过整体教学的视角引导学生探寻“数对”背后所潜藏的数学意蕴。
1.激活原有认知,引发认知冲突
所谓数学知识体系,实际上就是基于知识之间的内部联系而构建成的一种具有逻辑性的结构系统,实际教学过程中,必须立足于结构整体引导学生把握内容之间所存在的紧密关联,使学生能够自主迁移到当前的认知结构中,不断对认知结构进行完善,这样才能够使知识形成系统化,才能够促进认知结构的条理化和结构化,才真正有助于促进学生结构化思维的发展。在这一节课的教学中,可以首先让学生基于原有的认知经验用“第几”表示一名学生在一排中的位置,帮助学生串联和确定相关的数学知识,使学生可以自主提炼出潜藏于数字背后的规则,这样学生便能够更清晰地把握先后顺序,能够自主制定统一的规则,自然就能够确定准确的位置。
【教学片段1】
给学生出示五名学生坐成一排的座位图。(王艳同学坐在从左数起第三个位置。)
师:同学们,你会怎样介绍王艳的座位呢?生1:王艳坐在第3个座位。生2:她坐在第4个座位。
师:怎么有时候是第3个座位,有时候又是第4个呢?生3:我觉得刚才他们说的都是对的,但是,都没有说准确。王艳坐在从左数起的第3个位置,同时也可以说坐在从右数起的第4个位置。
师:看来我们在介绍王艳同学的座位时,先规定从哪一边数起非常重要。有了这样的铺垫之后,再给学生出示教材中的情境图(王艳同学坐在第3列第4行的位置上),然后引导学生思考与探究。
师:这是王艳同学班级中的座位图。现在还能从左数起第3个或者从右数起第4个来表示她的位置吗?生1:不能。现在必须要说出第几排的第几个才能确定位置。生2:如果是在一条线上确定位置,只需要一个数字就可,而现在换成了平面位置的确定,就需要两个数字。在出示情境图之后,再分别标上第几行第几列,然后引导学生用自己的语言表示王艳的位置。
师:现在你又会怎样介绍王艳同学的位置呢?生1:王艳同学坐在第3列,第4行。生2:王艳同学坐在第4行,第3列。在只有一行的时候,可以用一个数来确定位置。现在不只是一行了,你认为针对位置的确定需要几个数字?其中又存在怎样的规定?生3:可能是一个数,也可能是两个数。当表示一行或者一列时,一个数就可以了;如果在一个平面中,就必须有两个数,用这两个数分别表示列和行。
师:你真的了不起,直接揭示了平面和线之间的关系,也就是说,但只有一行或者一列时,最简单的定位方式只需要一个数即可。确定一个位置是可能需要一个数,也可能需要两个数,或者还有可能需要……由此可见,数对的世界非常奇妙!
以上教学片段中,不仅引导学生复习了用数表示一条线上位置的方法,并且通过情境图引发了他们的认知冲突,这样,自然就能够有效地为他们用数对表示位置的学习奠定了基础。除此之外,还有可能引发学生的猜想:对于今天所学习的内容而言,又会具有怎样不同的规则?这样的学习方式既有助于引发学生探究规则的兴趣,也可以使学生自主体会相关内容的学习方法所具有的一致性和简洁性。
2.引导数学探究,解读“数对”密码
小学生学习数学新知的过程,往往是在原有知识上不断生长的过程,在引发了他们的认知冲突之后,此时是他们进行数学探究的有效时机,把握住这个时机引导他们探究潜藏在数对背后的密码非常重要。
(1)借助数学猜想,进行数学推理。对于数学这门学科的产生以及发展而言,推理在其中始终占据了极为重要的作用,同时还包括对数学知识的认知以及运用,所以在数学新课标中明确指出:教学数学这门学科的过程中,应当有意识地培养学生的数学推理能力,这也是素质教育中不可忽视的核心价值取向。但是在数学学习过程中,推理和猜想大多会同时出现在相同的问题中,同样也以“用数对确定位置”为例,虽然这是一种数学规则,但是只是借助简单地“告诉”方式展开教学,而学生也处于被动的接受状态,不管是对知识的熟悉程度,还是掌握程度,都会形成一定的阻碍,难以获得更高层面的提升。所以,教师应引导学生自主猜想规律,并以此为突破口,逐步基于提示展开推理,既有助于提高学生自主参与学习和研究的热情,也有助于促进推理能力的全面提升。
【教学片段2】
师:王丽是王艳的双胞胎妹妹。你觉得她坐在哪个位置?生1:我觉得王丽就坐在王艳的左边,因为她们的高矮差不多。生2:我认为应当是从上往下数的第一行第五个女孩。因为图从上看她们俩最像。生3:我认为只要是女孩都是有可能的,但是这样的猜测仿佛大海捞针,还需要其他的提示。师:如果用数学进行表达,她在图中的位置可以表示为(4,2),(4,2)是一个数对。现在大家是否可以确定她的位置了呢?学生根据(4,2)指出了图中4名女孩可能是王丽。师:用数对(4,2)可以表示王丽的位置,但是为什么大家却找出了四个不同的女孩呢?你们可以先在小组中交流自己的想法。小组1:虽然给明了数对(4,2),但是却没有明确4和2究竟哪一个数指行?哪一个指列?也没有说明究竟是应当从左往右数,还是从右往左数?小组2:这组数字的背后,我们并不了解具体的排列规则。师:由此可见,大家仅仅了解数字还远远不够,还需要了解数字排列背后的规则。
在经历了两次猜想之后,学生们不断地缩小了答案的范围,之后结合教师所给定的位置以及数对引发学生的深入探究,了解潜藏在数对背后的规则。实际上,对于这一过程而言,在提升学生推理能力方面具有极大的裨益,学生可以基于教师所给定的数对展开思考、迁移以及推理,这也是结构化的思维重要表象。
(2)基于数学规定,解读数对意义。一些数学知识是具有规定性的,这一种数学规定性体现了数学的严谨。在学生对(4,2)这一数对表示具体的位置有了多元的解读之后,此时介入数学规定就能够让学生对数对的本质意义进行解读。
【教学片段3】
师:是的,在平面上确定位置时,必须要依靠两个数字才能够做出准确的确定。王丽同学的位置可以用数对(4,2)表示。在数学上是这样规定数对的(课件播放用数对表示位置的视频介绍)。
师:你现在明白数对(4,2)中的两个数字分别表示什么了吗?生1:“4”所表示的为列,“2”表示的是行。生2:“列”的顺序是从左往右数,而“行”的顺序是从前往后数。师:由此可见,不管是一条直线还是一个平面,针对位置的确定必须要明确相应的规则,这样,才能保障表示的准确性和唯一性。如果现在让你再来介绍王艳的位置,你会怎么介绍?生3:王艳坐的位置是(3,4)。生4:用数对表示位置非常简单明了。
在这一节课的教学中,很多教师都会引导学生体会以数对表示位置所具有的特殊的简洁性,并由此迁移至数学学科的简洁美,但是还有比简洁更重要的问题,那就是表示方法的统一性以及结构性,只有所有人认可并遵循这样的表示,才会具有统一性,才不会产生其他分歧,才有助于更好地交流和沟通。学生获取这种简洁的表达方式,只是来自于书本中的编写,并不是立足于思维的角度,因此对于初学者而言,反而有可能引发更复杂的思维习惯,因为之前学生所固有的思维习惯是先行后列,但是数对的表示却与此相反。所以,在引导学生总结这一知识点的优越性时,应当引导学生体会到简洁性,更要引导学生感知这种表示方法的统一性以及结构性,它们的价值要远远高于简洁性,通过这样的表达方式还可以逐步拓展至二维、三维乃至球面空间……
3.渗透数学思想,理解“数对”内涵
2011版《数学课程标准》从“双基”目标拓展到了“四基”目标,在小学数学教学中,对小学生进行数学思想方法的渗透是十分重要的,这样,才能有效地促进他们数学核心素养的提升。在这一节课的教学中,如果仅仅让学生掌握用数对确定位置的方法是远远不够的,还要在这个过程中渗透数学思想,让他们感知数对所蕴含的简洁性与唯一性。
(1)进行数学抽象,渗透数形结合思想。对于数学这门学科而言,主要研究的就是数量关系和空间形式,而实际学习过程中,数形结合这一数学思想方法在其中占据着非常重要的作用。数对实际上就是坐标,“列”和“行”也可以被认为是直角坐标系中的雏形,正是因为它们才成功地架构起了数与形之间的关联,也能够为日后更深层面的学习打下良好的根基。
【教学片段4】
师:如果每个同学以一个点进行表示,大家可以想象一下,上面的座位图可以变成什么样?(课件出示点子图。)
师:大家现在看一下,你们所想象中的图和老师所展示的图是否一样?你能否在这幅图中找到之前的数对(4,2)所表示的点吗?你自己的位置在这一幅图中应该在哪里?学生在小组内互相说一说,指一指。
师:看起来这简单的数对背后,竟然潜藏着这么多门道。
以上教学片段中,以座位图抽象为点子图,这样既有利于渗透数形结合的数学思想,也能够引导学生初步感知和坐标相关的知识,使学生亲历知识的形成过程,对发展学生的空间观念而言,具有极大的帮助作用。
(2)沟通内在联系,渗透一一对应思想。实际上,不管是一维空间还是二维空间,数与点之间都存在着一一对应的关联性,这才是用数对确定位置的本质所在。数对和座位之间是一一对应的关系,当用数对表示一个人的座位时,位置是固定的,针对位置的描述方法也应当是一致的。基于一一对应的关系使学生可以理解到,虽然表面上看数学规定是人为设定的必须遵守的规定,但是其设定规则具有明确的必要性和合理性,这样大家才能够认可其合理性,才能够自觉遵守这一规定。
【教学片段5】
师:刚才大家已经用数对表示了自己的位置,那么,请大家想一想,在我们的班级中是否会存在这样一种现象:两个人的位置用相同的数对表示。生1:不会存在,如果数对相同的,那么这两个人只能坐在同一个位置上。生2:每个数对所对应的就是一个座位,也就是一个同学,这也就意味着每个同学只能有一个座位,这样才能保证秩序,才不会发生混乱。
借助以上教学,学生基于已有经验都能够自主猜想到,对于平面中的每一个点而言,都可以借助数对做出明确的表示,虽然并不了解使用什么数对或者怎样表示,但是已经初步形成了一一对应的思想。
对于潜藏在数对背后的规定而言,蕴含着深厚的数学意蕴以及数学价值,所以实际教学过程中,切不可局限于表面规定的接受,而应引导学生透过数字表象,发掘背后之间的联系,了解背后所潜在的数学思想,并且通过这一过程的亲历提升推理能力,帮助学生深入触及数学知识的本质,体会数学知识的魅力,使学生可以开展有意义的学习,也能够有效发展结构化思维,逐步养成自觉的思考习惯。然而对于结构化思维的培养来说,不可能在短时间内迅速完成,既需要每天的练习,也不可缺少教师的积极引导,这样他们才可以在练习的过程中逐步摸索到相应的方法,才能够对数学问题展开有条理的分析,才能够利用结构化思维有效解决数学问题。
参考文献
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论文作者:朱莹莹
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年2月总第292期
论文发表时间:2019/1/22
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